[Ch.1 – B.3] Các phép tính trong tập hợp số tự nhiên.
1. Phép cộng và phép nhân
Phép cộng

=> a+b có thể đọc là “a cộng b” hoặc “tổng của a và b”.
Phép nhân:

=> a × b có thể đọc là “a nhân b” hoặc “tích của a và b”.
Ví dụ 1: Phép cộng $7+3 = 10$ có các số hạng là $7$ và $3;$ tổng là $10.$
Ví dụ 2: Phép nhân $8\times 2 = 16$ có các thừa số là $8$ và $2;$ tích là $16.$
💡 Hoạt động 1: Kiểm tra lại kết quả mỗi phép tính sau và chỉ ra trong mỗi phép tính đó số nào được gọi là số hạng, là tổng, là thừa số, là tích.
$1\;890 + 772;645 = 74\;535;$
$363 \times 2\;018 = 732\;534.$
Cả hai kết quả đều đúng.
Các số $1\;890$ và $772\;645$ là các số hạng; số $74\;535$ là tổng.
Các số $363$ và $2\;018$ là các thừa số; số $732\;534$ là tích.
Chú ý:
+) Dấu “×” có thể được thay bằng dấu “∙”
$a\times b = a\cdot b$
+) Trong phép nhân: nếu các thừa số đều bằng chữ, hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta không cần viết dấu nhân giữa các thừa số.
Ví dụ 3:
+) $a\times b$ có thể viết là $a\cdot b$ hoặc $ab;$
+) $6\times a\times b$ có thể viết là $6\cdot a\cdot b$ hoặc $6ab;$
+) $363\times 2\;018$ có thể viết là $363\cdot 2\;018.$
❓ Thực hành 1: An có $100\;000$ đồng để mua đồ dùng học tập. An đã mua $5$ quyển vở, $6$ cái bút bi và $2$ cái bút chì. Biết rằng mỗi quyển vở có giá $6\;000$ đồng, mỗi cái bút bi hoặc bút chì có giá $5\;000$ đồng. Hỏi An còn lại bao nhiêu tiền?
Giá của $5$ quyển vở là: $5\cdot 6\;000$ (đồng)
Giá của $6$ cái bút bi là: $6\cdot 5\;000$ (đồng)
Giá của $2$ cái bút chì là: $2\cdot 5\;000$ (đồng)
=> Số tiền An cần dùng để mua $5$ quyển vở, $6$ cái bút bi và $2$ cái bút chì là: $5\cdot 6\;000 + 6\cdot 5\;000 + 2\cdot 5\;000$ (đồng)
Vậy số tiền An còn lại là: $100\;000 – ( 5\cdot 6\;000 + 6\cdot 5\;000 + 2\cdot 5\;000 )$ $= 30\;000$ (đồng).
2. Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên
Phép cộng và phép nhân có các tính chất:
🧐 Tính chất giao hoán: $a+b = b+a;$ $a\cdot b = b\cdot a.$
🧐 Tính chất kết hợp: $(a+b) + c = a+ (b+c);$ $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c).$
🧐 Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c.$
🧐 Tính chất cộng với số $0,$ nhân với số $1$: $a+0 = a;$ $a\cdot 1 = a.$
Ví dụ 4: Tính một cách hợp lý:
$7 + 16 + 3 + 4$
$= 7 + 3 + 16 + 4$ → TC giao hoán
$= (7 + 3) + (16 + 4)$ → TC kết hợp
$= 10 + 20$
$= 30.$
Ví dụ 5: Tính nhẩm:
$2\cdot 37\cdot 5$
$=2\cdot 5\cdot 37$ → TC giao hoán
$=(2\cdot 5)\cdot 37$ → TC kết hợp
$= 10 \cdot 37$
$= 370.$
Ví dụ 6: Tính nhẩm:
$125\cdot (100+1)$
$=125\cdot 100 + 125\cdot 1$ → TC phân phối
$= 12;500 + 125$
$= 12;625.$
❓ Thực hành 2: Có thể thực hiện phép tính sau như thế nào cho hợp lý?
$T = 11\cdot (1 + 3 + 7 + 9) + 89\cdot (1 + 3 + 7 + 9).$
Cách 1:
$T = 11\cdot (1 + 3 + 7 + 9) + 89\cdot (1 + 3 + 7 + 9)$
$ = (1+3+7+9)\cdot (11+89)$
$= (1 + 9 + 3 + 7)\cdot (11 + 89)$
$= (10+10)\cdot 100$
$= 20\cdot 100$
$=2\;000.$
Cách 2:
$T = 11\cdot (1 + 3 + 7 + 9) + 89\cdot (1 + 3 + 7 + 9)$
Đặt $M = 1+3+7+9$ thì
$T = 11\cdot M + 89\cdot M$ $=M\cdot (11+89)$ $= M\cdot 100$
Ta cần phải tính giá trị của $M.$ Ta có:
$M = 1+3+7+9$ $=1+9+3+7$ $=(1+9)+(3+7)$ $=10+10$ $=20.$
Vậy $T = 20\cdot 100 = 2\;000.$
Chú ý: Phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ: $a\cdot (b-c) = a\cdot b – a\cdot c$ $\;\;(b>c).$
❓ Thực hành 3: Có thể tính nhanh tích của một số với $9$ hoặc $99$ như sau:
$67\cdot 9 = 67\cdot (10 – 1) = 670 – 67 = 603;$
$346\cdot 99 = 346\cdot (100 – 1) = 34\;600 – 346 = 34\;254.$
Tính:
a) $1\;234\cdot 9;$
b) $1\;234\cdot 99.$
a) $1\;234\cdot 9$ $= 1\;234\cdot (10 – 1)$ $= 1\;234\cdot 10 – 1\;234\cdot 1$ $= 12\;340 – 1\;234$ $= 111;106.$
b) $1\;234\cdot 99$ $= 1\;234\cdot (100 – 1)$ $= 1\;234\cdot 100 – 1\;234\cdot 1$ $= 123\;400 – 1\;234$ $= 122\; 166.$
3. Phép trừ và phép chia hết
Phép trừ:

