Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Cánh diều.
Bài tập 1 (Trang 99 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC$ có $AB=3, AC=4, \widehat{BAC} = 120^o.$ Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
a) Độ dài cạnh $BC$ và độ lớn góc $B.$
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp.
c) Diện tích của tam giác.
d) Độ dài đường cao xuất phát từ $A.$
e) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC},$ $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}$ với $M$ là trung điểm của $BC.$
Giải
a)
+) Tính $BC:$
Theo định lý cosin, ta có:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2\cdot AB\cdot AC\cdot cos\widehat{BAC}$$
$$\;\;\; = 3^2+4^2 – 2\cdot 3\ cdot 4\cdot cos\;120^o = 37$$
Suy ra: $BC = \sqrt{37} \approx 6.$
+) Tính $\widehat{B}:$
Theo định lý cosin, ta có:
$$AC^2 = BA^2 + BC^2 – 2\cdot BA\cdot BC \cdot cosB$$
Suy ra:
$$cosB = \frac{BA^2 + BC^2 – AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}$$
$$\;\;\; = \frac{3^2+37 – 4^2}{2\cdot 3\cdot \sqrt{37} }$$
$$\;\;\; = \frac{5}{\sqrt{37} }$$
Suy ra: $\widehat{B} \approx 35^o$$
b) Theo định lý sin, ta có (với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác):
$$\frac{BC}{sin\widehat{BAC} } = 2R$$
Suy ra:
$$R = \frac{BC}{2sin\widehat{BAC} } = \frac{\sqrt{37} }{2sin\;120^o} \approx 4$$
c) Diện tích của tam giác $ABC$ là:
$$S = \frac{1}{2}AB\cdot AC \cdot sin\widehat{BAC}$$
$$\;\;\;= \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot sin\;120^o = 3\sqrt{3}$$
$$\;\;\; \approx 5$$
d) Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A.$
Ta có:
$$S = \frac{1}{2}\cdot AH \cdot BC$$
Suy ra:
$$AH = \frac{2S}{BC} = \frac{2\cdot 3\sqrt{3} }{\sqrt{37} } \approx 2$$
e)
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = AB\cdot AC\cdot cos\widehat{BAC}$$
$$\;\;\; = 3\cdot 4\cdot cos\;120^o = -6.$$
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC})$
Do đó:
$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}$$
$$\;\;\; = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB})$$
$$\;\;\; = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}^2 – \overrightarrow{AB}^2)$$
$$\;\;\; = \frac{1}{2}(AC^2 – AB^2)$$
$$\;\;\; = \frac{1}{2}(4^2 – 3^2) = \frac{7}{2}$$
Bài tập 2 (Trang 99 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
$$A = (sin\;20^o + sin\;70^o)^2 + (cos\; 20^o + cos\; 110^o)^2;$$
$$B = tan\;20^o + cot\;20^o + tan\; 110^o + cot\; 110^o.$$
Giải
$$A = (sin\;20^o + sin\;70^o)^2 + (cos\; 20^o + cos\; 110^o)^2$$
$$\;\;\; = (sin(90^o – 70^o) + sin\;70^o)^2 + (cos(90^o – 70^o) + cos(180^o – 70^o))^2$$
$$\;\;\; = (cos\;70^o + sin\;70^o)^2 + (sin\;70^o – cos\;70^o)^2$$
$$\;\;\; = (cos^{2}70^o+ 2\cdot cos\;70^o \cdot sin\;70^o +sin^{2}70^o) + (sin^{2}70^o – 2\cdot sin\;70^o\cdot cos\;70^o + cos^{2}70^o)$$
$$\;\;\; = 2(sin^{2}70^o + cos^{2}70^o)$$
$$\;\;\; = 2\cdot 1 = 2.$$
Vậy $A = 2.$
$$B = tan\;20^o + cot\;20^o + tan\; 110^o + cot\; 110^o$$
$$\;\;\; = tan(90^o – 70^o) + cot(90^o – 70^o) + tan(180^o – 70^o) + cot(180^o – 70^o)$$
$$\;\;\; = cot\;70^o + tan\;70^o – tan\;70^o – cot\;70^o$$
$$\;\;\; = 0.$$
Vậy $B = 0.$
Bài tập 3 (Trang 99 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó.
