Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 2 – GIẢI TAM GIÁC. TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC. (bộ Cánh diều)

Giải

Áp dụng định lý sin, ta có:

$$\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB}$$

Thay các giá trị đề bài đã cho vào, ta được:

$$\frac{12}{sin\;45^o} = \frac{AC}{sin\;60^o}$$

$$\Rightarrow AC = \frac{12\cdot sin\;60^o}{sin\;45^o} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$$

Mặt khác, ta có: $\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C} = 180^o – 60^o – 45^o =75^o.$

Do đó, diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB\cdot AC \cdot sinA$$

$$\;\;\; = \frac{1}{2} \cdot 12\cdot \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot sin\;75^o \approx 85,2. $$

Giải

Gọi $A$ là điểm đặt giác kế, $B$ là ngọn cây và $C$ là gốc cây.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC.$

Có hai trường hợp có thể xảy ra: cây cao hơn tòa nhà, hoặc cây thấp hơn tòa nhà (không thể xảy ra trường hợp cây cao bằng tòa nhà được, do giả thiết về các góc lệch).

TH1) Cây cao hơn tòa nhà:

Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên: $tan \widehat{BAH} = \frac{BH}{AH}$

Suy ra: $BH = AH\cdot tan \widehat{BAH} = 30\cdot tan\;24^o.$

Lại có: $CH = 18,5+1,5 = 20$

Do đó, $BC = BH+CH = 30\cdot tan\;24^o +20 \approx 33,4.$

Vậy chiều cao của cái cây trong trường hợp này là khoảng $33,4 \;m.$

TH2) Cây thấp hơn toà nhà

Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên $tan \widehat{HAB} = \frac{BH}{AH}$

Suy ra: $BH = AH \cdot tan \widehat{HAB} = 30\cdot tan\;24^o$

Vậy chiều cao của cái cây là: $BC = CH – BH = (18,5+1,5) – 30\cdot tan\;24^o \approx 6,6\;(m).$

Giải

a) Theo định lý cosin:

$$AB^2 = BC^2+CA^2 – 2\cdot BC\cdot CA \cdot cosC $$

$$\;\;\;= 12^2+15^2 – 2\cdot 12\cdot 15\cdot cos \;120^o = 549.$$

Suy ra: $AB = \sqrt{549} = 3\sqrt{61}.$

b) Theo định lý sin: $\frac{CB}{sinA} = \frac{AB}{sinC}$

Suy ra: $sinA = \frac{CB\cdot sinC}{AB} = \frac{12\cdot sin\;120^o}{3\sqrt{61}}\approx 0,44$

Do đó: $\widehat{A} \approx 26^o$ hoặc $\widehat{A} \approx 154^o$ (loại).

Vậy $\widehat{A} \approx 26^o$ và $\widehat{B} \approx 180^o – 120^o – 26^o = 34^o.$

c) Diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2} \cdot CA\cdot CB\cdot sinC$$

$$\;\;\;= \frac{1}{2} \cdot 15\cdot 12\cdot sin\;120^o = 45\sqrt{3}.$$

Giải

Theo định lý cosin:

$$BC^2 = AC^2+AB^2-2\cdot AB\cdot AC \cdot cosA$$

Từ đó, đặt $AC = x$ và thay số đề bài cho vào, ta có:

$$7^2 = x^2 + 5^2 – 2\cdot 5 \cdot x \cdot cos\;120^o$$

$$\Leftrightarrow x^2 + 5x – 24 = 0$$

Giải phương trình bậc hai trên ta được $x = 3$ hoặc $x = -8.$

Ta loại giá trị $x=-8$ vì $x=AC > 0$ (là độ dài đoạn thẳng).

Vậy $AC = 3.$

Lưu ý

Có thể giải bằng cách khác (sẽ cho kết quả xấp xỉ) như sau:

Bước 1: Áp dụng định lý sin để tính $sinC,$ từ đó suy ra độ lớn góc $C.$

$$sinC = \frac{AB\cdot sinA}{BC}$$

Bước 2: Có được góc $C,$ ta tính được góc $B.$ Áp dụng định lý cosin ta tính được độ dài cạnh AC.

Cách làm này có vẻ đơn giản! Tuy nhiên, ở Bước 1, ta không thể tính được chính xác độ lớn của góc $C,$ mà chỉ có thể trả lời bằng một giá trị gần đúng (xấp xỉ). Sau đó, lại dùng giá trị gần đúng này để tính độ dài cạnh $AC$ (Bước 2). Vì vậy mà kết quả ta nhận được chỉ là giá trị gần đúng.

Giải

a) Áp dụng định lý sin, ta được:

$$\frac{AC}{sinB} = \frac{AB}{sinC}$$

$$\Rightarrow AC = \frac{AB\cdot sinB}{sinC} = \frac{100\cdot sin\;100^o}{sin\;45^o} \approx 139,3.$$

Ta có: $\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C} = 180^o – 100^o – 45^o = 35^o.$

Lại áp dụng định lý sin, ta được:

$$\frac{BC}{sinA} = \frac{AB}{sinC}$$

$$\Rightarrow BC = \frac{AB\cdot sinA}{sinC} = \frac{100\cdot sin\;35^o}{sin\;45^o} \approx 81,1.$$

b) Diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot sinB$$

$$\;\;\; = \frac{1}{2} \cdot 100\cdot \frac{100\cdot sin\;35^o}{sin\;45^o} \cdot sin\;100^o \approx 3994,2.$$

