Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 1 – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ $0^o$ ĐẾN $180^o.$ ĐỊNH LÝ COSIN VÀ ĐỊNH LÝ SIN TRONG TAM GIÁC. (bộ Cánh diều)

Chia sẻ nếu thấy hay:

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 1 – Chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Cánh diều.

Luyện tập 1 (Trang 66 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Hãy tính chiều cao $h$ của đỉnh Lũng Cú so với chân núi trong bài toán ở phần mở đầu.

Luyện tập 1 - Trang 66 - Toán 10 tập 1 - bộ Cánh diều.

Giải

Luyện tập 1 - Trang 66 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Vì $Ay // CH$ nên $\widehat{ACH} = \widehat{CAy} = 45^o$ (hai góc so le trong).

Tam giác vuông $ACH$ có $\widehat{ACH} = 45^o$ nên là tam giác vuông cân. Suy ra: $AH = CH = h.$

Vì $Bx//CH$ nên $\widehat{BCH} = \widehat{xBC} = 50^o$ (hai góc so le trong).

Xét tam giác $BCH$ vuông tại $H,$ ta có:

$$tan \widehat{BCH} = \frac{BH}{CH}$$

$$\Leftrightarrow tan 50^o = \frac{h+20,25}{h}$$

$$\Leftrightarrow h\cdot tan 50^o = h + 20,25$$

$$\Leftrightarrow h\cdot (tan 50^o – 1) = 20,25$$

$$\Leftrightarrow h = \frac{20,25}{tan 50^o – 1}$$

Ta có: $tan 50^o \approx 1,2$

Do đó: $h\approx 101,25 (m).$

Luyện tập 2 (Trang 68 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5, AC = 6, BC = 7.$

Tính $cos A.$

Giải

$$cos A = \frac{AC^2 + AB^2 – BC^2}{2AC \cdot AB}$$

$$\;\;\;= \frac{6^2 + 5^2-7^2}{2\cdot 6\cdot 5} = \frac{1}{5}.$$

Luyện tập 3 (Trang 70 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có bán kính $R=6$ và có các góc $\widehat{B} = 65^o, \widehat{C} = 85^o.$

Tính độ dài cạnh $BC.$

Giải

Ta có: $\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C} = 180^o – 65^o – 85^o = 30^o.$

Theo định lý sin thì:

$$\frac{BC}{sin A} = 2R$$

$$\Leftrightarrow \frac{BC}{sin 30^o} = 2\cdot 6$$

$$\Leftrightarrow BC = 2\cdot 6\cdot sin30^o$$

$$\Leftrightarrow BC = 6.$$

Bài tập 1 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC$ có $AB=3,5; AC=7,5; \widehat{A}=135^o.$ Tính độ dài cạnh $BC$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải

+) Theo định lý cô-sin thì:

$$BC^2 = AC^2+AB^2 – 2\cdot AC\cdot AB \cdot cos A$$

$$\Leftrightarrow BC^2 = 7,5^2 + 3,5^2 – 2\cdot 7,5\cdot 3,5 \cdot cos 135^o$$

Vậy $BC = \sqrt{ 7,5^2 + 3,5^2 – 2\cdot 7,5\cdot 3,5 \cdot cos 135^o } \approx 10,3.$

+) Theo định lý sin thì:

$$\frac{BC}{sin A} = 2R$$

$$\Leftrightarrow R = \frac{BC}{2\cdot sin A}$$

Vậy $R \approx \frac{10,3}{2\cdot sin135^o} \approx 7,3.$

Bài tập 2 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 75^o, \widehat{C}=45^o$ và $BC = 50.$ Tính độ dài cạnh $AB.$

Giải

Ta có: $\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C} = 180^o – 75^o – 45^o = 60^o.$

Theo định lý sin:

$$\frac{AB}{sinC} = \frac{BC}{sinA}$$

$$\Leftrightarrow \frac{AB}{sin\;45^o} = \frac{50}{sin\; 60^o}$$

$$\Leftrightarrow AB = \frac{50\cdot sin\;45^o}{sin\;60^o}$$

Ta có:

$$sin\;45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin\;60^o = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Vậy:

$$AB = \frac{50\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{50\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\approx 40,8.$$

Bài tập 3 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6, AC = 7, BC = 8.$ Tính $cos A, sin A$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Giải

Từ định lý cô-sin suy ra:

$$cos A = \frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2\cdot AC \cdot AB} = \frac{7^2+6^2-8^2}{2\cdot 7\cdot 6} =\frac{1}{4}.$$

Ta có: $sin^2A + cos^2A = 1$ $\Rightarrow sin^2A = 1 – cos^2A = 1 – \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{15}{16}$ $\Rightarrow sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$ (do $0^o<\widehat{A}< 180^o).$

