[Ch.1 – B.6] Chia hết và chia có dư. Tính chất chia hết của một tổng.
1. Chia hết và chia có dư
Khi thực hiện phép chia,
– nếu số dư bằng $0$ thì ta có phép chia hết;
– nếu số dư khác $0$ thì ta có phép chia có dư.
💡 Hoạt động 1: Có thể chia đều $15$ quyển vở cho $3$ bạn được không? Mỗi bạn được bao nhiêu quyển vở?
Có thể chia đều $7$ quyển vở cho $3$ bạn được không?
+) Ta có: $15$ chia hết cho $3.$ Do đó, có thể chia đều $15$ quyển vở cho $3$ bạn được.
Số quyển vở mỗi bạn nhận được là: $15 : 3 = 5$ (quyển).
+) Ta có: $7$ không chia hết cho $3.$ Do đó, không thể chia đều $7$ quyển vở cho $3$ bạn được.
Nhận xét:
+) Vì 15 = 3 ∙ 5 nên 15 chia hết cho 3 và được thương là 5.
+) Vì 7 = 3 ∙ 2 + 1 nên 7 không chia hết cho 3. (Khi lấy 7 chia cho 3, ta được thương là 2 và dư 1.
Cho trước hai số tự nhiên $a$ và $b$ (với $b\neq 0).$
🧐 Ta luôn tìm được đúng hai số tự nhiên $q$ và $r$ (với $0\leq r < b)$ sao cho: $a = b\cdot q + r.$
Ta gọi $q$ là thương và $r$ là số dư trong phép chia $a$ cho $b.$
🧐 Nếu $r = 0$ (tức là $a = b\cdot q),$ ta nói $a$ chia hết cho $b,$ ký hiệu $a\;\vdots \;b.$ Lúc này ta có phép chia hết $a:b=q.$
🧐 Nếu $r \neq 0,$ ta nói $a$ không chia hết cho $b,$ ký hiệu $a\;\not{\vdots} \;b.$ Lúc này ta có phép chia có dư.
Ví dụ 1: Vì $18 = 2\cdot 9$ nên $18\;\vdots\;2.$
Ta cũng có phép chia hết: $18 : 2 = 9.$
Ví dụ 2: Vì $23 = 10\cdot 2 + 3$ nên $23 \;\not{\vdots} \; 10.$
Ta có phép chia có dư: $23$ chia cho $10$ được thương là $2$ và dư $3.$
❓ Thực hành 1:
a) Hãy tìm số dư trong phép chia mỗi số sau đây cho $3:$ $\;\;255;$ $\;\;157;$ $\;\;5\;105.$
b) Có thể sắp xếp cho $17$ bạn vào $4$ xe taxi được không? Biết rằng mỗi xe taxi chỉ chở được không quá $4$ bạn.
a)
+) Vì $255$ chia hết cho $3$ nên số dư (khi chia 255 cho 3) là $0.$
+) $157$ chia cho $3$ được số dư là $1.$
(Vì $157 = 3\cdot 52 + 1)$
+) $5\;105$ chia cho $3$ được số dư là $2.$
(Vì $5\;105 = 3\cdot 1\;701 + 2)$
b) Vì mỗi xe taxi chỉ chở được không quá $4$ bạn nên $4$ xe taxi chỉ chở được không quá $4\cdot 4 = 16$ bạn.
Do đó, không thể sắp xếp cho $17$ bạn vào $4$ xe taxi được (vì $17 > 16).$
2. Tính chất chia hết của một tổng
Cho $a, b, n$ là các số tự nhiên, với $n\neq 0.$
Tính chất 1: Nếu $a$ và $b$ đều chia hết cho $n$ thì tổng $a+b$ cũng chia hết cho $n.$
🧐 Nếu $a\;\vdots\;n$ và $b\;\vdots\;n$ thì $(a+b) \;\vdots\; n.$
💡 Hoạt động 2: Viết hai số chia hết cho $11.$ Tổng của chúng có chia hết cho $11$ không?
Viết hai số chia hết cho $13.$ Tổng của chúng có chia hết cho $13$ không?
+) Hai số chia hết cho $11$ là: $22$ và $33.$
Tổng của chúng là $22+33 = 55$ cũng chia hết cho $11.$
+) Hai số chia hết cho $13$ là: $13$ và $26.$
Tổng của chúng là $13+26 = 39$ cũng chia hết cho $13.$
Ví dụ 3: Tổng $129\cdot 7 + 14\cdot 2\;020$ có chia hết cho $7$ hay không?
Giải:
Ta có:
+) $129\cdot 7 \;\vdots\; 7$
+) Vì $14 \;\vdots\;7$ nên $14\cdot 2\;020 \;\vdots\; 7$
Vì $129\cdot 7 \;\vdots\; 7$ và $14\cdot 2\;020 \;\vdots\; 7$ nên $(129\cdot 7 + 14\cdot 2\;020) \;\vdots\; 7.$
Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu:
🧐 Nếu $a\;\vdots\;n$ và $b\;\vdots\;n$ thì $(a-b) \;\vdots\; n.$
(Trong đó, $a\geq b)$
Tính chất 1 có thể mở rộng cho một tổng có nhiều số hạng: “Trong một tổng, nếu mọi số hạng đều chia hết cho cùng một số thì tổng cũng chia hết cho số đó”.
