Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 2, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Cánh diều.
Bài tập 1 (Trang 30 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:
$$\mathbf{a)}\; 3x-y>3;$$
$$\mathbf{b)}\; x+2y\leq -4;$$
$$\mathbf{c)}\; y\geq 2x-5.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; 3x-y>3$$
+) Vẽ đường thẳng $d: 3x-y=3$ (nét đứt).
+) Lấy điểm $O(0; 0).$ Ta có: $3\cdot 0 – 0 =0 < 3.$ Do đó, $O(0; 0)$ không thuộc miền nghiệm.
$\Rightarrow$ Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ mà không chứa điểm $O(0; 0)$ (miền không bị gạch).
$$\mathbf{b)}\; x+2y\leq -4$$
+) Vẽ đường thẳng $d: x+2y= -4$ (nét liền).
+) Lấy điểm $O(0; 0).$ Ta có: $0+2\cdot 0 = 0>-4.$ Do đó, $O(0; 0)$ không thuộc miền nghiệm.
$\Rightarrow$ Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ mà không chứa điểm $O(0; 0)$ (miền không bị gạch).
$$\mathbf{c)}\; y\geq 2x-5$$
$$\Leftrightarrow 2x – y \leq 5.$$
+) Vẽ đường thẳng $d: 2x-y = 5$ (nét liền).
+) Lấy điểm $O(0; 0).$ Ta có: $2\cdot 0 – 0 = 0 < 5.$ Do đó, $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm.
$\Rightarrow$ Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ mà có chứa điểm $O(0; 0)$ (miền không bị gạch).
Bài tập 2 (Trang 30 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau:
$$\mathbf{a)}\; \begin{cases} 2x-3y<6 \\ 2x+y<2; \end{cases}$$
$$\mathbf{b)}\; \begin{cases} 4x+10y\leq 20 \\ x-y\leq 4 \\x\geq -2; \end{cases}$$
$$\mathbf{c)}\; \begin{cases} x-2y\leq 5 \\ x+y\geq 2 \\ x\geq 0 \\ y\leq 3. \end{cases}$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \begin{cases} 2x-3y<6 \\ 2x+y<2 \end{cases}$$
$$\mathbf{b)}\; \begin{cases} 4x+10y\leq 20 \\ x-y\leq 4 \\x\geq -2 \end{cases}$$
$$\mathbf{c)}\; \begin{cases} x-2y\leq 5 \\ x+y\geq 2 \\ x\geq 0 \\ y\leq 3 \end{cases}$$
Bài tập 3 (Trang 30 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang độ tuổi trưởng thành trong một ngày là $1\;300\;mg.$ Trong $1$ lạng đậu nành có $165\;mg$ canxi, $1$ lạng thịt có $15\;mg$ canxi. Gọi $x,y$ lần lượt là số lạng đậu nành và số lạng thịt mà một người đang độ tuổi trưởng thành ăn trong một ngày (với $x>0,$ $y>0).$
a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ để biểu diễn lượng canxi cần thiết trong một ngày của một người trong độ tuổi trưởng thành.
b) Chỉ ra một nghiệm $(x_0; y_0)$ với $x_0, y_0 \in \mathbb{N}$ của bất phương trình đó.
Giải
a) Khối lượng canxi có trong $x$ lạng đậu nành và $y$ lạng thịt là: $165x+15y \;(mg).$
Nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang độ tuổi trưởng thành trong một ngày là $1\;300\;mg$ nên ta có bất phương trình: $ 165x+15y \geq 1\;300.$
b) Một nghiệm của bất phương trình $165x+15y\geq 1\;300$ là $(5; 43).$
Thật vậy, ta có: $165\cdot 5 + 15\cdot 43 = 1\;470 > 1\;300.$ Do đó, $(5; 43)$ là một nghiệm của bất phương trình $165x+15y\geq 1\;300.$
Bài tập 4 (Trang 30 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Bác Ngọc thực hiện chế độ ăn kiêng qua thức uống với yêu cầu tối thiểu hằng ngày là $300$ calo, $36$ đơn vị vitamin A và $90$ đơn vị vitamin C. Một cốc đồ uống ăn kiêng thứ nhất cung cấp $60$ calo, $12$ đơn vị vitamin A và $10$ đơn vị vitamin C. Một cốc đồ uống ăn kiêng thứ hai cung cấp $60$ calo, $6$ đơn vị vitamin A và $30$ đơn vị vitamin C.
a) Viết hệ bất phương trình mô tả số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai mà bác Ngọc nên uống mỗi ngày để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số calo và số đơn vị vitamin hấp thụ.
b) Chỉ ra hai phương án mà bác Ngọc có thể chọn lựa số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai nhằm đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số calo và số đơn vị vitamin hấp thụ.
