Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 1 – Chương 1, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Cánh diều.
Luyện tập 1 (Trang 5 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Nêu hai ví dụ về mệnh đề toán học.
Giải
Hai ví dụ về mệnh đề toán học:
- VD1: “Số 3 là một số tự nhiên.”
- VD2: “17 chia hết cho 5.”
Luyện tập 2 (Trang 6 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Nêu ví dụ về một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
Giải
+) Ví dụ về mệnh đề đúng: “15 chia hết cho 5.”
+) Ví dụ về mệnh đề sai: “7+1=10.”
Luyện tập 3 (Trang 6 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Nêu ví dụ về mệnh đề chứa biến.
Giải
Ví dụ về mệnh đề chứa biến: “n là số chẵn.” (với n là số tự nhiên).
Luyện tập 4 (Trang 7 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.
$P:$ “5,15 là một số hữu tỷ.”
$Q:$ “2023 là số chẵn.”
Giải
Mệnh đề phủ định của $P$ là $\overline{P}:$ “5,15 không phải là một số hữu tỷ.” Mệnh đề $\overline{P}$ là một mệnh đề sai.
Mệnh đề phủ định của $Q$ là $\overline{Q}:$ “2023 không phải là số chẵn.” Mệnh đề $\overline{Q}$ là một mệnh đề đúng.
Luyện tập 5 (Trang 8 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Hãy phát biểu một định lý toán học ở dạng mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q.$
Giải
Một định lý toán học có dạng $P\Rightarrow Q:$ “Nếu tam giác ABC cân tại A thì góc B và góc C bằng nhau.”
Trong đó:
- Giả thiết là $P:$ “Tam giác ABC cân tại A”;
- Kết luận là $Q:$ “Góc B và góc C bằng nhau”.
Luyện tập 7 (Trang 11 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:
a) Tồn tại số nguyên chia hết cho 3.
b) Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng phân số.
Giải
a) Mệnh đề được viết lại dưới dạng ký hiệu là $A:$ “$\exists x\in \mathbb{Z}, x\;\vdots \; 3$”.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là $\overline{A}:$ “$\forall x \in \mathbb{Z}, x \;\not\vdots \;3$.”
(Mệnh đề $\overline{A}$ có thể diễn đạt bằng lời là: “Mọi số nguyên đều không chia hết cho 3.”)
b) Mệnh đề phủ định là: “Tồn tại số thập phân không viết được dưới dạng phân số.”
Bài tập 1 (Trang 11 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?
a) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.
b) Mọi số tự nhiên đều là số dương.
c) Có sự sống ngoài Trái Đất.
d) Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động.
Giải
Các phát biểu a), b) là các mệnh đề toán học.
Các phát biểu c), d) không phải là mệnh đề toán học (vì không phải là một sự kiện toán học).
Bài tập 2 (Trang 11 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:
a) $A:$ “$\frac{5}{1,2}$ là một phân số”;
b) $B:$ “Phương trình $x^2+3x+2=0$ có nghiệm”;
c) $C:$ “$2^2+2^3=2^{2+3}$”;
d) $D:$ “Số 2025 chia hết cho 15”.
Giải
a) Mệnh đề phủ định của $A$ là mệnh đề $\overline{A}:$ “$\frac{5}{1,2}$ không phải là phân số”. Mệnh đề $\overline{A}$ là một mệnh đề đúng (vì 1,2 không phải là số nguyên).
b) Mệnh đề phủ định của $B$ là mệnh đề $\overline{B}:$ “Phương trình $x^2+3x+2=0$ vô nghiệm”. Mệnh đề $\overline{B}$ là một mệnh đề sai (vì phương trình $x^2+3x+2=0$ có hai nghiệm là $x=-1; x = -2).$
c) Mệnh đề phủ định của $C$ là mệnh đề $\overline{C}:$ “$2^2+2^3\neq 2^{2+3}$”. Mệnh đề $\overline{C}$ là một mệnh đề đúng (vì $2^2+2^3 = 12$ và $2^{2+3} = 32$ nên $2^2+2^3\neq 2^{2+3}).$
d) Mệnh đề phủ định của $D$ là mệnh đề $\overline{D}:$ “Số 2025 không chia hết cho 15”. Mệnh đề $\overline{D}$ là một mệnh đề sai (vì 2025 chia hết cho 3 và chia hết cho 5 nên 2025 chia hết cho 15).