🧐 Nếu $a\;\vdots\;n,$ $b\;\vdots\;n,$ $c\;\vdots\;n$ thì $(a+b+c) \;\vdots\; n.$
Ví dụ 4: Vì $12 \;\vdots\;3,$ $15\;\vdots\;3$ và $27\;\vdots\;3$ nên $(12+15+27)\;\vdots\;3.$
Tính chất 2: Nếu $a$ chia hết cho $n,$ mà $b$ lại không chia hết cho $n$ thì tổng $a+b$ không chia hết cho $n.$
🧐 Nếu $a\;\not{\vdots}\;n$ và $b\;\vdots\;n$ thì $(a+b) \;\not{\vdots}\; n.$
Ví dụ 5: Tổng $12\cdot 75 + 27$ có chia hết cho $15$ hay không?
Giải:
+) Vì $75\;\vdots\;15$ nên $12\cdot 75 \;\vdots\;15;$
+) $27\;\not{\vdots}\;15.$
Vì $12\cdot 75 \;\vdots\;15$ và $27\;\not{\vdots}\;15$ nên $(12\cdot 75 + 27)\;\not{\vdots}\;15.$
Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu:
🧐 Nếu $a\;\not{\vdots}\;n$ và $b\;\vdots\;n$ thì $(a-b) \;\not{\vdots}\; n.$
🧐 Nếu $a\;\vdots\;n$ và $b\;\not{\vdots}\;n$ thì $(a-b) \;\not{\vdots}\; n.$
(Trong đó, $a\geq b)$
Tính chất 2 có thể mở rộng cho một tổng có nhiều số hạng: “Trong một tổng, nếu chỉ có đúng một số hạng không chia hết cho một số, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó”.
🧐 Nếu $a\;\not{\vdots}\;n,$ $b\;\vdots\;n,$ $c\;\vdots\;n$ thì $(a+b+c) \;\not{\vdots}\; n.$
Ví dụ 6: Giá trị của biểu thức $14 + 8 – 21$ không chia hết cho $7$ vì $14\;\vdots\;7,$ $8\;\not{\vdots}\;7,$ $21\;\vdots\;7.$
❓ Thực hành 2:
a) Không thực hiện phép tính, xét xem các tổng, hiệu sau có chia hết cho $4$ không? Tại sao?
$1\;200+440;$ $400 – 324;$ $2\cdot 3\cdot 4\cdot 6 + 27.$
b) Tìm hai ví dụ về tổng hai số chia hết cho $5$ nhưng các số hạng của tổng lại không chia hết cho $5.$
a)
+) Ta có: $1\;200 \;\vdots\; 4$ và $440\;\vdots\; 4$
Do đó: $(1\;200 + 440) \;\vdots\; 4.$
+) Ta có: $400 \;\vdots\; 4$ và $324\;\vdots\; 4$
Do đó: $(400 – 324)\;\vdots\;4.$
+) Ta có: $2\cdot 3\cdot 4\cdot 6 \;\vdots\; 4$ và $27\;\not{\vdots}\;4$
Do đó: $(2\cdot 3\cdot 4\cdot 6 + 27) \;\not{\vdots}\; 4.$
b) Ta có: $6 \;\not{\vdots}\; 5$ và $14\;\not{\vdots}\; 5$ nhưng $6+14 = 20 \;\vdots\; 5.$
Ta có: $18\;\not{\vdots}\;5$ và $12\;\not{\vdots}\;5$ nhưng $18+12 = 30\;\vdots\;5.$
✍ Vận dụng: Cho tổng $A = 12 + 14 + 16 + x,$ với $x$ là số tự nhiên. Tìm $x$ để $A$ chia hết cho $2;$ $A$ không chia hết cho $2.$
Ta có: $12; 14; 16$ đều chia hết cho $2.$
Do đó:
+) Để $A = 12 + 14 + 16 + x$ chia hết cho $2$ thì $x$ phải chia hết cho $2,$ tức $x$ là số chẵn.
+) Để $A=12 + 14 + 16 + x$ không chia hết cho $2$ thì $x$ không chia hết cho $2,$ tức $x$ là số lẻ.
Tổng kết:
👉 Tính chất 1: Nếu $a$ và $b$ đều chia hết cho $n$ thì tổng $a+b$ cũng chia hết cho $n.$
👉 Tính chất 2: Nếu $a$ chia hết cho $n,$ mà $b$ lại không chia hết cho $n$ thì tổng $a+b$ không chia hết cho $n.$
(Các tính chất trên áp dụng tương tự cho phép trừ và tổng có nhiều số hạng.)