Giải Toán 10 (t1) [Chương 2] Bài 2 – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. (bộ Cánh diều)

Giải

Một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là: $(5; 0).$

Cách tìm: Vì đề bài yêu cầu tìm một nghiệm mà thôi, nên ta có thể tìm bằng cách nhẩm – thử.

Chẳng hạn, chọn $y = 0.$ Ta đi tìm $x$ tương ứng.

Thay $y = 0$ vào hệ đã cho, ta được: $\begin{cases} 2x > 0 \\ x < 6 \\ x \geq -4 \end{cases}$ $\Leftrightarrow 0 < x < 6.$

Do đó, ta có thể chọn $x = 5.$ Khi đó, một nghiệm của hệ là $(5; 0).$

Giải

+) Xác định miền nghiệm của bpt $ 3x-y > -3 :$

Vẽ đường thẳng $d_1: 3x-y=-3$ (nét đứt).

Xét điểm $O(0; 0).$ Ta có: $3\cdot 0 – 0 =0 > -3$ nên $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm.

$\rightarrow$ Gạch bỏ nửa mặt phẳng bờ $d_1$ mà không chứa điểm $O(0; 0).$

+) Xác định miền nghiệm của bpt $ -2x+3y < 6 :$

Vẽ đường thẳng $d_2: -2x+3y=6$ (nét đứt).

Xét điểm $O(0; 0).$ Ta có $-2\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0 < 6$ nên $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm.

$\rightarrow$ Gạch bỏ nửa mặt phẳng bờ $d_2$ mà không chứa điểm $O(0; 0).$

+) Xác định miền nghiệm của bpt $ 2x+y> -4 $

Vẽ đường thẳng $d_3: 2x+y= -4 $ (nét đứt).

Xét điểm $O(0; 0).$ Ta có $2\cdot 0 + 0 =0>-4$ nên $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm.

$\rightarrow$ Gạch bỏ nửa mặt phẳng bờ $d_3$ mà không chứa điểm $O(0; 0).$

$\Rightarrow$ Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch.

Giải

$$\mathbf{a)}\; \begin{cases} 3x+2y\geq -6 \\ x+4y>4 \end{cases}$$

+) Xét $(0; 2).$

Ta có: $3\cdot 0 + 2\cdot 2 = 4 > -6.$ Nên $(0; 2)$ là nghiệm của bất phương trình $3x+2y\geq -6.$

Ta có: $0 + 4\cdot 2 = 8 > 4.$ Nên $(0; 2)$ là nghiệm của bất phương trình $x+4y>4.$

Vậy $(0; 2)$ là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (vì là nghiệm chung của cả hai bất phương trình trong hệ).

+) Xét $(1; 0).$

Ta có: $1+ 4\cdot 0 = 1 < 4.$ Nên $(1; 0)$ không phải là nghiệm của bất phương trình $x+4y>4.$

Do đó, $(1; 0)$ không phải là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (vì không phải là nghiệm của một bất phương trình trong hệ).

$$\mathbf{b)}\; \begin{cases} 4x+y\leq -3 \\ -3x+5y\geq -12 \end{cases}$$

+) Xét $(-1; -3).$

Ta có: $4\cdot (-1) + (-3) = -7 < -3.$ Nên $(-1; -3)$ là nghiệm của bất phương trình $4x+y\leq -3.$

Ta có: $-3\cdot (-1) + 5\cdot (-3) = -12.$ Nên $(-1; -3)$ là nghiệm của bất phương trình $-3x+5y\geq -12.$

Vậy $(-1; -3)$ là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Xét $(0; -3).$

Ta có: $-3\cdot 0 + 5\cdot (-3) = -15 < -12.$ Nên $(0; -3)$ không phải là nghiệm của bất phương trình $-3x + 5y \geq -12.$

Do đó, $(0; -3)$ không phải là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải

$$\mathbf{a)}\; \begin{cases} x+2y<-4 \\ y\geq x+5 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x+2y<-4 \\ -x+y\geq 5 \end{cases}$$

+) Xác định miền nghiệm của $x+2y<-4:$

Vẽ đường thẳng $d_1: x+2y=-4$ (nét đứt).

Xét điểm $O(0; 0).$ Ta có $0+2\cdot 0 = 0 > -4$ nên $O(0; 0)$ không thuộc miền nghiệm.

