Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 1 – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ $0^o$ ĐẾN $180^o.$ ĐỊNH LÝ COSIN VÀ ĐỊNH LÝ SIN TRONG TAM GIÁC. (bộ Cánh diều)

Chia sẻ nếu thấy hay:

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 1 – Chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Cánh diều.

Luyện tập 1 (Trang 66 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Hãy tính chiều cao $h$ của đỉnh Lũng Cú so với chân núi trong bài toán ở phần mở đầu.

Luyện tập 1 - Trang 66 - Toán 10 tập 1 - bộ Cánh diều.

Giải

Luyện tập 1 - Trang 66 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Vì $Ay // CH$ nên $\widehat{ACH} = \widehat{CAy} = 45^o$ (hai góc so le trong).

Tam giác vuông $ACH$ có $\widehat{ACH} = 45^o$ nên là tam giác vuông cân. Suy ra: $AH = CH = h.$

Vì $Bx//CH$ nên $\widehat{BCH} = \widehat{xBC} = 50^o$ (hai góc so le trong).

Xét tam giác $BCH$ vuông tại $H,$ ta có:

$$tan \widehat{BCH} = \frac{BH}{CH}$$

$$\Leftrightarrow tan 50^o = \frac{h+20,25}{h}$$

$$\Leftrightarrow h\cdot tan 50^o = h + 20,25$$

$$\Leftrightarrow h\cdot (tan 50^o – 1) = 20,25$$

$$\Leftrightarrow h = \frac{20,25}{tan 50^o – 1}$$

Ta có: $tan 50^o \approx 1,2$

Do đó: $h\approx 101,25 (m).$

Luyện tập 2 (Trang 68 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5, AC = 6, BC = 7.$

Tính $cos A.$

Giải

$$cos A = \frac{AC^2 + AB^2 – BC^2}{2AC \cdot AB}$$

$$\;\;\;= \frac{6^2 + 5^2-7^2}{2\cdot 6\cdot 5} = \frac{1}{5}.$$

Luyện tập 3 (Trang 70 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có bán kính $R=6$ và có các góc $\widehat{B} = 65^o, \widehat{C} = 85^o.$

Tính độ dài cạnh $BC.$

Giải

Ta có: $\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C} = 180^o – 65^o – 85^o = 30^o.$

Theo định lý sin thì:

$$\frac{BC}{sin A} = 2R$$

$$\Leftrightarrow \frac{BC}{sin 30^o} = 2\cdot 6$$

$$\Leftrightarrow BC = 2\cdot 6\cdot sin30^o$$

$$\Leftrightarrow BC = 6.$$

Bài tập 1 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC$ có $AB=3,5; AC=7,5; \widehat{A}=135^o.$ Tính độ dài cạnh $BC$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải

+) Theo định lý cô-sin thì:

$$BC^2 = AC^2+AB^2 – 2\cdot AC\cdot AB \cdot cos A$$

$$\Leftrightarrow BC^2 = 7,5^2 + 3,5^2 – 2\cdot 7,5\cdot 3,5 \cdot cos 135^o$$

Vậy $BC = \sqrt{ 7,5^2 + 3,5^2 – 2\cdot 7,5\cdot 3,5 \cdot cos 135^o } \approx 10,3.$

+) Theo định lý sin thì:

$$\frac{BC}{sin A} = 2R$$

$$\Leftrightarrow R = \frac{BC}{2\cdot sin A}$$

Vậy $R \approx \frac{10,3}{2\cdot sin135^o} \approx 7,3.$

Bài tập 2 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 75^o, \widehat{C}=45^o$ và $BC = 50.$ Tính độ dài cạnh $AB.$

Giải

Ta có: $\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C} = 180^o – 75^o – 45^o = 60^o.$

Theo định lý sin:

$$\frac{AB}{sinC} = \frac{BC}{sinA}$$

$$\Leftrightarrow \frac{AB}{sin\;45^o} = \frac{50}{sin\; 60^o}$$

$$\Leftrightarrow AB = \frac{50\cdot sin\;45^o}{sin\;60^o}$$

Ta có:

$$sin\;45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin\;60^o = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Vậy:

$$AB = \frac{50\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{50\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\approx 40,8.$$

Bài tập 3 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6, AC = 7, BC = 8.$ Tính $cos A, sin A$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Giải

Từ định lý cô-sin suy ra:

$$cos A = \frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2\cdot AC \cdot AB} = \frac{7^2+6^2-8^2}{2\cdot 7\cdot 6} =\frac{1}{4}.$$

Ta có: $sin^2A + cos^2A = 1$ $\Rightarrow sin^2A = 1 – cos^2A = 1 – \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{15}{16}$ $\Rightarrow sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$ (do $0^o<\widehat{A}< 180^o).$

