Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 1 – Chương 1, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo.
Thực hành 1 (Trang 8 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
a) $\sqrt{2}$ là số vô tỷ.
b) $\frac{1}{\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{3}}+…+ \frac{1}{\sqrt{10}}>2.$
c) 100 tỷ là số rất lớn.
d) Trời hôm nay đẹp quá!
Giải
a) Là mệnh đề.
b) Là mệnh đề.
c) Không phải là mệnh đề.
Mặc dù đây là một khẳng định, nhưng ta không thể xác định được tính đúng hay sai của khẳng định này vì chưa nói rõ tiêu chí để đối chiếu (như thế nào là lớn hay nhỏ?). Trong thực tế, tùy theo hoàn cảnh mà người ta coi đó là khẳng định đúng hay sai.
d) Không phải là mệnh đề (vì là câu cảm thán, không có tính đúng hay sai).
Thực hành 2 (Trang 8 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới.
b) $\sqrt{\left(-5\right)^2} =-5.$
c) $5^2+12^2=13^2.$
Giải
a) Là mệnh đề đúng.
Vịnh Hạ Long được UNESCO công nhận là di sản thiên nhiên thế giới lần thứ nhất vào năm 1994 và lần thứ hai vào năm 2000.
b) Là mệnh đề sai.
c) Là mệnh đề đúng.
Thực hành 3 (Trang 9 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
a) $P(x):$ “$x^2=2$”.
b) $Q(x):$ “$x^2+1>0$”.
c) $R(n):$ “$n+2$ chia hết cho 3” ($n$ là số tự nhiên).
Giải
a) Khi $x=\sqrt{2}$ thì $P(x)$ đúng (vì $\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2).$
Khi $x=1$ thì $P(x)$ sai (vì $1^2 \neq 2).$
b) $Q(x)$ đúng với giá trị $x$ là số thực bất kỳ.
Không có giá trị thực nào của $x$ để $Q(x)$ sai.
c) Khi $n=1$ thì $R(n)$ đúng (vì $1+2$ chia hết cho 3).
Khi $n=2$ thì $R(n)$ sai (vì $2+2$ không chia hết cho 3).
Lưu ý
Trên đây ta mới chỉ ra một số giá trị của biến để mệnh đề chứa biến trở thành mệnh đề đúng hoặc sai. Các bạn có thể đưa ra những giá trị cụ thể khác của biến để được một mệnh đề đúng hoặc một mệnh đề sai.
Thực hành 4 (Trang 10 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.
a) Paris là thủ đô của nước Anh.
b) 23 là số nguyên tố.
c) 2021 chia hết cho 3.
d) Phương trình $x^2-3x+4=0$ vô nghiệm.
Giải
a) Gọi $A:$ “Paris là thủ đô của nước Anh”.
Mệnh đề phủ định của $A$ là $\overline{A}:$ “Paris không phải là thủ đô của nước Anh”.
$A$ là mệnh đề sai. $\overline{A}$ là mệnh đề đúng.
b) Gọi $B:$ “23 là số nguyên tố”.
Mệnh đề phủ định của $B$ là $\overline{B}:$ “23 không phải là số nguyên tố”.
$B$ là mệnh đề đúng. $\overline{B}$ là mệnh đề sai.
c) Gọi $C:$ “2021 chia hết cho 3”.
Mệnh đề phủ định của $C$ là $\overline{C}:$ “2021 không chia hết cho 3”.
$C$ là mệnh đề sai. $\overline{C}$ là mệnh đề đúng.
d) Gọi $D:$ “Phương trình $x^2-3x+4=0$ vô nghiệm”.
Mệnh đề phủ định của $D$ là $\overline{D}:$ “Phương trình $x^2-3x+4=0$ có nghiệm”.
$D$ là mệnh đề đúng. $\overline{D}$ là mệnh đề sai.
Thực hành 5 (Trang 12 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xét hai mệnh đề:
$P:$ “Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau”;
$Q:$ “Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.
a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q.$
b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ có phải là một định lý không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lý này theo hai cách khác nhau.
Giải
a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau thì hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.
b) Vì $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng nên nó là một định lý. Ta có thể phát biểu định lý này bằng hai cách là:
+) Cách 1: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.