Giải

a) Áp dụng định lý cosin, ta được:

$$cosA = \frac{AC^2 + AB^2 – BC^2}{2\cdot AC\cdot AB} = \frac{15^2 + 12^2 – 20^2}{2\cdot 15\cdot 12} = \frac{-31}{360}$$

$$\Rightarrow \widehat{A} \approx 94,9^o.$$

Tương tự:

$$cosB = \frac{BC^2 + AB^2 – AC^2}{2\cdot BC\cdot AB} = \frac{20^2 + 12^2 – 15^2}{2\cdot 20\cdot 12} = \frac{319}{480}$$

$$\Rightarrow \widehat{B} \approx 48,3^o.$$

Suy ra: $\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B} \approx 180^o -94,9^o – 48,3^o = 36,8^o.$

b) Ta có nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{AB+BC+CA}{2} = \frac{12+20+15}{2} = 23,5.$

Áp dụng công thức Heron, ta tính được diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \sqrt{p\cdot (p-AB)\cdot (p-BC)\cdot (p-CA)}$$

$$\;\;\; = \sqrt{23,5 \cdot (23,5 – 12) \cdot (23,5 – 20) \cdot (23,5 – 15)} \approx 89,7.$$

Giải

Áp dụng định lý sin: $\frac{CB}{sinA} = \frac{CA}{sinB}$

Suy ra: $sinB = \frac{CA\cdot sinA}{CB} = \frac{5,2\cdot sin\;40^o}{3,6} \approx 0,93$

$\Rightarrow \widehat{B} \approx 68^o$ hoặc $\widehat{B} = 112^o.$

$TH1:\; \widehat{B} = 68^o$ (Hình 29)

Ta có: $\widehat{C } = 180^o – \widehat{B} – \widehat{A} = 180^o – 68^o – 40^o = 72^o.$

Áp dụng định lý sin: $\frac{AB}{sinC} = \frac{CB}{sinA}$

Suy ra: $AB = \frac{CB\cdot sinC}{sinA} = \frac{3,6\cdot sin\;72^o}{sin\;40^o}\approx 5,3.$

$TH2:\; \widehat{B} = 112^o$ (Hình 30)

Ta có: $\widehat{C } = 180^o – \widehat{B} – \widehat{A} = 180^o – 112^o – 40^o = 28^o.$

Áp dụng định lý sin: $\frac{AB}{sinC} = \frac{CB}{sinA}$

Suy ra: $AB = \frac{CB\cdot sinC}{sinA} = \frac{3,6\cdot sin\;28^o}{sin\;40^o}\approx 2,6.$

Lưu ý

Cách khác để giải bài toán này!

Đặt $AB = x.$

Áp dụng định lý cosin: $CB^2 = AB^2+AC^2 – 2\cdot AB\cdot AC \cdot cos A$

$$\Leftrightarrow 3,6^2 = x^2 + 5,2^2 – 2\cdot x \cdot 5,2 \cdot cos\;40^o$$

Mà $cos\;40^o \approx 0,766$ nên phương trình trên (gần như) tương đương với:

$$3,6^2 = x^2 + 5,2^2 – 2\cdot x \cdot 5,2 \cdot 0,766$$

$$\Leftrightarrow x^2 -7,9664x + 14,08 = 0$$

Giải phương trình này ta được $x = 5,32$ hoặc $x = 2,65.$

Vậy $AB = 5,32$ (ứng với Hình 29) hoặc $AB = 2,65$ (ứng với Hình 30).

Giải

Ta có: $AC = 1\;km, BC = 800\;m = 0,8\;km, \widehat{C} = 105^o.$

Áp dụng định lý cosin:

$$AB^2 = AC^2+BC^2- 2\cdot AC\cdot BC \cdot cosC$$

$$\;\;\; = 1^2+0,8^2 – 2\cdot 1 \cdot 0,8 \cdot cos\;105^o$$

Suy ra: $AB \approx \sqrt{ 1^2+0,8^2 – 2\cdot 1 \cdot 0,8 \cdot cos\;105^o } \approx 1,4332 \;(km)$

Đổi sang đơn vị mét, ta được: $AB \approx 1433,2\;m.$

Giải

Đặt $C$ là vị trí của ngọn hải đăng. Kẻ $CH$ vuông góc với $AB.$ Khoảng cách từ ngọn hải đăng đến bờ biển chính là độ dài đoạn $CH.$

$\widehat{CBH}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $ABC$ nên $\widehat{CBH} = \widehat{CAB}+\widehat{ACB}$

Suy ra: $\widehat{ACB} = \widehat{CBH} – \widehat{CAB} = 75^o – 45^o = 30^o.$

Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC,$ ta có:

$$\frac{CB}{sin\widehat{CAB}} = \frac{AB}{sin\widehat{ACB}}$$

Suy ra: $CB = \frac{AB\cdot sin\widehat{CAB}}{sin\widehat{ACB}} = \frac{30\cdot sin\;45^o}{sin\;30^o} = 30\sqrt{2}.$

Tam giác $BCH$ vuông tại $H$ nên: $sin\widehat{CBH} = \frac{CH}{CB}$

Suy ra: $CH = CB\cdot sin\widehat{CBH} = 30\sqrt{2} \cdot sin\;75^o \approx 41.$

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng $41\;m.$