Từ định lý sin ta có:

$$\frac{BC}{sin A} = 2R$$

Do đó:

$$R = \frac{BC}{2\cdot sinA} = \frac{8}{2\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{15}}.$$

Bài tập 4 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

$$\mathbf{a)}\; A = cos\;0^o + cos\;40^o + cos\;120^o + cos\;140^o;$$

$$\mathbf{b)}\; B = sin\;5^o + sin\;150^o – sin\;175^o + sin\;180^o;$$

$$\mathbf{c)}\; C = cos\;15^o + cos\;35^o – sin\;75^o – sin\;55^o;$$

$$\mathbf{d)}\; D = tan\;25^o \cdot tan\;45^o \cdot tan\;115^o;$$

$$\mathbf{e)}\; E = cot\;10^o \cdot cot\;30^o \cdot cot\;100^o.$$

Giải

$$\mathbf{a)}\; A = cos\;0^o + cos\;40^o + cos\;120^o + cos\;140^o$$

Ta có: $cos\;0^o = 1;$ $cos\;120^o = -cos\;60^o = -\frac{1}{2}.$

Mặt khác, vì $cos\;40^o = -cos\;140^o$ nên $cos\;40^o + cos\;140^o = 0.$

Từ những điều trên ta có:

$$A = cos\;0^o + cos\;120^o +(cos\;40^o + cos\;140^o)$$

$$\;\;\;= 1+\left(-\frac{1}{2}\right) + 0 = \frac{1}{2}.$$

Vậy $A = \frac{1}{2}.$

$$\mathbf{b)}\; B = sin\;5^o + sin\;150^o – sin\;175^o + sin\;180^o$$

$$\;\;\;= (sin\;5^o – sin\;175^o) + sin\;150^o + sin\;180^o$$

Vì $sin\;5^o=sin\;175^o $ nên $sin\;5^o – sin\;175^o = 0.$

Ta có: $sin\;150^o = sin\;30^o = \frac{1}{2};$ $sin\;180^o = 0.$

Từ các điều trên, ta được:

$$B = 0+\frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}.$$

$$\mathbf{c)}\; C = cos\;15^o + cos\;35^o – sin\;75^o – sin\;55^o$$

$$\;\;\;=(cos\;15^o – sin\;75^o) +(cos\;35^o – sin\;55^o)$$

Vì $cos\;15^o = sin\;75^o$ nên $cos\;15^o – sin\;75^o = 0.$

Vì $cos\;35^o = sin\;55^o$ nên $cos\;35^o – sin\;55^o = 0.$

Do đó: $C = 0+ 0 = 0.$

$$\mathbf{d)}\; D = tan\;25^o \cdot tan\;45^o \cdot tan\;115^o$$

Ta có: $tan\;115^o = -tan\;65^o = -cot\;25^o.$

Do đó: $D = tan\;25^o \cdot tan\;45^o \cdot (-cot\;25^o)$

$$\Rightarrow D = -(tan\;25^o \cdot cot\;25^o) \cdot tan 45^o = -tan\;45^o = -1.$$

$$\mathbf{e)}\; E = cot\;10^o \cdot cot\;30^o \cdot cot\;100^o$$

Ta có: $cot\;100^o = -cot\;80^o = -tan\;10^o.$

Do đó: $E = cot\;10^o \cdot cot\;30^o \cdot (-tan\;10^o)$

$$\Rightarrow E = -(cot\;10^o \cdot tan\;10^o) \cdot cot\;30^o = -cot\;30^o = -\sqrt{3}.$$

Bài tập 5 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh:

$$\mathbf{a)}\; sin\frac{A}{2} = cos \frac{B+C}{2};$$

$$\mathbf{b)}\; tan\frac{B+C}{2} = cot\frac{A}{2}.$$

Hướng dẫn

a) Đặt $x = \frac{A}{2}$ và $y = \frac{B+C}{2}.$ Ta cần chứng minh: $sin\;x = cos\;y.$

Muốn vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng $x,y$ là hai góc phụ nhau, tức là: $x+y=90^o.$

Thật vậy, ta có: $x+y = \frac{A}{2}+\frac{B+C}{2} = \frac{A+B+C}{2} = \frac{180^o}{2} = 90^o.$

b) Tương tự câu a), ta cần chứng minh: $tan\;y = cot\;x.$

Mà $x, y$ là hai góc phụ nhau nên ta có điều phải chứng minh.