$\rightarrow$ Gạch bỏ nửa mặt phẳng bờ $d_1$ mà có chứa điểm $O(0; 0).$

+) Xác định miền nghiệm của $ -x+y\geq 5 :$

Vẽ đường thẳng $d_2: x+2y=-4$ (nét liền).

Xét điểm $O(0; 0).$ Ta có $-0 + 0 = 0 < 5$ nên $O(0; 0)$ không thuộc miền nghiệm.

$\rightarrow$ Gạch bỏ nửa mặt phẳng bờ $d_2$ mà có chứa điểm $O(0; 0).$

$\Rightarrow$ Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch.

$$\mathbf{b)}\; \begin{cases} 4x-2y>8 \\ x\geq 0 \\ y\leq 0 \end{cases}$$

+) Xác định miền nghiệm của $4x-2y>8:$

Vẽ đường thẳng $d_1: 4x-2y=8$ (nét đứt).

Xét điểm $O(0; 0).$ Ta có $4\cdot 0 – 2\cdot 0 = 0 < 8$ nên $O(0; 0)$ không thuộc miền nghiệm.

$\rightarrow$ Gạch bỏ nửa mặt phẳng bờ $d_1$ mà có chứa điểm $O(0; 0).$

+) Xác định miền nghiệm của $x\geq 0:$

Miền nghiệm của $x\geq 0$ là nửa mặt phẳng phía bên phải trục $Oy$ và kể cả trục $Oy.$

$\rightarrow$ Gạch bỏ nửa mặt phẳng bên trái trục $Oy.$

+) Xác định miền nghiệm của $y\leq 0:$

Miền nghiệm của $y\leq 0$ là nửa mặt phẳng phía bên dưới trục $Ox$ và kể cả trục $Ox.$

$\rightarrow$ Gạch bỏ nửa mặt phẳng phía trên trục $Ox.$

$\Rightarrow$ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải

Xét Hình 12a: Các đường thẳng trên hình là: $x+y = 1;$ $y=1;$ $x=2.$

Do đó, Hình 12a tương ứng với hệ bất phương trình c).

Xét Hình 12b: Các đường thẳng trên hình là: $x+y=2;$ $x=-3;$ $y=-1.$

Do đó, Hình 12b tương ứng với hệ bất phương trình a).

Giải

Gọi $x, y$ lần lượt là số mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất.

Thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là $200$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $240$ chiếc mũ kiểu thứ hai nên: $x\leq 200$ và $y\leq 240.$

Để làm ra $60$ chiếc mũ kiểu thứ hai, cần thời gian $1$ giờ. Do đó, để làm ra $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai, cần thời gian: $\dfrac{y}{60}$ giờ.

Để làm ra $60$ chiếc mũ kiểu thứ hai, cần thời gian $1$ giờ. Mà thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai nên để làm ra $60$ chiếc mũ kiểu thứ nhất, cần thời gian $2$ giờ. Do đó, để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất, cần thời gian: $\dfrac{2x}{60} = \dfrac{x}{30}$ (giờ).

$\Rightarrow$ Tổng thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là $\dfrac{x}{30} + \dfrac{y}{60} $ (giờ).

Theo đề bài, phân xưởng làm việc $8$ tiếng mỗi ngày nên: $ \dfrac{x}{30} + \dfrac{y}{60} \leq 8.$

Vì $x, y$ biểu thị số chiếc mũ nên ta phải có: $x\geq 0$ và $y\geq 0.$

Vậy ta có hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x\leq 200 \\ y\leq 240 \\ \dfrac{x}{30} + \dfrac{y}{60} \leq 8 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}$$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền $OABCD$ với tọa độ các đỉnh là: $O(0; 0),$ $A(0; 240),$ $B(120; 240),$ $C(200; 80),$ $D(200; 0).$

Gọi $T(x; y)$ (nghìn đồng) là số tiền lãi thu được. Ta có: $T(x; y) = 24x+15y.$

Tính giá trị của $T(x; y)$ tại các đỉnh của miền nghiệm, ta có: $T(0; 0) = 0;$ $T(0; 240) = 3600;$ $T(120; 240) = 6480;$ $T(200; 80) = 6000;$ $T(200; 0) =4800.$

So sánh các giá trị vừa tính được, ta thấy $T(x; y)$ đạt giá trị lớn nhất là $6480$ tại đỉnh $B(120; 240).$

Vậy phân xưởng cần sản xuất $120$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $240$ chiếc mũ kiểu thứ hai để tiền lãi thu được là cao nhất.