Các loại mệnh đề thường gặp.

Chia sẻ nếu thấy hay:

Mệnh đề kéo theo

Ví dụ 1: Các câu sau đây là các mệnh đề kéo theo:

(1) Nếu tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau thì nó là tam giác cân.

(2) Nếu $x>0$ thì $x +1>0.$

Nhận xét: Các câu trên đều có dạng “Nếu $P$ thì $Q$”, (trong đó $P, Q$ là các mệnh đề hoặc mệnh đề chứa biến). Phát biểu có dạng như vậy được gọi là mệnh đề kéo theo.

🤔 Cho trước hai mệnh đề $P, Q.$ Phát biểu “Nếu $P$ thì $Q$” được gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu là $P \Rightarrow Q.$

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai; nó đúng trong các trường hợp còn lại.

Câu hỏi 1: Cho tam giác ABC. Xét hai mệnh đề:

$P:$ “Tam giác ABC có hai góc bằng 60o“;

$Q:$ “Tam giác ABC là tam giác đều”.

Hãy phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q.$

Giải

$P\Rightarrow Q:$ “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60o thì nó là tam giác đều”.

Lưu ý:

+) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai. Do đó, để xét tính đúng sai của mệnh đề $P\Rightarrow Q,$ ta chỉ cần xét trường hợp $P$ đúng. Khi đó, nếu $Q$ đúng thì mệnh đề đúng; nếu $Q$ sai thì mệnh đề sai.

+) Tùy theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là “$P$ kéo theo $Q$” hay “Vì $P$ nên $Q$” hay “$P$ suy ra $Q$”…

Câu hỏi 2: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $R:$ “Vì 1<2 nên 3>4”;

b) $T:$ “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 45o thì nó là tam giác vuông cân”.

Giải

a) $R$ là mệnh đề kéo theo, nó có dạng $P\Rightarrow Q.$ Trong đó, $P:$ “1<2” và $Q:$ “3>4”.

Vì $P$ đúng và $Q$ sai nên $P\Rightarrow Q$ sai. Tức là $R$ là mệnh đề sai.

b) $T$ là mệnh đề kéo theo, nó có dạng $P \Rightarrow Q,$ với $P:$ “Tam giác ABC có hai góc bằng 45o” và $Q:$ “Tam giác ABC là tam giác vuông cân”.

Ta thấy rằng khi $P$ đúng thì $Q$ cũng đúng. Do đó, mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng. Tức là $T$ là mệnh đề đúng.

🤔 Trong toán học, các định lý là các mệnh đề đúng. Chúng thường có dạng $P\Rightarrow Q.$

🤔 Khi $P\Rightarrow Q$ là định lý, ta nói:

  • $P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận của định lý;
  • $P$ là điều kiện đủ để có $Q;$
  • $Q$ là điều kiện cần để có $P.$

Câu hỏi 3: Xét hai mệnh đề sau đây:

$P:$ “$a$ và $b$ chia hết cho $c$”;

$Q:$ “$a+b$ chia hết cho $c$”.

a) Hãy phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q.$

b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ có phải là một định lý không? Nếu phải, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu lại định lý này theo hai cách khác nhau.

Giải

a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu $a$ và $b$ chia hết cho $c$ thì $a+b$ chia hết cho $c$”.

b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là một định lý (vì nó là mệnh đề đúng). Ta có thể phát biểu định lý này theo hai cách khác nhau là:

+) Cách 1: “$a$ và $b$ chia hết cho $c$ là điều kiện đủ để $a+b$ chia hết cho $c$”.

+) Cách 2: “$a+b$ chia hết hết cho $c$ là điều kiện cần để $a$ và $b$ chia hết cho $c$”.

Mệnh đề đảo (của một mệnh đề kéo theo)

Cho trước một mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q.$ Mệnh đề đảo của nó là mệnh đề $Q\Rightarrow P.$

🤔 Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q.$

Câu hỏi 4: Cho hai mệnh đề:

$P:$ “Tam giác ABC là tam giác đều”;

$Q:$ “Tam giác ABC là tam giác cân”.

Hãy phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó. Mệnh đề đảo này có đúng không?

Giải

$P\Rightarrow Q:$ “Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì nó là tam giác cân”.

Mệnh đề đảo là $Q\Rightarrow P:$ “Nếu tam giác ABC là tam giác cân thì nó là tam giác đều”.

Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề sai.

Lưu ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là mệnh đề đúng.

Câu hỏi 5: Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đảo này.

a) “Nếu $x=1$ thì $x-1=0.$

b) “Nếu tam giác ABC vuông tại A thì góc B và góc C là các góc nhọn”.

Giải

a) Mệnh đề đảo là: “Nếu $x-1=0$ thì $x=1$”.

Mệnh đề đảo này là đúng.

b) Mệnh đề đảo là: “Nếu tam giác ABC có góc B và góc C là các góc nhọn thì nó là tam giác vuông”.

Mệnh đề đảo này là sai.

Hai mệnh đề tương đương

Hai mệnh đề $P$ và $Q$ được gọi là hai mệnh đề tương đương nếu $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều là các mệnh đề đúng.

🤔 Nếu cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng thì ta nói $P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương, ký hiệu $P\Leftrightarrow Q.$

Câu hỏi 6: Cho hai mệnh đề:

$P:$ “Tam giác $ABC$ vuông tại $A$”;

$Q:$ “Tam giác $ABC$ có $AB^2+ AC^2 = BC^2$”.

