Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 5 – TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VÉCTƠ. (bộ Cánh diều)

Giải

Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ (vì là giao điểm của hai đường trung tuyến).

Do đó: $AG = \frac{2}{3} AM$ và $GN = \frac{1}{2} GB.$

Thêm nữa, vì $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AM}.$

Tương tự, vì $\overrightarrow{GN}$ và $\overrightarrow{GB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{GN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}.$

Vậy $a = \frac{2}{3}$ và $b = -\frac{1}{2}.$

Giải

Ta biến đổi vế trái thành vế phải!

Ta có:

$$3(\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC}) – 2(\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC})$$

$$= 3\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{BC} – 2\overrightarrow{AB} – 6\overrightarrow{BC}$$

$$= (3\overrightarrow{AB} – 2\overrightarrow{AB}) + (6\overrightarrow{BC} – 6\overrightarrow{BC})$$

$$= \overrightarrow{AB} + \vec{0}$$

$$=\overrightarrow{AB}$$

$$\Rightarrow đpcm.$$

Giải

Vì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ nên $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = -\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{AG}.$

Do đó:

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$

$$= \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC}$$

$$= (\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) + 2\overrightarrow{AG}$$

$$= \overrightarrow{AG} + 2\overrightarrow{AG}$$

$$= 3\overrightarrow{AG}.$$

Giải

a) Quan sát Hình 61, ta thấy đoạn $AC$ chiếm 6 ô vuông, đoạn $AD$ chiếm 8 ô vuông. Do đó: $AC = \frac{6}{8}AD = \frac{3}{4}AD.$

Thêm nữa, $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}AD.$

Vậy $k = \frac{3}{4}.$

b) Quan sát Hình 61, ta thấy đoạn $BD$ chiếm 6 ô vuông, đoạn $DC$ chiếm 2 ô vuông. Do đó, $BD = \frac{6}{2}DC = 3DC.$

Thêm nữa, $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{DC}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{BD} = -3\overrightarrow{DC}.$

Vậy $k = -3.$

Giải

Theo đề bài thì $MN = 2PQ.$ Mà $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ ngược hướng nhau nên $\overrightarrow{MN} = -2\overrightarrow{PQ}.$

Vậy ta chọn đáp án C.

Nói thêm: Đáp án A sai vì thiếu dấu trừ “-“. Các đáp án B, D sai vì hai véctơ $\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{NP}$ không cùng phương.

Giải

a)

b)

Giải

a) Ta có $PN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $PN//BC$ và $PN=\frac{1}{2}BC.$

Do đó, $\overrightarrow{PN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Suy ra: $\overrightarrow{AP}+ \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{AN}.$

b) Ta có $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MP//CA$ và $CA = 2MP.$

Do đó, $\overrightarrow{CA} = 2\overrightarrow{MP}.$

Suy ra: $\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA}.$

Giải

$$+) \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$$

$$\;\;\; = -\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} = -\vec{a} + \vec{b}.$$

$$+) \overrightarrow{BD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}(-\vec{a} + \vec{b})$$

$$+) \overrightarrow{BE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} = \frac{2}{3}(-\vec{a} + \vec{b})$$

$$+) \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$$

$$\;\;\; = \vec{a} + \frac{1}{3}(-\vec{a} + \vec{b}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$$

$$+) \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}$$

$$\;\;\; = \vec{a} + \frac{2}{3}(-\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$$

Giải

a) Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} = 2\overrightarrow{EM}$ (1)

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = 2\overrightarrow{EN}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $ \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = 2(\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{EN})$ (3)

Vì $G$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{EN} = 2\overrightarrow{EG}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = 2\cdot (2\overrightarrow{EG}) = 4\overrightarrow{EG}$

b) Vì $E$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = \vec{0}.$

Do đó, kết hợp với kết quả ở câu a), ta có:

$$4\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{EA} + \vec{0} = \overrightarrow{EA}$$

c) Vì $\overrightarrow{EA} = 4\overrightarrow{EG}$ nên điểm $G$ thuộc đoạn thẳng $AE$ và $GE = \frac{1}{4} AE$

Do đó, $AE = AG + GE$

$$\Leftrightarrow AE = AG + \frac{1}{4}AE$$

Suy ra: $AG = AE – \frac{1}{4}AE = \frac{3}{4}AE$

Mà $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AE}$ cùng hướng (do điểm $G$ thuộc đoạn thẳng $AE)$ nên $\overrightarrow{AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AE}.$

Giải

+) Gọi $M$ là giao điểm của $AG$ với $BC.$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $AM$ là một trung tuyến. Do đó $M$ là trung điểm của $BC.$

Suy ra: $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (1)

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}.$ Thay vào (1), ta được: $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Vậy ta có:

$$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AM}$$

$$\;\;\; = \frac{2}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}) = \frac{2}{3}(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} )$$

$$\;\;\; = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}.$$

+) Gọi $N$ là giao điểm của $CG$ với $AB.$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $CN$ là một trung tuyến. Do đó $N$ là trung điểm của $AB.$

Suy ra: $\overrightarrow{BN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}\vec{a}$

Ta có:

$$\overrightarrow{CG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CN}$$

$$\;\;\;= \frac{2}{3}(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BN}) = \frac{2}{3}(-\vec{b} – \frac{1}{2}\vec{a})$$

$$\;\;\; = -\frac{2}{3}\vec{b} – \frac{1}{3}\vec{a}.$$

Giải

a)

$$+) \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$$

$$\;\;\; = \overrightarrow{AC} + \frac{4}{3}\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC} + \frac{4}{3}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB})$$

$$\;\;\;= \overrightarrow{AC} + \frac{4}{3}(-\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}) = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AB}.$$

$$+) \overrightarrow{DH} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BH}$$

$$\;\;\; = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BA} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) – \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$$

$$\;\;\; = \frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) – \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$$

$$+) \overrightarrow{HE} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{AE}$$

$$\;\;\; = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$$

b) Dựa vào kết quả ở câu a), ta có: $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{HE}.$

Do đó, $D, E, H$ thẳng hàng.