+) Cách 2: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau”.
Thực hành 6 (Trang 13 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xét hai mệnh đề:
$P:$ “Tứ giác ABCD là hình vuông”;
$Q:$ “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó.
b) Hai mệnh đề $P$ và $Q$ có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lý $P \Leftrightarrow Q$ theo hai cách khác nhau.
Giải
a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
Mệnh đề đảo là $Q\Rightarrow P:$ “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là hình vuông”.
b) Vì cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng nên $P$ và $Q$ tương đương với nhau.
Định lý $P\Leftrightarrow Q$ được phát biểu theo hai cách khác nhau là:
+) Cách 1: “Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
+) Cách 2: “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
Lưu ý
Tùy theo cách đặt câu, ta có thể diễn đạt định lý $P\Leftrightarrow Q$ bằng nhiều cách khác, miễn sao đảm bảo đúng ý nghĩa thực sự của nó. Chẳng hạn: “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” hoặc “Để tứ giác ABCD là hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
Thực hành 7 (Trang 14 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Sử dụng ký hiệu $\forall, \exists$ để viết các mệnh đề sau:
a) Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0;
b) Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9.
Giải
a) $\forall x \in \mathbb{R}, x+(-x)=0.$
b) $\exists n\in \mathbb{N}, n^2=9.$
Thực hành 8 (Trang 14 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
$$\mathbf{a)}\; \forall x\in \mathbb{R}, x^2>0.$$
$$\mathbf{b)}\; \exists x \in \mathbb{R}, x^2=5x-4.$$
$$\mathbf{c)}\; \exists x \in \mathbb{Z}, 2x+1=0.$$
Giải
a) Mệnh đề đã cho là mệnh đề sai (vì với $x=0$ thì $x^2=0).$ Mệnh đề phủ định của nó là: “$\exists x\in\mathbb{R}, x^2\leq 0$”.
b) Mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng (vì phương trình $x^2=5x-4$ có hai nghiệm thực là $x=1; x=4).$ Mệnh đề phủ định của nó là: “$\forall x \in \mathbb{R}, x^2\neq 5x-4$”.
c) Mệnh đề đã cho là mệnh đề sai (vì phương trình $2x+1=0$ có nghiệm duy nhất là $x=\frac{-1}{2},$ mà nghiệm này lại không phải là số nguyên). Mệnh đề phủ định của nó là: “$\forall x \in \mathbb{Z}, 2x+1\neq 0$”.
Bài tập 1 (Trang 14 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là mệnh đề, khẳng định nào là mệnh đề chứa biến?
a) $3+2>5.$
b) $1-2x=0.$
c) $x-y=2.$
d) $1-\sqrt{2}<0.$
Giải
Các khẳng định a), d) là các mệnh đề.
Các khẳng định b), c) là các mệnh đề chứa biến.
Bài tập 2 (Trang 14 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của chúng.
a) 2020 chia hết cho 3.
b) $\pi < 3,15.$
c) Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc Trung ương.
d) Tam giác có hai góc bằng $45^o$ là tam giác vuông cân.
Giải
a) Là mệnh đề sai.
Mệnh đề phủ định là: “2020 không chia hết cho 3”.
b) Là mệnh đề đúng.
Mệnh đề phủ định là: “$\pi \geq 3,15$”.
c) Là mệnh đề đúng. (Thời điểm năm 2022, nước ta có 5 thành phố trực thuộc Trung ương gồm: Hà Nội, Hải Phòng, Đà Nẵng, Thành phố Hồ Chí Minh, Cần Thơ. Tuy nhiên, về sau này, nếu có sự thay đổi thì mệnh đề sai.)
Mệnh đề phủ định là: “Nước ta hiện nay không phải có 5 thành phố trực thuộc Trung ương”.
d) Là mệnh đề đúng.
Mệnh đề phủ định là: “Tam giác có hai góc bằng $45^o$ không phải là tam giác vuông cân”.
Bài tập 3 (Trang 14 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xét hai mệnh đề:
$P:$ “Tứ giác ABCD là hình bình hành”;
$Q:$ “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.
a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và xét tính đúng sai của nó.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q.$
Giải
a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”. Đây là mệnh đề đúng.
b) Mệnh đề đảo là $Q\Rightarrow P:$ “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì nó là hình bình hành”.
