Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
🤔 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là bất phương trình có một trong các dạng: $ax+by+c>0; ax+by+c\geq 0; ax+by+c<0; ax+by+c\leq 0,$
trong đó, $a, b, c$ là những số thực cho trước với $a, b$ không đồng thời bằng $0;$ $x$ và $y$ là các ẩn.
Câu hỏi 1: Mỗi bất phương trình sau có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?
a) $x – 3y + 7 \geq 0;$
b) $2x + 5y^2 + 1 < 0;$
c) $-6y – x \leq 0;$
d) $3x – 4y > 20;$
e) $x \geq 71;$
f) $2x – 3xy < 4.$
Giải
a) $x – 3y + 7 \geq 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) $2x + 5y^2 + 1 < 0$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa $y^2.$
c) $-6y – x \leq 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
d) $3x – 4y > 20$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta có thể viết lại nó dưới dạng tương đương là $3x – 4y – 20 > 0.$
e) $x \geq 71$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta có thể viết lại nó dưới dạng tương đương là $x + 0y \geq 71.$
f) $2x – 3xy < 4$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa $xy.$
Câu hỏi 2: Lập bất phương trình diễn đạt mỗi tình huống sau:
a) Lan cần số tiền tối thiểu là $400$ nghìn đồng để chi tiêu trong tháng.
b) Nguyệt chỉ có tối đa $2$ giờ mỗi ngày cho việc tập thể dục.
Giải
a) Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền Lan cần có để chi tiêu trong tháng. Ta có: $x \geq 400.$
b) Gọi $x$ (giờ) là thời gian Nguyệt dành cho việc tập thể dục mỗi ngày. Ta có: $x \leq 2.$
Câu hỏi 3: Một người có $120$ nghìn đồng và muốn mua hai loại nước giải khát. Mỗi chai nước giải khát loại A có giá $15$ nghìn đồng, mỗi chai loại B có giá 22 nghìn đồng. Gọi $x, y$ lần lượt là số chai loại A và số chai loại B mà người đó có thể mua được. Hãy lập bất phương trình mô tả điều kiện của $x, y.$
Giải
Số tiền phải trả cho $x$ chai loại A và $y$ chai loại B là: $15x + 22y.$
Người đó chỉ có $120$ nghìn đồng nên số tiền phải trả nhỏ hơn hoặc bằng $120$ nghìn đồng, tức là: $15x+22y\leq 120.$
Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là cặp số $(x; y)$ thỏa mãn bất phương trình đó.
🤔 Xét bất phương trình $ax + by + c < 0.$
Mỗi cặp số $(x_0; y_0)$ thỏa mãn $ax_0 + by_0 + c < 0$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
🤔 Nghiệm của các bất phương trình $ax + by + c \leq 0,$ $ax+by+c > 0,$ $ax + by+c\geq 0$ được định nghĩa tương tự.
Để kiểm tra một cặp số $(x_0; y_0)$ có phải là nghiệm của một bất phương trình hay không, ta thay giá trị $x = x_0$ và $y = y_0$ vào bất phương trình đã cho, nếu được mệnh đề đúng thì đó là một nghiệm, nếu được mệnh đề sai thì đó không phải là nghiệm.
Ví dụ: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $x + 2y – 5 > 0.$
+) Xét cặp số $(3; 4).$ Thay $x = 3$ và $y = 4$ vào bất phương trình đã cho, ta được: $3 + 2\cdot 4 – 5 > 0.$ Đây là mệnh đề đúng nên $(3; 4)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
+) Xét cặp số $(0; -1).$ Thay $x = 0$ và $y = -1$ vào bất phương trình đã cho, ta được: $0 + 2\cdot (-1) – 5 > 0.$ Đây là mệnh đề sai nên $(0; -1)$ không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Câu hỏi 4: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình $3x + 2y \geq -5?$
a) $(2; -1);$
b) $(-2; 0);$
c) $(-1; -1).$
Giải
a) $(2; -1)$
Thay $x = 2$ và $y = -1$ vào bất phương trình đã cho, ta được: $3\cdot 2 + 2\cdot (-1) \geq -5.$ Đây là mệnh đề đúng nên $(2; -1)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.
b) $(-2; 0)$
Thay $x = -2$ và $y = 0$ vào bất phương trình đã cho, ta được: $3\cdot (-2) + 2\cdot 0 \geq -5.$ Đây là mệnh đề sai nên $(-2; 0)$ không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho.
c) $(-1; -1)$
Thay $x = -1$ và $y = -1$ vào bất phương trình đã cho, ta được: $3\cdot (-1) + 2\cdot (-1) \geq -5.$ Đây là mệnh đề đúng nên $(-1; -1)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Chú ý: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.