Giải Toán 10 (t1) [Chương 1] Bài 2 – TẬP HỢP. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP. (bộ Cánh diều)
Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 2 – Chương 1, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Cánh diều.
Luyện tập 1 (Trang 13 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Nêu số phần tử của mỗi tập hợp sau:
$$G=\left\{ x\in \mathbb{Z} \;|\; x^2-2=0\right\};$$
$$\mathbb{N}^* = \left\{ 1; 2; 3; …\right\}.$$
Giải
Phương trình $x^2-2=0$ có hai nghiệm phân biệt là: $x=\sqrt{2}; x=-\sqrt{2}.$ Mà hai nghiệm này đều không phải là số nguyên nên tập hợp $G$ không có phần tử nào, hay số phần tử của $G$ là 0 phần tử.
Tập hợp $\mathbb{N}^*$ có vô số phần tử.
Luyện tập 2 (Trang 13 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho hai tập hợp:
$$A=\left\{ n\in \mathbb{N} \;|\; n \; chia\; hết \;cho \;3\right\};$$
$$B=\left\{ n\in \mathbb{N} \;|\; n \; chia\; hết \;cho \;9\right\};$$
Chứng tỏ rằng $B\subset A.$
Hướng dẫn
Muốn chứng minh $X \subset Y$ ta làm như sau: Lấy một phần tử $a$ bất kỳ thuộc tập $X$ và chứng minh rằng $a$ cũng thuộc tập $Y.$
Giải
Lây một phần tử $x$ bất kỳ thuộc $B.$ Ta cần chứng minh rằng $x\in A.$
Thật vậy, vì $x\in B$ nên $x$ chia hết cho 9. Mà 9 chia hết cho 3, nên $x$ chia hết cho 3. Do đó, $x\in A.$
Vậy $B\subset A.$
Luyện tập 3 (Trang 14 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho hai tập hợp:
E = {$n\in \mathbb{N}$ | $n$ chia hết cho 3 và 4};
G = {$n\in\mathbb{N}$ | $n$ chia hết cho 12}.
Chứng tỏ rằng E = G.
Giải
Với mọi $n\in\mathbb{N},$ ta có: $n$ chia hết cho 3 và 4 $\Leftrightarrow$ $n$ chia hết cho 12.
Do đó: $E = G.$
Luyện tập 4 (Trang 15 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho hai tập hợp:
$$A = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; x\leq 0\right\};$$
$$B = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; x\geq 0\right\}.$$
Tìm $A \cap B, A\cup B.$
Giải
$$A \cap B = \left\{0 \right\};$$
$$A\cup B = \mathbb{R}.$$
Luyện tập 5 (Trang 16 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho hai tập hợp:
$$A = \left\{ x\in\mathbb{Z} \;|\; -2 \leq x \leq 3\right\};$$
$$B = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; x^2-x-6=0 \right\};$$
Tìm $A\setminus B$ và $B\setminus A.$
Giải
Ta có:
$A = \left\{ -2; -1; 0; 1; 2; 3\right\}$ và $B= \left\{ -2; 3\right\}.$
Vậy:
$A\setminus B = \left\{ -1; 0; 1; 2\right\}$ và $B\setminus A = \varnothing .$
Bài tập 1 (Trang 18 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tập hợp $X = \left\{a; b; c\right\}.$ Viết tất cả các tập con của tập hợp $X.$
Giải
Các tập con của tập hợp $X$ là: $X, \varnothing,$ $\left\{a\right\}, \left\{b\right\}, \left\{c\right\},$ $\left\{a; b\right\}, \left\{b; c\right\}, \left\{c; a\right\}.$
Bài tập 2 (Trang 18 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Sắp xếp các tập hợp sau theo quan hệ “$\subset$”:
$$[2; 5], (2; 5), [2; 5), (1; 5].$$
Giải
$$(2; 5) \subset [2; 5) \subset [2;5] \subset (1; 5].$$
Bài tập 3 (Trang 18 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số:
$$\mathbf{a)}\; [-3; 7] \cap (2; 5);$$
$$\mathbf{b)}\; (-\infty ; 0] \cup (-1; 2);$$
$$\mathbf{c)}\; \mathbb{R} \setminus (-\infty ; 3);$$
$$\mathbf{d)}\; (-3; 2) \setminus [1; 3).$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; [-3; 7] \cap (2; 5) = (2; 5)$$
Biểu diễn trên trục số:

$$\mathbf{b)}\; (-\infty ; 0] \cup (-1; 2) = (-\infty ; 2)$$
Biểu diễn trên trục số:

$$\mathbf{c)}\; \mathbb{R} \setminus (-\infty ; 3) = [3; +\infty)$$
Biểu diễn trên trục số:

$$\mathbf{d)}\; (-3; 2) \setminus [1; 3) = (-3; 1)$$
Biểu diễn trên trục số:

Bài tập 4 (Trang 18 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Gọi A là tập nghiệm của phương trình $x^2+x-2=0,$ B là tập nghiệm của phương trình $2x^2+x-6=0.$
Tìm $C=A\cap B.$
Giải
Phương trình $x^2+x-2=0$ có hai nghiệm là $x= 1; x=-2.$ Do đó: $A = \left\{1; -2\right\}.$
Phương trình $2x^2+x-6=0$ có hai nghiệm là $x=\frac{3}{2}; x=-2.$ Do đó: $B=\left\{\frac{3}{2}; -2\right\}.$
Vậy $C=A\cap B= \left\{-2\right\}.$
Bài tập 5 (Trang 18 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Tìm $D=E\cap G$ biết $E$ và $G$ lần lượt là tập nghiệm của hai bất phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) $2x+3\geq 0$ và $-x+5\geq 0.$
b) $x+2>0$ và $2x-9<0.$
Giải
a) Ta có: $2x+3\geq 0 \Leftrightarrow x\geq \frac{-3}{2}.$
Do đó: $E = \left[\frac{-3}{2}; +\infty \right).$
Ta có: $-x+5\geq 0 \Leftrightarrow x \leq 5.$
Do đó: $G=(-\infty; 5].$
Vậy $D = E\cap G = \left[\frac{-3}{2}; 5\right].$
b) Ta có: $x+2>0 \Leftrightarrow x>-2.$
Do đó: $E=(-2; +\infty).$
Ta có: $2x-9 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{9}{2}.$
Do đó: $G=\left(-\infty; \frac{9}{2}\right).$
Vậy $D=E\cap G = \left(-2; \frac{9}{2}\right).$
Bài tập 6 (Trang 18 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Gọi $A$ là tập nghiệm của đa thức $P(x).$ Viết tập hợp các số thực $x$ sao cho biểu thức $\frac{1}{P(x)}$ xác định.
Giải
Biểu thức $\frac{1}{P(x)}$ xác định khi $P(x) \neq 0.$ Khi đó, $x$ không phải là nghiệm của đa thức $P(x).$
$\Rightarrow x\notin A.$
$\Rightarrow x \in \mathbb{R} \setminus A.$
Vậy tập hợp các số thực $x$ sao cho biểu thức $\frac{1}{P(x)}$ là $\mathbb{R} \setminus A$
Bài tập 7 (Trang 18 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Lớp 10B có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao và 19 học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc. Biết rằng có 10 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ trên.
a) Có bao nhiêu học sinh ở lớp 10B tham gia câu lạc bộ thể thao và không tham gia câu lạc bộ âm nhạc?
b) Có bao nhiêu học sinh ở lớp 10B tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ trên?
c) Biết lớp 10B có 40 học sinh. Có bao nhiêu học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao? Có bao nhiêu học sinh không tham gia cả hai câu lạc bộ?
Giải
a) Trong 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao có 10 học sinh tham gia cả câu lạc bộ âm nhạc nữa. Do đó, số học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ thể thao và không tham gia câu lạc bộ âm nhạc là: $28-10 = 18$ (học sinh).
b) Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ trên là: $28+19-10=37$ (học sinh).
c) Cả lớp có 40 học sinh, trong đó có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao. Do đó, số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao là: $40 – 28 = 12$ (học sinh).
Cả lớp có 40 học sinh, trong đó có 37 học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ trên. Do đó, số học sinh không tham gia cả hai câu lạc bộ trên là: $40 – 37 = 3$ (học sinh).
Bài tập 8 (Trang 18 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Một nhóm có 12 học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ. Trong danh sách đăng ký tham gia tiết mục múa và tiết mục hát của nhóm đó, có 5 học sinh tham gia tiết mục múa, 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong nhóm tham gia tiết mục hát? Biết có 4 học sinh của nhóm không tham gia tiết mục nào?
Giải
Nhóm có 12 học sinh, mà có 4 học sinh không tham gia tiết mục nào, nên số học sinh tham gia ít nhất một trong hai tiết mục là: $12 – 4 = 8$ (học sinh).
Trong 8 học sinh này, có 5 học sinh tham gia tiết mục múa nên số học sinh chỉ tham gia tiết mục hát là: $8-5 = 3$ học sinh.
Mặt khác, có 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục, nên số học sinh tham gia tiết mục hát là: $3+3 = 6$ (học sinh).
Vậy có $6$ học sinh tham gia tiết mục hát.