Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 1, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Cánh diều.
Bài tập 1 (Trang 19 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Phát biểu nào sau đây không là một mệnh đề toán học?
a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
b) Nếu $\widehat{AMB} = 90^o$ thì $M$ nằm trên đường tròn đường kính $AB.$
c) Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam.
d) Mọi số nguyên tố đều là số lẻ.
Giải
Các phát biểu a), b), d) là các mệnh đề toán học.
Phát biểu c) không phải là mệnh đề toán học (vì nó không liên quan đến một sự kiện toán học nào cả).
Bài tập 2 (Trang 19 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.
$A:$ “Đồ thị hàm số $y=x$ là một đường thẳng”.
$B:$ “Đồ thị hàm số $y=x^2$ không đi qua điểm $A(3;9)$”.
Giải
Mệnh đề phủ định của $A$ là mệnh $\overline{A}:$ “Đồ thị hàm số $y=x$ không phải là một đường thẳng”.
$\overline{A}$ là mệnh đề sai.
Mệnh đề phủ định của $B$ là mệnh đề $\overline{B}:$ “Đồ thị hàm số $y=x^2$ đi qua điểm $A(3;9)$”.
$\overline{B}$ là mệnh đề đúng (vì $3^2=9$ nên điểm $A(3;9)$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^2).$
Bài tập 3 (Trang 19 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tứ giác $ABCD.$ Lập mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và xét tính đúng sai của mệnh đề đó với:
a) $P:$ “Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật”, $Q:$ “Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành”.
b) $P:$ “Tứ giác $ABCD$ là hình thoi”, $Q:$ “Tứ giác $ABCD$ là hình vuông”.
Giải
a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành”.
Mệnh đề này đúng (vì mỗi hình chữ nhật đều là hình bình hành).
b) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu tứ giác $ABCD$ là hình thoi thì tứ giác $ABCD$ là hình vuông”.
Mệnh đề này sai (vì hình thoi chưa chắc là hình vuông, nó cần thêm điều kiện có một góc vuông để trở thành hình vuông).
Bài tập 4 (Trang 19 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:
$A:$ “$\forall x\in \mathbb{R}, x^2+4x+5\neq 0$”;
$B:$ “$\forall x\in \mathbb{R}, x^2+x\geq 1$”;
$C:$ “$\exists x \in \mathbb{Z}, 2x^2+3x-2=0$”;
$D:$ “$\exists x\in \mathbb{Z}, x^2<x$”.
Giải
$\overline{A}:$ “$\exists x\in \mathbb{R}, x^2+4x+5= 0$”;
$\overline{B}:$ “$\exists x\in \mathbb{R}, x^2+x< 1$”;
$\overline{C}:$ “$\forall x \in \mathbb{Z}, 2x^2+3x-2\neq0$”;
$\overline{D}:$ “$\forall x\in \mathbb{Z}, x^2\geq x$”.
Bài tập 5 (Trang 19 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Dùng ký hiệu để viết mỗi tập hợp sau và biểu diễn mỗi tập hợp đó trên trục số:
$$\mathbf{a)}\; A = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; -2<x<-1\right\};$$
$$\mathbf{b)}\; B = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; -3\leq x \leq 0\right\};$$
$$\mathbf{c)}\; C = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; x \leq 1\right\};$$
$$\mathbf{d)}\; D = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; x >-2\right\};$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; A = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; -2<x<-1\right\} = (-2; -1)$$
Biểu diễn trên trục số (phần màu cam):
$$\mathbf{b)}\; B = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; -3\leq x \leq 0\right\} = [-3; 0]$$
Biểu diễn trên trục số:
$$\mathbf{c)}\; C = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; x \leq 1\right\} = (-\infty; 1]$$
Biểu diễn trên trục số:
$$\mathbf{d)}\; D = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; x >-2\right\} = (-2; +\infty)$$
Biểu diễn trên trục số:
Bài tập 6 (Trang 19 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Giải bóng đá vô địch thế giới World Cup 2018 được tổ chức ở Liên bang Nga gồm 32 đội. Sau vòng thi đấu bảng, ban tổ chức chọn ra 16 đội chia làm 8 cặp đấu loại trực tiếp. Sau vòng đấu loại trực tiếp đó, ban tổ chức tiếp tục chọn ra 8 đội chia làm 4 cặp đấu loại trực tiếp ở vòng tứ kết. Gọi $A$ là tập hợp 32 đội tham gia World Cup 2018, $B$ là tập hợp 16 đội sau vòng thi đấu bảng, $C$ là tập hợp 8 đội thi đấu vòng tứ kết.
a) Sắp xếp các tập hợp $A, B, C$ theo quan hệ “$\subset$”.
b) So sánh hai tập hợp $A\cap C$ và $B\cap C.$
c) Tập hợp $A \setminus B$ gồm những đội bóng bị loại sau vòng đấu nào?
Giải
a) $C \subset B \subset A.$
b) Vì $C \subset A$ nên $A \cap C = C.$
Tương tự, vì $C \subset B$ nên $B \cap C = C.$
Vậy $A \cap C = B \cap C$ (đều bằng $C).$
c) Tập hợp $A \setminus B$ gồm những phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B,$ tức là những đội bóng không thuộc 16 đội sau vòng thi đấu bảng. Vậy đó chính là những đội bị loại sau vòng thi đấu bảng.
Tóm lại, $A\setminus B$ gồm những đội bóng bị loại sau vòng thi đấu bảng.
Bài tập 7 (Trang 19 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho hai tập hợp $A = [0; 3], B = (2; +\infty).$
Xác định $A\cap B,$ $A\cup B,$ $A\setminus B,$ $B\setminus A,$ $\mathbb{R} \setminus B.$
Giải
$$A\cap B = (2; 3];$$
$$A \cup B = [0; +\infty);$$
$$A \setminus B = [0; 2];$$
$$B\setminus A = (3; +\infty);$$
$$\mathbb{R} \setminus B = (-\infty; 2].$$
Bài tập 8 (Trang 19 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Gọi $E$ là tập nghiệm của phương trình $x^2-2x-3=0,$ và $G$ là tập nghiệm của phương trình $(x+1)(2x-3)=0.$
Tìm $P=E\cap G.$
Giải
Giải phương trình $x^2-2x-3=0$ ta được hai nghiệm là $x=-1; x=3.$ Vậy $E = \left\{-1; 3\right\}.$
Giải phương trình $(x+1)(2x-3)=0$ ta được hai nghiệm là $x=-1; x=\frac{3}{2}.$ Vậy $G=\left\{-1; \frac{3}{2}\right\}.$
Do đó, ta tìm được: $P=E\cap G = \left\{-1\right\}.$