Điều kiện để có phép trừ $a-b$ là $a\geq b.$
Phép chia hết:

Điều kiện để có phép chia $a : b$ là $b\neq 0.$
✍ Vận dụng: Năm nay An $12$ tuổi, mẹ An $36$ tuổi.
a) Hỏi bao nhiêu năm nữa thì số tuổi của An bằng số tuổi của mẹ năm nay?
b) Năm nay số tuổi của mẹ An gấp mấy lần số tuổi của An?
a) Ta có: $36 – 12 =24.$
Vậy $24$ năm nữa thì An sẽ được $36$ tuổi, bằng với số tuổi của mẹ năm nay.
b) Ta có: $36 : 12 = 3.$
Vậy năm nay số tuổi của mẹ An gấp $3$ lần số tuổi của An.
💡 Hoạt động 2: Nhóm bạn Lan dự định thực hiện một kế hoạch nhỏ với số tiền cần có là $200\;000$ đồng. Hiện tại, các bạn đang có $80\;000$ đồng. Các bạn thực hiện gây quỹ thêm bằng cách thu lượm và bán giấy vụn, mỗi tháng được $20\;000$ đồng.
a) Số tiền hiện tại các bạn còn thiếu là bao nhiêu?
b) Số tiền còn thiếu cần phải thực hiện gây quỹ trong mấy tháng?
a) Hiện tại, nhóm bạn Lan:
– cần có: $200\;000$ đồng;
– đang có: $80\;000$ đồng.
Ta có: $200\;000 – 80\;000 = 120\;000$
Vậy số tiền còn thiếu là: $120\;000$ đồng.
b) Mỗi tháng gây quỹ được $20\;000$ đồng. Mà số tiền còn thiếu là $120\;000$ đồng (câu a).
Ta có: $120\;000 : 20\;000 = 6.$
Vậy số tiền còn thiếu cần thực hiện gây quỹ trong $6$ tháng.
🧐 Nếu a – b = c thì a = b + c.
Chẳng hạn: Nếu $x – 5 = 2$ thì $x=5+2 = 7.$
🧐 Nếu a – b = c thì b = a – c.
Chẳng hạn: Nếu $9-x=3$ thì $x = 9-3=6.$
🧐 Nếu a + b = c thì a = c – b và b = c – a.
Chẳng hạn: Nếu $x+5=8$ thì $x=8-5=3.$
Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên $x,$ biết:
a) $x+2\;020 = 2\;021;$
b) $x – 750 = 2\;314;$
c) $2\;021 – x = 2\;005.$
Lời giải
a) Vì $x+2\;020=2\;021$ nên $x = 2\;021 – 2\;020 = 1.$
Vậy $x = 1.$
b) Vì $x – 750 = 2\;314$ nên $x = 2\;314 + 750 = 33;064.$
Vậy $x = 3\;064.$
c) Vì $2\;021 – x = 2\;005$ nên $x = 2\;021 – 2\;005 = 16.$
Vậy $x = 16.$
🧐 Nếu $\mathbf{a} : b = q$ thì $\mathbf{a} = b\cdot q.$
Chẳng hạn: Nếu $x:2 = 6$ thì $x = 2\cdot 6 = 12.$
🧐 Nếu $a : \mathbf{b} = q$ (và $q\neq 0)$ thì $\mathbf{b} = a:q.$
Chẳng hạn: Nếu $8 : x = 2$ thì $x = 8:2 = 4.$
🧐 Nếu $a\cdot b = c$ thì $a = c:b$ và $b = c:a.$
Chẳng hạn: Nếu $2x = 18$ thì $x = 18:2 = 9.$
Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên $x,$ biết:
a) $x:15 = 30;$
b) $2\;020 : x = 20;$
c) $x\cdot 10 = 500.$
Lời giải
a) Vì $x:15 = 30$ nên $x = 30\cdot 15 = 450.$
Vậy $x = 450.$
b) Vì $2\;020 : x = 20$ nên $x = 2\;020 : 20 = 101.$
Vậy $x = 101.$
c) Vì $x\cdot 10 = 500$ nên $x = 500 : 10 = 50.$
Vậy $x = 50.$
Tổng kết:
👉 Phép cộng và Phép nhân có các tính chất: Giao hoán, Kết hợp, Phân phối của phép nhân đối với phép cộng, Cộng với số $0,$ nhân với số $1.$
👉 Điều kiện để có phép trừ $a-b$ là $a\geq b.$
👉 Điều kiện để có phép chia $a : b$ là $b\neq 0.$