Từ định lý sin ta có:

$$\frac{BC}{sin A} = 2R$$

Do đó:

$$R = \frac{BC}{2\cdot sinA} = \frac{8}{2\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{15}}.$$

Bài tập 4 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

$$\mathbf{a)}\; A = cos\;0^o + cos\;40^o + cos\;120^o + cos\;140^o;$$

$$\mathbf{b)}\; B = sin\;5^o + sin\;150^o – sin\;175^o + sin\;180^o;$$

$$\mathbf{c)}\; C = cos\;15^o + cos\;35^o – sin\;75^o – sin\;55^o;$$

$$\mathbf{d)}\; D = tan\;25^o \cdot tan\;45^o \cdot tan\;115^o;$$

$$\mathbf{e)}\; E = cot\;10^o \cdot cot\;30^o \cdot cot\;100^o.$$

Giải

$$\mathbf{a)}\; A = cos\;0^o + cos\;40^o + cos\;120^o + cos\;140^o$$

Ta có: $cos\;0^o = 1;$ $cos\;120^o = -cos\;60^o = -\frac{1}{2}.$

Mặt khác, vì $cos\;40^o = -cos\;140^o$ nên $cos\;40^o + cos\;140^o = 0.$

Từ những điều trên ta có:

$$A = cos\;0^o + cos\;120^o +(cos\;40^o + cos\;140^o)$$

$$\;\;\;= 1+\left(-\frac{1}{2}\right) + 0 = \frac{1}{2}.$$

Vậy $A = \frac{1}{2}.$

$$\mathbf{b)}\; B = sin\;5^o + sin\;150^o – sin\;175^o + sin\;180^o$$

$$\;\;\;= (sin\;5^o – sin\;175^o) + sin\;150^o + sin\;180^o$$

Vì $sin\;5^o=sin\;175^o $ nên $sin\;5^o – sin\;175^o = 0.$

Ta có: $sin\;150^o = sin\;30^o = \frac{1}{2};$ $sin\;180^o = 0.$

Từ các điều trên, ta được:

$$B = 0+\frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}.$$

$$\mathbf{c)}\; C = cos\;15^o + cos\;35^o – sin\;75^o – sin\;55^o$$

$$\;\;\;=(cos\;15^o – sin\;75^o) +(cos\;35^o – sin\;55^o)$$

Vì $cos\;15^o = sin\;75^o$ nên $cos\;15^o – sin\;75^o = 0.$

Vì $cos\;35^o = sin\;55^o$ nên $cos\;35^o – sin\;55^o = 0.$

Do đó: $C = 0+ 0 = 0.$

$$\mathbf{d)}\; D = tan\;25^o \cdot tan\;45^o \cdot tan\;115^o$$

Ta có: $tan\;115^o = -tan\;65^o = -cot\;25^o.$

Do đó: $D = tan\;25^o \cdot tan\;45^o \cdot (-cot\;25^o)$

$$\Rightarrow D = -(tan\;25^o \cdot cot\;25^o) \cdot tan 45^o = -tan\;45^o = -1.$$

$$\mathbf{e)}\; E = cot\;10^o \cdot cot\;30^o \cdot cot\;100^o$$

Ta có: $cot\;100^o = -cot\;80^o = -tan\;10^o.$

Do đó: $E = cot\;10^o \cdot cot\;30^o \cdot (-tan\;10^o)$

$$\Rightarrow E = -(cot\;10^o \cdot tan\;10^o) \cdot cot\;30^o = -cot\;30^o = -\sqrt{3}.$$

Bài tập 5 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh:

$$\mathbf{a)}\; sin\frac{A}{2} = cos \frac{B+C}{2};$$

$$\mathbf{b)}\; tan\frac{B+C}{2} = cot\frac{A}{2}.$$

Hướng dẫn

a) Đặt $x = \frac{A}{2}$ và $y = \frac{B+C}{2}.$ Ta cần chứng minh: $sin\;x = cos\;y.$

Muốn vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng $x,y$ là hai góc phụ nhau, tức là: $x+y=90^o.$

Thật vậy, ta có: $x+y = \frac{A}{2}+\frac{B+C}{2} = \frac{A+B+C}{2} = \frac{180^o}{2} = 90^o.$

b) Tương tự câu a), ta cần chứng minh: $tan\;y = cot\;x.$

Mà $x, y$ là hai góc phụ nhau nên ta có điều phải chứng minh.