Hỏi $P$ và $Q$ có phải là hai mệnh đề tương đương không?

Giải

$P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương vì theo định lý Pythagore, hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng.

Lưu ý: Phát biểu “$P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương” còn có thể diễn đạt bằng các cách khác là:

+) “$P$ tương đương $Q$”;

+) “$P$ và $Q$ tương đương (nhau);

+) “$P$ nếu và chỉ nếu $Q$”;

+) “$P$ khi và chỉ khi $Q$”;

+) “$P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$.

Câu hỏi 7: Cho hai mệnh đề:

$P:$ “Số tự nhiên $n$ chia hết cho 2”.

$Q:$ “Số tự nhiên $n$ có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8”.

a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó.

b) Hai mệnh đề $P$ và $Q$ có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lý $P\Leftrightarrow Q$ theo hai cách khác nhau.

Giải

a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho 2 thì nó có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8”.

$Q\Rightarrow P:$ “Nếu số tự nhiên $n$ có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 thì nó chia hết cho 2”.

b) Ta thấy rằng $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng nên $P$ và $Q$ tương đương nhau.

Ta có thể phát biểu định lý $P\Leftrightarrow Q$ bằng hai cách như sau:

+) Cách 1: “Số tự nhiên $n$ chia hết cho 2 là điều kiện cần và đủ để $n$ có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8”.

+) Cách 2: “Số tự nhiên $n$ chia hết cho 2 khi và chỉ khi $n$ có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8”.

Mở rộng: Thực ra, trong toán học, người ta vẫn xem $P\Leftrightarrow Q$ là một mệnh đề, gọi là mệnh đề tương đương. Mệnh đề tương đương $P\Leftrightarrow Q$ chỉ đúng khi $P$ và $Q$ cùng đúng hoặc cùng sai (lúc đó, hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng).

Mệnh đề chứa ký hiệu $\forall, \exists .$

🤔 Ký hiệu $\forall$ thay cho từ “với mọi”.

🤔 Ký hiệu $\exists$ thay cho từ “tồn tại” (hoặc “có một”, hoặc “có ít nhất một”).

Ví dụ 2:

+) Câu “Mọi số thực đều có bình phương không âm” có thể viết dưới dạng ký hiệu là: $\forall x\in\mathbb{R}, x^2 \geq 0.$

Nhận xét: “Mọi số thực” được thay bằng $\forall x\in\mathbb{R},$ (nghĩa là với mọi $x$ thuộc tập hợp số thực $\mathbb{R}).$ “Không âm” có nghĩa là $\geq 0.$

+) Câu “Có một số hữu tỷ mà bình phương của nó bằng 2” có thể viết dưới dạng ký hiệu là: $\exists x\in \mathbb{Q}, x^2=2.$

Nhận xét: “Có một số hữu tỷ” được thay bằng $\exists x\in\mathbb{Q},$ (nghĩa là với mọi $x$ thuộc tập hợp số hữu tỷ $\mathbb{Q}.$

Với $M$ là một tập hợp và $P(x)$ là mệnh đề chứa biến $x.$ Ta có:

🤔 Phát biểu “$\forall x\in M, P(x)$” là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu với bất kỳ $t\in M$ thì $P(t)$ đúng. Mệnh đề này sai nếu có ít nhất một $t\in M$ làm cho $P(t)$ sai.

🤔 Phát biểu “$\exists x\in M, P(x)$” là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu có ít nhất một $t\in M$ mà $P(t)$ đúng. Mệnh đề này sai nếu mọi $t\in M$ đều làm cho $P(t)$ sai.

Câu hỏi 8: Viết lại các mệnh đề sau bằng cách dùng ký hiệu $\forall$ và cho biết mỗi mệnh đề đó đúng hay sai.

a) “Với mọi số thực $x, x^2+1>0$”.

b) “Với mọi số tự nhiên $n, n^2+n$ chia hết cho 6”.

Giải

a) Mệnh đề được viết lại dưới dạng ký hiệu là: $\forall x\in\mathbb{R}, x^2+1>0.$

Mệnh đề này đúng. Vì với mọi $x\in\mathbb{R}$ thì $x^2\geq 0,$ nên $x^2+1\geq 1>0.$

b) Mệnh đề được viết lại dưới dạng ký hiệu là: $\forall n\in\mathbb{N}, (n^2+n) \;\vdots\; 6.$

Mệnh đề này sai. Vì có $n=1$ mà $n^2+n = 1^2+1 = 2 \;\not\vdots\; 6.$

Câu hỏi 9: Viết lại các mệnh đề sau bằng cách dùng ký hiệu $\exists$ và cho biết mỗi mệnh đề đó đúng hay sai.

a) “Tồn tại số thực $x$ sao cho $x^3=-8$”.

b) “Có một số nguyên $x$ sao cho $2x+1=0$”.

Giải

a) Mệnh đề được viết lại là: $\exists x\in\mathbb{R}, x^3=-8.$

Mệnh đề này đúng. Vì có $x=-2$ mà $x^3=(-2)^3=-8.$

b) Mệnh đề được viết lại là: $\exists x\in\mathbb{Z}, 2x+1=0.$

Mệnh đề này sai. Vì với mọi $x\in\mathbb{Z}$ thì $2x+1$ không chia hết cho 2; nên $2x+1\neq 0.$

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.