Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 6 – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ. (bộ Cánh diều)

Giải

+) Tính $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}:$

Ta có:

$$BC = \frac{AB}{cosB} = \frac{3}{cos\;30^o}$$

$$\;\;\; = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}.$$

Do đó:

$$ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$$

$$\;\;\; = 3\cdot 2\sqrt{3} \cdot cos\;30^o = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9.$$

+) Tính $ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} :$

Ta có: $\widehat{C} = 90^o – \widehat{B} = 90^o – 30^o = 60^o.$

$$CA = AB\cdot tan\;30^o = 3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.$$

Do đó:

$$ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot cos(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB})$$

$$\;\;\; = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot cos\;60^o = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$$

Giải

a) Kéo dài $BC$ về phía $B$ và lấy trên đó điểm $D$ sao cho $DB = BC = a.$ Khi đó: $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BD}$ và $(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BA}) = 180^o – 60^o = 120^o.$

Do đó:

$$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BA}$$

$$\;\;\; = |\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{BA}| \cdot cos(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BA}) = a \cdot a \cdot cos\;120^o = -\frac{1}{2}a^2.$$

b) Vì $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}.$

Do đó: $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = \vec{0}.$

Giải

$$(\vec{a} + \vec{b})^2$$

$$\;\;\; = (\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a} + \vec{b})$$

$$\;\;\; = \vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b}) + \vec{b}\cdot (\vec{a}+\vec{b})$$

$$\;\;\; = \vec{a}^2 + \vec{a}\cdot \vec{b} + \vec{b}\cdot \vec{a} + \vec{b}^2$$

$$\;\;\; = \vec{a}^2 + 2\vec{a}\cdot \vec{b} + \vec{b}^2.$$

$$(\vec{a}-\vec{b})^2$$

$$\;\;\; = (\vec{a} – \vec{b}) \cdot (\vec{a} – \vec{b})$$

$$\;\;\; = \vec{a}\cdot (\vec{a} – \vec{b}) – \vec{b}\cdot (\vec{a} – \vec{b})$$

$$\;\;\; = \vec{a}^2 – \vec{a}\cdot \vec{b} – \vec{b}\cdot \vec{a} + \vec{b}^2$$

$$\;\;\; = \vec{a}^2 – 2\vec{a}\cdot \vec{b} + \vec{b}^2.$$

$$(\vec{a} – \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$$

$$\;\;\; = \vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b}) – \vec{b}\cdot (\vec{a}+\vec{b})$$

$$\;\;\;= \vec{a}^2 + \vec{a}\cdot \vec{b} – \vec{b}\cdot \vec{a} – \vec{b}^2$$

$$\;\;\; = \vec{a}^2 – \vec{b}^2.$$

Giải

Xét tam giác $ABC$ bất kỳ, ta có: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$

Do đó:

$$\overrightarrow{BC}^2 = (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC})^2$$

$$\;\;\;= \overrightarrow{BA}^2 + 2\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}^2$$

Mặt khác, ta có:

$$\overrightarrow{BC}^2 = |\overrightarrow{BC}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BC})$$

$$\;\;\; = BC \cdot BC \cos\;0^o = BC^2.$$

Tương tự vậy, ta có: $\overrightarrow{AC}^2 = AC^2; \overrightarrow{BA}^2 = BA^2.$

Vậy với mọi tam giác $ABC,$ ta có: $BC^2 = BA^2 +2\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC} + AC^2.$ (1)

+) Chứng minh chiều thuận của định lý: “Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Chứng minh: $BC^2 = BA^2 + AC^2$”.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB\perp AC.$

Do đó: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC} = \vec{0}.$

Thay vào đẳng thức (1), ta được: $BC^2 = BA^2 + 2\cdot \vec{0} + AC^2$

Do đó: $BC^2 = BA^2 + AC^2$ (đpcm).

+) Chứng minh chiều đảo của định lý: “Nếu tam giác $ABC$ có $BC^2 = BA^2+AC^2$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $A$”.

Thay $BC^2 = BA^2+AC^2$ vào đẳng thức (1), ta được: $BA^2 + AC^2 = BA^2 +2\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} + AC^2$

Suy ra: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC} = \vec{0}$

Do đó: $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{AC}.$ Suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (đpcm).

Giải

Ta có:

$$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{NM} = |\overrightarrow{MN}|\cdot |\overrightarrow{NM}| \cdot cos(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{NM})$$

$$\;\;\; = MN\cdot NM \cdot cos\;180^o = MN^2 \cdot (-1)$$

Theo đề thì $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{NM} = -4$ nên $MN^2\cdot (-1) = -4.$

Do đó: $MN^2 = 4$ hay $MN = 2.$

Chọn đáp án B.

Giải

Ta có: $\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}| \cdot cos(\vec{a}, \vec{b})$

Mà $|\vec{a}| > 0$ và $|\vec{b}| > 0$ (vì $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0})$ nên dấu của $\vec{a}\cdot \vec{b}$ cùng dấu với $cos(\vec{a}, \vec{b}).$

Nếu $(\vec{a}, \vec{b}) < 90^o$ thì $cos(\vec{a}, \vec{b}) > 0.$ Do đó A sai, C đúng.

Nếu $(\vec{a}, \vec{b}) > 90^o$ thì $cos(\vec{a}, \vec{b}) < 0.$ Do đó B sai.

Nếu $(\vec{a}, \vec{b}) \neq 90^o$ thì chưa đủ cơ sở để xác định dấu của $cos(\vec{a}, \vec{b}).$ Do đó D sai.