Giải

Đặt $x=\frac{A}{2}$ và $y =\frac{B+C}{2}.$

Ta có: $x+y = \frac{A}{2} + \frac{B+C}{2} = \frac{A+B+C}{2} = \frac{180^o}{2} = 90^o.$

Từ đó suy ra: $sin\;x = cos\;y$ và $tan\;y = cot\;x.$

Tức là ta có:

$$\mathbf{a)}\; sin\frac{A}{2} = cos \frac{B+C}{2};$$

$$\mathbf{b)}\; tan\frac{B+C}{2} = cot\frac{A}{2}.$$

Bài tập 6 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Để đo khoảng cách từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ và tiến hành đo các góc $BAC, BCA.$ Biết $AC = 25\;m,$ $\widehat{BAC} = 59,95^o,$ $\widehat{BCA} = 82,15^o$ (Hình 16). Hỏi khoảng cách từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài tập 6 - Trang 71 - Toán 10 tập 1 - bộ Cánh diều.

Giải

Ta có: $\widehat{B} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{C} = 180^o – 59,95^o – 82,15^o = 37,9^o.$

Dựa vào định lý sin, ta có:

$$\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB}$$

Do đó:

$$AB = \frac{AC\cdot sinC}{sinB} = \frac{25\cdot sin\;82,15^o}{sin\;37,9^o}\approx 40.$$

Vậy khoảng cách từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ xấp xỉ $40\;m.$

Bài tập 7 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến $A$ và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với nhau góc $75^o.$ Tàu thứ nhất chạy với tốc độ $8$ hải lý một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ $12$ hải lý một giờ. Sau $2,5$ giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lý (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Giải

Sau $2,5$ giờ thì tàu thứ nhất đi được: $8\cdot 2,5 = 20$ (hải lý). Gọi $B$ là vị trí của tàu thứ nhất sau $2,5$ giờ, ta có: $AB = 20$ (hải lý).

Sau $2,5$ giờ thì tàu thứ hai đi được: $12\cdot 2,5 = 30$ (hải lý). Gọi $C$ là vị trí của tàu thứ hai sau $2,5$ giờ, ta có: $AC = 30$ (hải lý).

Khi đó, khoảng cách giữa hai tàu sau $2,5$ giờ là độ dài đoạn thẳng $AB.$

Bài tập 7 - Trang 71 - Toán 10 tập 1 - bộ Cánh diều.

Áp dụng định lý cô-sin, ta có:

$$BC^2 = AB^2+AC^2 – 2\cdot AB\cdot AC \cdot cosA$$

$$\Leftrightarrow BC^2 = 20^2+30^2-2\cdot 20\cdot 30\cdot cos\;75^o$$

$$\Leftrightarrow BC = \sqrt{20^2+30^2-2\cdot 20\cdot 30\cdot cos\;75^o} \approx 31,5$$

Vậy sau $2,5$ giờ thì khoảng cách giữa hai tàu xấp xỉ $31,5$ hải lý.

Bài tập 8 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Bạn $A$ đứng ở nóc của toà nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn $A$ tới chiếc diều và phương nằm ngang) là $\alpha = 35^o;$ khoảng cách từ nóc nhà tới mắt bạn $A$ là $1,5\;m.$ Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn $B$ cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là $\beta = 75^o;$ khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn $B$ cũng là $1,5\;m.$ Biết chiều cao của tòa nhà là $h=20\;m$ (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài tập 8 - Trang 71 - Toán 10 tập 1 - bộ Cánh diều.

Giải

Đặt tên các điểm như trong hình vẽ sau:

Bài tập 8 - Trang 71 - Toán 10 tập 1 - bộ Cánh diều.

Ta có: $\widehat{OAB} = \alpha +90^o = 35^o+90^o = 125^o;$ $\widehat{ABO} = 90^o – \beta = 90^o – 75^o = 15^o.$

Suy ra: $\widehat{AOB} = 180^o – \widehat{OAB}-\widehat{ABO} = 180^o – 125^o – 15^o =40^o.$

Lại có: $AB = h = 20.$

Áp dụng định lý sin, ta có:

$$\frac{AO}{sin\widehat{ABO}} = \frac{AB}{sin\widehat{AOB}}$$

$$\Rightarrow AO = \frac{AB\cdot sin\widehat{ABO}}{sin\widehat{AOB}} = \frac{20\cdot sin\;15^o}{sin\;40^o}$$

Mặt khác, tam giác $AOC$ vuông tại $C$ nên:

$$OC = AO\cdot sin\alpha = \frac{20\cdot sin\;15^o}{sin\;40^o} \cdot sin\;35^o$$

Từ đó ta được: $OH = OC+1,5+20 = \frac{20\cdot sin\;15^o}{sin\;40^o} \cdot sin\;35^o + 1,5 + 20 \approx 26$

Vậy chiếc diều bay cao khoảng $26\;m$ so với mặt đất.

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.