Giải
a) Gọi $x,y$ lần lượt là số lượng cốc đồ uống thứ nhất và thứ hai mà bác Ngọc nên uống mỗi ngày.
Ta có:
+) $x$ cốc đồ uống ăn kiêng thứ nhất cung cấp $60x$ calo, $12x$ đơn vị vitamin A và $10x$ đơn vị vitamin C.
+) $y$ cốc đồ uống ăn kiêng thứ hai cung cấp $60y$ calo, $6y$ đơn vị vitamin A và $30y$ đơn vị vitamin C.
Yêu cầu tối thiểu hằng ngày là $300$ calo, $36$ đơn vị vitamin A và $90$ đơn vị vitamin C nên ta có hệ bất phương trình:
$$\begin{cases} 60x+60y \geq 300 \\ 12x+6y\geq 36 \\ 10x+30y\geq 90 \\ x\geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$
b) Số lượng cốc mỗi loại mà bác Ngọc chọn lựa phải là nghiệm của hệ bất phương trình vừa tìm được ở câu a).
Hai nghiệm của hệ bất phương trình đó là: $(2; 4)$ và $(1; 5).$
Do đó, bác Ngọc có thể chọn trong hai phương án sau:
+) Phương án 1: $2$ cốc đồ uống thứ nhất và $4$ cốc đồ uống thứ hai.
+) Phương án 2: $1$ cốc đồ uống thứ nhất và $5$ cốc đồ uống thứ hai.
Bài tập 5 (Trang 30 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Một chuỗi nhà hàng ăn nhanh bán đồ ăn từ $10h00$ sáng đến $22h00$ mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca $8$ tiếng, ca I từ $10h00$ đến $18h00$ và ca II từ $14h00$ đến $22h00.$ Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng sau):
Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu $6$ nhân viên trong khoảng $10h00\;-\; 18h00,$ tối thiểu $24$ nhân viên trong thời gian cao điểm $14h00\;-\; 18h00$ và không quá $20$ nhân viên trong khoảng $18h00 \;-\; 22h00.$ Do lượng khách trong khoảng $14h00\; – \; 22h00$ thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I. Em hãy giúp chủ chuỗi nhà hàng chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.
Giải
Gọi $x, y$ lần lượt là số nhân viên ca I và ca II được huy động cho mỗi cửa hàng.
Cần tối thiểu $6$ nhân viên trong khoảng $10h00\;-\; 18h00$ (là thời gian phải có mặt toàn bộ nhân viên ca I) nên: $x\geq 6.$
Tối thiểu $24$ nhân viên trong thời gian cao điểm $14h00\;-\; 18h00$ (lúc này có mặt cả nhân viên ca I và ca II) nên: $x+y\geq 24.$
Có không quá $20$ nhân viên trong khoảng $18h00 \;-\; 22h00$ (lúc này chỉ có nhân viên ca II làm việc) nên: $y\leq 20.$
Số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I nên: $y\geq 2x.$
Vì $x, y$ thể hiện số nhân viên nên: $x\geq 0$ và $y\geq 0.$
Vậy ta có hệ bất phương trình:
$$\begin{cases} x\geq 6 \\ x+y\geq 24 \\ y\leq 20 \\ y\geq 2x \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}$$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta được miền tứ giác $ABCD$ với tọa độ các đỉnh là: $A(6; 18),$ $B(6; 20),$ $C(10; 20),$ $D(8; 16).$
Gọi $F(x; y)$ là chi phí tiền lương mỗi ngày (đơn vị: nghìn đồng). Dựa vào bảng Tiền lương trong đề bài, ta có: $F(x; y) = 8\cdot 20\cdot x + 8\cdot 22\cdot y = 160x +176y$ (nghìn đồng).
Tính giá trị của $F(x; y)$ tại các đỉnh của miền nghiệm (hệ bất phương trình), ta được: $F(6; 18) =4\;128;$ $F(6; 20) = 4\;480;$ $F(10; 20) =5\;120;$ $F(8; 16) =4\;096.$
$\Rightrarrow$ $F(x; y)$ đạt giá trị nhỏ nhất là $4\;096$ (nghìn đồng) tại đỉnh $D(8; 16).$
Vậy để chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất, mỗi cửa hàng nên huy động mỗi ngày $8$ nhân viên ca I và $16$ nhân viên ca II.