Bài tập 4 (Trang 15 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho các định lý:
$P:$ “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”;
$Q:$ “Nếu $a<b$ thì $a+c<b+c$” ($a,b,c \in \mathbb{R}$).
a) Chỉ ra giả thiết và kết luận của mỗi định lý.
b) Phát biểu lại mỗi định lý đã cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”.
c) Mệnh đề đảo của mỗi định lý đó có là định lý không?
Giải
a) Giả thiết và kết luận của hai định lý như sau:
+) Trong định lý $P,$ giả thiết là: “Hai tam giác bằng nhau”, kết luận là: “Diện tích của hai tam giác đó bằng nhau”.
+) Trong định lý $Q,$ giả thiết là: “$a<b$”, kết luận là: “a+c<b+c”.
b)
+) Phát biểu định lý $P:$ “Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của hai tam giác đó bằng nhau” hoặc “Diện tích của hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau”.
+) Phát biểu định lý $Q:$ “$a<b$ là điều kiện đủ để $a+c<b+c$” hoặc “$a+c<b+c$ là điều kiện cần để $a<c$”.
c) Mệnh đề đảo của $P$ là: “Nếu diện tích của hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”. Đây là một mệnh đề sai nên không phải là một định lý.
Mệnh đề đảo của $Q$ là: “Nếu $a+c<b+c$ thì $a<b$”. Đây là một mệnh đề đúng nên là một định lý.
Bài tập 5 (Trang 15 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu lại các định lý sau:
a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.
b) Một hình bình hành là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại.
Giải
a) Điều kiện cần và đủ để một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là biệt thức của nó dương.
b) Để một hình bình hành là hình thoi, điều kiện cần và đủ là nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Bài tập 6 (Trang 15 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho các mệnh đề sau:
$P:$ “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”;
$Q:$ “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10”;
$R:$ “Có số thực $x$ sao cho $x^2+2x-1=0$”.
a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.
b) Sử dụng ký hiệu $\forall, \exists$ để viết lại các mệnh đề đã cho.
Giải
a) $P$ đúng. (Thật vậy, nếu số thực $x\geq 0$ thì $|x| = x;$ còn nếu số thực $x<0$ thì $|x|=-x>x).$
$Q$ sai. (vì $\sqrt{10}$ là một số vô tỷ).
$R$ đúng. (vì phương trình $x^2+2x-1=0$ có hai nghiệm phân biệt).
b) $P:$ “$\forall x \in \mathbb{R}, |x|\geq x$”.
$Q:$ “$\exists n \in \mathbb{N}, n^2 = 10$”.
$R:$ “$\exists x \in \mathbb{R}, x^2+2x-1=0$”.
Bài tập 7 (Trang 15 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây:
$$\mathbf{a)}\; \exists x\in\mathbb{N}, x+3=0.$$
$$\mathbf{b)}\; \forall x\in\mathbb{R}, x^2+1\geq 2x.$$
$$\mathbf{c)}\; \forall a\in\mathbb{R}, \sqrt{a^2}=a.$$
Giải
a) Phương trình $x+3=0$ có nghiệm duy nhất là $x=-3.$ Mà nghiệm này không phải là một số tự nhiên nên ta không có số tự nhiên $x$ nào thỏa mãn $x+3=0.$ Do đó, mệnh đề đã cho là mệnh đề sai.
Mệnh đề phủ định là: $\forall x \in \mathbb{N}, x+3\neq 0.$
b) Với mọi $x\in \mathbb{R},$ ta có $\left(x-1\right)^2 \geq 0$ nên $x^2+1 \geq 2x.$ Vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.
Mệnh đề phủ định là: $\exists x \in \mathbb{R}, x^2+1<2x.$
c) Chọn $a=-1$ thì $ \sqrt{a^2} = \sqrt{(-1)^2} = 1 \neq a.$ Do đó mệnh đề đã cho là mệnh đề sai.
Mệnh đề phủ định là: $\exists a\in\mathbb{R}, \sqrt{a^2}\neq a.$