Bài tập 3 (Trang 11 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho $n$ là số tự nhiên. Xét hai mệnh đề:
$P:$ “Số tự nhiên $n$ chia hết cho 16”.
$Q:$ “Số tự nhiên $n$ chia hết cho 8”.
a) Với $n=32,$ phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và xét tính đúng sai của mệnh đề đó.
b) Với $n=40,$ phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và xét tính đúng sai của mệnh đề đó.
Giải
a) Với $n=32$ thì ta có:
$P\Rightarrow Q:$ “Vì 32 chia hết cho 16 nên 32 chia hết cho 8”.
Ta thấy rằng $P:$ “32 chia hết cho 16” đúng và $Q:$ “32 chia hết cho 8” đúng nên $P\Rightarrow Q$ đúng.
b) Với $n=40$ thì ta có mệnh đề đảo của $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề:
$Q\Rightarrow P:$ “Vì 40 chia hết cho 8 nên 40 chia hết cho 16”.
Ta thấy rằng $Q:$ “40 chia hết cho 8” đúng và $P:$ “40 chia hết cho 16” sai nên $Q\Rightarrow P$ sai.
Bài tập 4 (Trang 11 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề:
$P:$ “Tam giác ABC cân”.
$Q:$ “Tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.
Phát biểu mệnh đề $P\Leftrightarrow Q$ bằng bốn cách.
Giải
Mệnh đề $P\Leftrightarrow Q$ được phát biểu là:
+) Cách 1: “Tam giác ABC cân tương đương tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.
+) Cách 2: “Tam giác ABC cân là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.
+) Cách 3: “Tam giác ABC cân khi và chỉ khi tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.
+) Cách 4: “Tam giác ABC cân nếu và chỉ nếu tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.
Bài tập 5 (Trang 11 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Dùng ký hiệu $\forall$ hoặc $\exists$ để viết các mệnh đề sau:
a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó.
b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.
Giải
a) $\exists x \in \mathbb{Z}, x \;\not\vdots x.$
b) $\forall x \in \mathbb{R}, x+0=x.$
Bài tập 6 (Trang 11 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Phát biểu các mệnh đề sau:
a) $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0.$
b) $\exists x \in \mathbb{R}, \frac{1}{x} > x.$
Giải
a) “Mọi số thực đều có bình phương của nó lớn hơn hoặc bằng 0.”
b) “Tồn tại số thực mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó.”
Lưu ý
Có nhiều cách khác để phát biểu thành lời các mệnh đề trên, miễn sao đúng với ý nghĩa thực sự của nó. Chẳng hạn:
a) “Bình phương của một số thực bất kỳ luôn lớn hơn hoặc bằng 0”.
Hoặc cách khác nữa là “Bình phương của một số thực bất kỳ luôn không âm”.
b) “Có một số thực mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó”.
Bài tập 7 (Trang 11 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:
a) $\forall x\in \mathbb{R}, x^2 \neq 2x-2.$
b) $\forall x\in \mathbb{R}, x^2 \leq 2x-1.$
c) $\exists x\in \mathbb{R}, x+\frac{1}{x} \geq 2.$
d) $\exists x\in \mathbb{R}, x^2-x+1<0.$
Giải
a) Mệnh đề phủ định là $A: \exists x\in \mathbb{R}, x^2=2x-2.$
Ta thấy phương trình $x^2=2x-2$ vô nghiệm nên với bất kỳ số thực $x$ thì $x^2\neq2x-2.$ Do đó, mệnh đề $A$ là mệnh đề sai.
b) Mệnh đề phủ định là $B: \exists x \in \mathbb{R}, x^2 > 2x-1.$
Chọn $x=2,$ ta thấy $2^2 > 2\cdot 2 – 1$ nên mệnh đề $B$ là mệnh đề đúng.
c) Mệnh đề phủ định là $C: \forall x \in \mathbb{R}, x+\frac{1}{x} <2.$
Chọn $x=2,$ ta thấy $2+\frac{1}{2} > 2$ nên mệnh đề $C$ là mệnh đề sai.
d) Mệnh đề phủ định là $D: \forall x \in \mathbb{R}, x^2-x+1 \geq 0.$
Với số thực $x$ tùy ý, ta có: $x^2-x+1 = \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \geq 0$ nên $D$ là mệnh đề đúng.