Bạn Hoài vẽ góc $xOy$ và đố bạn Đông làm thế nào có thể biết được số đo của góc này khi không có thước đo góc. Bạn Đông làm như sau (Hình 70):
– Chọn các điểm $A, B$ lần lượt thuộc các tia $Ox$ và $Oy$ sao cho $OA = OB = 2\;cm;$
– Đo độ dài đoạn thẳng $AB$ được $AB = 3,1\;cm.$
Từ các dữ kiện trên, bạn Đông tính được $cos\;\widehat{xOy},$ từ đó suy ra độ lớn góc $xOy.$
Em hãy cho biết số đo góc $xOy$ mà bạn Đông tính được bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Giải
Theo định lý cosin, ta được:
$$cos\;\widehat{xOy} = \frac{OB^2 + OA^2 – AB^2}{2\cdot OB\cdot OA}$$
$$\;\;\; = \frac{2^2 + 2^2 – 3,1^2}{2\cdot 2\cdot 2} =-0,20125.$$
Suy ra: $\widehat{xOy} \approx 102^o.$
Bài tập 4 (Trang 99 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Có hai trạm quan sát $A$ và $B$ ven hồ và một trạm quan sát $C$ ở giữa hồ. Để tính khoảng cách từ $A$ và từ $B$ đến $C,$ người ta làm như sau (Hình 71):
– Đo góc $BAC$ được $60^o,$ đo góc $ABC$ được $45^o;$
– Đo khoảng cách $AB$ được $1\;200\;m.$
Khoảng cách từ trạm $C$ đến các trạm $A$ và $B$ bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Giải
Ta có: $\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B} = 180^o – 60^o – 45^o = 75^o.$
Áp dụng định lý sin, ta có:
$$\frac{AC}{sinB} = \frac{CB}{sinA} = \frac{AB}{sinC}$$
Do đó:
+) $AC = \frac{AB\cdot sinB}{sinC} = \frac{1\;200\cdot sin\;45^o}{sin\;75^o} \approx 878.$
+) $CB = \frac{AB\cdot sinA}{sinC} = \frac{1\;200\cdot sin\;60^o}{sin\;75^o} \approx 1\;076.$
Bài tập 5 (Trang 99 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau).
Từ vị trí đang đứng $A,$ người đó đo được góc nghiêng $\alpha = 35^o$ so với bờ sông tới một vị trí $C$ quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí $B$ cách $A$ một khoảng $d=50\;m$ và tiếp tục đo được góc nghiêng $\beta = 65^o$ so với bờ bên kia tới vị trí $C$ đã chọn (Hình 72). Hỏi độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Giải
Kẻ $CH \perp AB.$
Độ rộng khúc sông cần tính chính là độ dài $CH.$
Ta có: $\widehat{CBH} = \widehat{ACB} + \widehat{CAB}$ (vì $\widehat{CBH}$ là góc ngoài tam giác $ABC)$
Suy ra:
$$\widehat{ACB} = \widehat{CBH} – \widehat{CAB}$$
$$\;\;\;= 65 ^o – 35^o = 30^o.$$
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC,$ ta có:
$$\frac{BC}{sin\widehat{CAB}} = \frac{AB}{sin\widehat{ACB}}$$
Suy ra:
$$BC = \frac{AB\cdot sin\widehat{CAB}}{sin\widehat{ACB}}$$
$$\;\;\; = \frac{50\cdot sin\;35^o}{sin\;30^o}$$
Tam giác $BHC$ vuông tại $H$ nên:
$$CH = BC \cdot sin\widehat{CBH}$$
$$\;\;\; = (\frac{50\cdot sin\;35^o}{sin\;30^o}) \cdot sin\;65^o \approx 52,0$$
Vậy độ rộng của khúc sông đó là khoảng $52,0\;m.$
Bài tập 6 (Trang 100 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Để đo khoảng cách giữa hai vị trí $M, N$ ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí $O$ bên ngoài ốc đảo sao cho: $O$ không thuộc đường thẳng $MN;$ các khoảng cách $OM, ON$ và góc $MON$ là đo được (Hình 73). Sau khi đo, ta có $OM = 200\;m,$ $ON = 500\;m,$ $\widehat{MON} = 135^o.$
Khoảng cách giữa hai vị trí $M, N$ là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Giải
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $OMN,$ ta được:
$$MN^2 = OM^2 + ON^2 – 2OM\cdot ON \cdot cosO$$
Suy ra:
$$MN = \sqrt{ OM^2 + ON^2 – 2OM\cdot ON \cdot cosO }$$
$$\;\;\; = sqrt{200^2 + 500^2 – 2\cdot 200\cdot 500 \cdot cos\;135^o} \approx 657$$
Bài tập 7 (Trang 100 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Chứng minh:
a) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AE}$ với $E$ là điểm bất kỳ;
b) Nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{IN} = 2\overrightarrow{MN}$ với $M,N$ là hai điểm bất kỳ.
c) Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} – 3\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{NG}$ với $M,N$ là hai điểm bất kỳ.
Giải
a)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.$$
Do đó:
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CE}$$
$$\;\;\; = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AE}$$
b) Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$
Do đó:
$$ \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{IN} $$
$$\;\;\; = 2\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IN}$$
$$\;\;\; = 2(\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IN})$$
$$\;\;\; = 2\overrightarrow{MN}.$$
c) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}.$
Do đó:
$$ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} – 3\overrightarrow{MN} $$
$$\;\;\; = 3\overrightarrow{MG} – 3\overrightarrow{MN}$$
$$\;\;\; = 3(\overrightarrow{MG} – \overrightarrow{MN})$$
$$\;\;\; = 3\overrightarrow{NG}.$$
Bài tập 8 (Trang 100 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = 4,$ $AD = 6,$ $\widehat{BAD} = 60^o$ (Hình 74).
a) Biểu thị các véctơ $\overrightarrow{BD},$ $\overrightarrow{AC}$ theo $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}.$
b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD},$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC},$ $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}.$
c) Tính độ dài các đường chéo $BD, AC.$
Giải
a) $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}.$
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành)
b)
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD} = AB\cdot AD \cdot cosA$$
$$\;\;\; = 4\cdot 6 \cdot cos\;60^o = 12$$
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$$
$$\;\;\;= \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$$
$$\;\;\; = \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$$
$$\;\;\; = AB^2 + 12 = 4^2+12 = 28.$$
$$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}$$
$$\;\;\; = (\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$$
$$\;\;\; = \overrightarrow{AD}^2 – \overrightarrow{AB}^2$$
$$\;\;\; = AD^2 – AB^2$$
$$\;\;\; = 6^2 – 4^2 = 20.$$
c)
+) Tính $BD:$
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABD,$ ta được:
$$BD^2 = AB^2+AD^2 – 2AB\cdot AD \cdot cosA$$
$$\;\;\; = 4^2+6^2- 2\cdot 4\cdot 6\cdot cos\;60^o$$
$$\;\;\; = 28$$
Suy ra: $BD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.$
+) Tính $AC:$
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD}$
Do đó:
$$\overrightarrow{AC}^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})^2$$
$$\Leftrightarrow AC^2 = AB^2 + AD^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$$
$$\Leftrightarrow AC^2 = 4^2 + 6^2 + 2\cdot 12$$
$$\Leftrightarrow AC^2 = 76$$
Vậy $AC = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}.$
Bài tập 9 (Trang 100 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Hai lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}$ cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm $O$ và tạo với nhau một góc $(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}) = \alpha$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ $O$ đến $C$ (Hình 75). Lập công thức tính cường độ của hợp lực $\overrightarrow{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ $O$ đến $C$ (giả sử chỉ có đúng hai lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}$ làm cho vật di chuyển).
Giải
Ta có: $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}$
Suy ra:
$$\overrightarrow{F}^2 = (\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2})^2$$
$$\Leftrightarrow \overrightarrow{F}^2 = \overrightarrow{F_1}^2 + \overrightarrow{F_2}^2 + 2\cdot \overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}$$
$$\Leftrightarrow |\overrightarrow{F}|^2 = |\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2\cdot |\overrightarrow{F_1}| \cdot |\overrightarrow{F_2}| \cdot cos \alpha$$
$$\Leftrightarrow |\overrightarrow{F}| = \sqrt{ |\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2\cdot |\overrightarrow{F_1}| \cdot |\overrightarrow{F_2}| \cdot cos \alpha }$$