Vậy ta chọn đáp án C.

Giải

a) $|\vec{a}| = 3,$ $|\vec{b}| = 4,$ $(\vec{a}, \vec{b}) = 30^o$

$$\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}| \cdot cos(\vec{a}, \vec{b}) = 3\cdot 4 \cdot cos\;30^o = 6\sqrt{3}.$$

b) $|\vec{a}| = 5,$ $|\vec{b}| = 6,$ $(\vec{a}, \vec{b}) = 120^o.$

$$\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}| \cdot cos(\vec{a}, \vec{b}) = 5\cdot 6 \cdot cos\;120^o = -15.$$

c) $|\vec{a}| = 2,$ $|\vec{b}| = 3,$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

$$\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}| \cdot cos(\vec{a}, \vec{b}) = 2\cdot 3 \cdot cos\;0^o = 6.$$

d) $|\vec{a}| = 2,$ $|\vec{b}| = 3,$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

$$\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}| \cdot cos(\vec{a}, \vec{b}) = 2\cdot 3 \cdot cos\;180^o = -6.$$

Giải

a) Do tính chất của hình vuông, ta có: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC} = 45^o$ và $AC = a\sqrt{2}.$

Do đó: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = a\cdot (a\sqrt{2})\cdot cos\;45^o = a^2.$

b) Cũng do tính chất của hình vuông ta có hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau. Do đó: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD} = \vec{0}.$

Giải

Ta biến đổi vế trái thành vế phải:

$$AB^2 + \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}$$

$$= AB^2 + \overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA})$$

$$= AB^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BA}$$

$$ = AB^2 + AB \cdot AB \cdot cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA})$$

$$= AB^2 + AB^2 \cdot cos\; 180^o$$

$$= AB^2 + AB^2 \cdot (-1)$$

$$= 0$$

Giải

a) Ta có:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH} = (\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB}) \cdot \overrightarrow{AH}$$

$$\;\;\; = \overrightarrow{AH} ^2 + \overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{AH}$$

Mặt khác: $\overrightarrow{AH}^2 = AH^2$ và $\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{AH} = 0$ (do $AH\perp HB)$

Do đó: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH} = AH^2 + 0 = AH^2.$

Tương tự, ta có:

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AH} = (\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}) \cdot \overrightarrow{AH}$$

$$\;\;\; = \overrightarrow{AH}^2 + \overrightarrow{HC}\cdot \overrightarrow{AH}$$

$\;\;\; = AH^2 + 0$ (vì $HC\perp AH)$

Vậy: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AH}$ (vì đều bằng $AH^2).$

b) Ta có: $AH\perp BC$ nên $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0.$

Từ đó, ta có:

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{AH}+ \overrightarrow{HB})\cdot \overrightarrow{BC}$$

$$\;\;\; = \overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{BC}$$

$$\;\;\; = 0 +\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{BC}$$

$$\;\;\; = \overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{BC}$$

Giải

Gọi $\vec{v_1}$ là vận tốc bay từ đông sang tây của máy bay. Theo đề bài thì $|\vec{v_1}| = 700\; (km/h).$

Gọi $\vec{v_2}$ là vận tốc thổi từ đông bắc sang tây nam của gió. Theo đề bài thì $|\vec{v_2}| = 40\;(km/h).$

Khi đó, vận tốc mới của máy bay là véctơ tổng $\vec{v} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$ được xác định dựa vào quy tắc hình bình hành theo mô tả trong hình sau đây:

Ta có $(\vec{v_1}, \vec{v_2}) = 45^o$ nên:

$$\vec{v}^2 = (\vec{v_1} + \vec{v_2})^2

$$\;\;\;= \vec{v_1}^2 + \vec{v_2}^2 + 2\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}$$

$$\;\;\; = |\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + 2\cdot |\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}| \cdot cos(\vec{v_1}, \vec{v_2}) $$

$$\;\;\;= 700^2 + 40^2 + 2\cdot 700\cdot 40\cdot cos\;45^o $$

$$\;\;\;= 491600 + 28000\sqrt{2}$$

Do đó: $|\vec{v}| = \sqrt{ 491600 + 28000\sqrt{2} }\approx 728,83$

Vậy tốc độ mới của máy bay khi gặp gió thổi là $728,83\;km/h.$

Giải

a) Ta có:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot cos\widehat{BAC}$$

$$\;\;\; = 2\cdot 3\cdot cos\;60^o = 3.$$

b)

+) Tìm $\overrightarrow{AM}:$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}.$ Do đó:

$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).$$

+) Tìm $\overrightarrow{BD}:$

Ta có:

$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$$

$$\;\;\; = -\overrightarrow{AB} + \frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$$

Vậy $\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{AB} + \frac{7}{12}\overrightarrow{AC}.$

c) Ta có:

$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BD}$$

$$= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\cdot ( -\overrightarrow{AB} + \frac{7}{12}\overrightarrow{AC})$$

$$= \frac{1}{2}(-\overrightarrow{AB}^2 -\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB} + \frac{7}{12} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} + \frac{7}{12}\overrightarrow{AC}^2)$$

$$= \frac{1}{2}(-AB^2 – 3 + \frac{7}{12}\cdot 3 + \frac{7}{12}AC^2)$$

$$= \frac{1}{2}(-2^2 – 3 + \frac{7}{12}\cdot 3 + \frac{7}{12}\cdot 3^2)$$

$$= 0$$

Tóm lại: $ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BD} = 0.$

Do đó: $AM\perp BD.$