Giải

Đặt $x=\frac{A}{2}$ và $y =\frac{B+C}{2}.$

Ta có: $x+y = \frac{A}{2} + \frac{B+C}{2} = \frac{A+B+C}{2} = \frac{180^o}{2} = 90^o.$

Từ đó suy ra: $sin\;x = cos\;y$ và $tan\;y = cot\;x.$

Tức là ta có:

$$\mathbf{a)}\; sin\frac{A}{2} = cos \frac{B+C}{2};$$

$$\mathbf{b)}\; tan\frac{B+C}{2} = cot\frac{A}{2}.$$

Bài tập 6 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Để đo khoảng cách từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ và tiến hành đo các góc $BAC, BCA.$ Biết $AC = 25\;m,$ $\widehat{BAC} = 59,95^o,$ $\widehat{BCA} = 82,15^o$ (Hình 16). Hỏi khoảng cách từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài tập 6 - Trang 71 - Toán 10 tập 1 - bộ Cánh diều.

Giải

Ta có: $\widehat{B} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{C} = 180^o – 59,95^o – 82,15^o = 37,9^o.$

Dựa vào định lý sin, ta có:

$$\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB}$$

Do đó:

$$AB = \frac{AC\cdot sinC}{sinB} = \frac{25\cdot sin\;82,15^o}{sin\;37,9^o}\approx 40.$$

Vậy khoảng cách từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ xấp xỉ $40\;m.$

Bài tập 7 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến $A$ và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với nhau góc $75^o.$ Tàu thứ nhất chạy với tốc độ $8$ hải lý một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ $12$ hải lý một giờ. Sau $2,5$ giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lý (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Giải

Sau $2,5$ giờ thì tàu thứ nhất đi được: $8\cdot 2,5 = 20$ (hải lý). Gọi $B$ là vị trí của tàu thứ nhất sau $2,5$ giờ, ta có: $AB = 20$ (hải lý).

Sau $2,5$ giờ thì tàu thứ hai đi được: $12\cdot 2,5 = 30$ (hải lý). Gọi $C$ là vị trí của tàu thứ hai sau $2,5$ giờ, ta có: $AC = 30$ (hải lý).

Khi đó, khoảng cách giữa hai tàu sau $2,5$ giờ là độ dài đoạn thẳng $AB.$

Bài tập 7 - Trang 71 - Toán 10 tập 1 - bộ Cánh diều.

Áp dụng định lý cô-sin, ta có:

$$BC^2 = AB^2+AC^2 – 2\cdot AB\cdot AC \cdot cosA$$

$$\Leftrightarrow BC^2 = 20^2+30^2-2\cdot 20\cdot 30\cdot cos\;75^o$$

$$\Leftrightarrow BC = \sqrt{20^2+30^2-2\cdot 20\cdot 30\cdot cos\;75^o} \approx 31,5$$

Vậy sau $2,5$ giờ thì khoảng cách giữa hai tàu xấp xỉ $31,5$ hải lý.

Bài tập 8 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Bạn $A$ đứng ở nóc của toà nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn $A$ tới chiếc diều và phương nằm ngang) là $\alpha = 35^o;$ khoảng cách từ nóc nhà tới mắt bạn $A$ là $1,5\;m.$ Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn $B$ cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là $\beta = 75^o;$ khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn $B$ cũng là $1,5\;m.$ Biết chiều cao của tòa nhà là $h=20\;m$ (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài tập 8 - Trang 71 - Toán 10 tập 1 - bộ Cánh diều.

Giải

Đặt tên các điểm như trong hình vẽ sau:

Bài tập 8 - Trang 71 - Toán 10 tập 1 - bộ Cánh diều.

Ta có: $\widehat{OAB} = \alpha +90^o = 35^o+90^o = 125^o;$ $\widehat{ABO} = 90^o – \beta = 90^o – 75^o = 15^o.$

Suy ra: $\widehat{AOB} = 180^o – \widehat{OAB}-\widehat{ABO} = 180^o – 125^o – 15^o =40^o.$

Lại có: $AB = h = 20.$

Áp dụng định lý sin, ta có:

$$\frac{AO}{sin\widehat{ABO}} = \frac{AB}{sin\widehat{AOB}}$$

$$\Rightarrow AO = \frac{AB\cdot sin\widehat{ABO}}{sin\widehat{AOB}} = \frac{20\cdot sin\;15^o}{sin\;40^o}$$

Mặt khác, tam giác $AOC$ vuông tại $C$ nên:

$$OC = AO\cdot sin\alpha = \frac{20\cdot sin\;15^o}{sin\;40^o} \cdot sin\;35^o$$

Từ đó ta được: $OH = OC+1,5+20 = \frac{20\cdot sin\;15^o}{sin\;40^o} \cdot sin\;35^o + 1,5 + 20 \approx 26$

Vậy chiếc diều bay cao khoảng $26\;m$ so với mặt đất.

Chia sẻ nếu thấy hay:
0 0 đánh giá
Đánh giá bài viết
Theo dõi
Thông báo của
guest

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

0 Góp ý
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Rất thích suy nghĩ của bạn, hãy bình luận.x