Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 3 – Chương 1, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo.
Thực hành 1 (Trang 23 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xác định các tập hợp $A\cup B$ và $A\cap B,$ biết:
a) $A = \left\{ a; b; c; d; e\right\}$ và $B = \left\{ a; e; i; u\right\}.$
b) $A = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; x^2+2x-3=0 \right\}$ và $B = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; |x|=1\right\}.$
Giải
a) $A\cup B = \left\{a; b; c; d; e; i; u\right\}$; $A\cap B = \left\{a; e\right\}.$
b) Ta có: $A=\left\{ -3; 1\right\}$ và $B=\left\{ -1; 1\right\}.$ Từ đó ta có: $A\cup B = \left\{-3; 1; -1\right\}$; $A\cap B = \left\{1\right\}.$
Thực hành 2 (Trang 23 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho $A=\left\{ (x; y) \;|\; x,y\in\mathbb{R}, 3x-y=9\right\}$ và $B = \left\{ (x; y) \;|\; x,y\in\mathbb{R}, x-y=1\right\}.$
Hãy xác định $A\cap B.$
Giải
Nếu lấy bất kỳ $(x; y) \in A\cap B$ thì $(x; y) \in A$ và $(x; y) \in B.$
+) $(x; y)\in A$ thì thỏa mãn $3x-y=9.$
+) $(x; y)\in B$ thì thỏa mãn $x-y=1.$
Vậy $(x; y) \in A\cap B$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 3x-y=9 \\ x-y=1 \end{matrix} \right.$
Giải hệ ta được: $x=4; y=3.$
Vậy $A\cap B=\left\{(4; 3)\right\}.$
Vận dụng (Trang 23 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Tại vòng chung kết của một trò chơi trên truyền hình, có 100 khán giả tại trường quay có quyền bình chọn cho hai thí sinh A và B. Biết rằng có 85 khán giả bình chọn cho thí sinh A, 72 khán giả bình chọn cho thí sinh B và 60 khán giả bình chọn cho cả hai thí sinh này. Có bao nhiêu khán giả đã tham gia bình chọn? Có bao nhiêu khán giả không tham gia bình chọn?
Giải
Ký hiệu $E$ là tập hợp các khán giả bình chọn cho thí sinh A, và $F$ là tập hợp các khán giả bình chọn cho thí sinh B.
Theo đề bài, ta có: $n(E) = 85,$ $n(F) = 72,$ $n(E\cap F) = 60.$
Tập hợp các khán giả đã tham gia bình chọn chính là $E\cup F.$ Ta có:
$n(E\cup F) = n(E) + n(F) – n(E\cap F) = 85+72-60=97.$
Vậy có 97 khán giả đã tham gia bình chọn.
Suy ra số khán giả không tham gia bình chọn là: $100-97 = 3$ (khán giả).
Thực hành 3 (Trang 24 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho các tập hợp $E = \left\{ x\in\mathbb{N} \;|\; x<8\right\},$ $A=\left\{ 0; 1; 2; 3; 4\right\}$ và $B=\left\{3; 4; 5\right\}.$ Xác định các tập hợp sau đây:
a) $A\setminus B,$ $B\setminus A$ và $(A\setminus B)\cap (B\setminus A).$
b) $C_{E}(A\cap B)$ và $(C_{E}A) \cup (C_{E}B).$
c) $C_{E}(A\cup B)$ và $(C_{E}A) \cap (C_{E}B).$
Giải
a) $A\setminus B= \left\{ 0; 1; 2\right\},$ $B\setminus A=\left\{ 5\right\}.$ Từ đó ta cũng tìm được: $(A\setminus B)\cap (B\setminus A) = \varnothing .$
b) Ta có: $E=\left\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\right\}$ và $A\cap B=\left\{ 3; 4\right\}.$ Từ đó ta có: $C_{E}(A\cap B) = \left\{ 0; 1; 2; 5; 6; 7\right\}.$
Ta có: $C_{E}A = \left\{ 5; 6; 7\right\}$ và $C_{E}B=\left\{ 0; 1; 2; 6; 7\right\}.$ Từ đó ta có: $(C_{E}A) \cup (C_{E}B) = \left\{0; 1; 2; 5; 6; 7\right\}.$
b) Ta có: $E=\left\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\right\}$ và $A\cup B=\left\{0; 1; 2; 3; 4; 5\right\}.$ Từ đó ta có: $C_{E}(A\cup B) = \left\{6; 7\right\}.$
Ta có: $C_{E}A = \left\{ 5; 6; 7\right\}$ và $C_{E}B=\left\{ 0; 1; 2; 6; 7\right\}.$ Từ đó ta có: $ (C_{E}A) \cap (C_{E}B) = \left\{6; 7\right\}.$
Nhận xét
$C_{E}(A\cap B)=(C_{E}A) \cup (C_{E}B).$
$C_{E}(A\cup B)=(C_{E}A) \cap (C_{E}B).$
Thực hành 4 (Trang 25 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xác định các tập hợp sau đây:
$$\mathbf{a)}\; (1; 3) \cup [-2;2].$$
$$\mathbf{b)}\; (-\infty; 1) \cap [0;\pi].$$
$$\mathbf{c)}\; [\frac{1}{2}; 3) \setminus (1;+\infty).$$
$$\mathbf{d)}\; C_{\mathbb{R}}[-1; +\infty).$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; (1; 3) \cup [-2;2] = [-2; 3).$$
$$\mathbf{b)}\; (-\infty; 1) \cap [0;\pi] = [0; 1).$$
$$\mathbf{c)}\; [\frac{1}{2}; 3) \setminus (1;+\infty) = [\frac{1}{2}; 1].$$
$$\mathbf{d)}\; C_{\mathbb{R}}[-1; +\infty) = (-\infty ; -1).$$
Bài tập 1 (Trang 25 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xác định các tập hợp $A\cup B$ và $A\cap B,$ với:
a) $A$ = {đỏ; cam; vàng; lục; lam}, $B$ = {lục; lam; chàm; tím}.
b) $A$ là tập hợp các tam giác đều, $B$ là tập hợp các tam giác cân.
Giải
a) $A\cap B$ = {lục; lam},
$A\cup B$ = {đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím}.
b) Ta thấy $A\subset B.$ Từ đó ta có: $A\cap B=A$ và $A\cup B=B.$
Bài tập 2 (Trang 25 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xác định tập hợp $A\cap B$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $A=\left\{ x\in \mathbb{R} \;|\; x^2-2=0\right\},$ $B=\left\{x\in\mathbb{R} \;|\; 2x-1<0\right\}.$
b) $A=\left\{ (x; y) \;|\; x,y\in\mathbb{R}, y=2x-1\right\},$ $B=\left\{(x; y) \;|\; x,y\in\mathbb{R}, y=-x+5\right\}.$
c) $A$ là tập hợp các hình thoi, $B$ là tập hợp các hình chữ nhật.
Giải
a) $A = \left\{ -\sqrt{2}; \sqrt{2}\right\},$ $B=\left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; x<\frac{1}{2}\right\} = (-\infty ; \frac{1}{2}).$
Do đó: $A\cap B=\left\{ -\sqrt{2}\right\}.$
b) $A\cap B$ là tập nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} y=2x-1 \\ y=-x+5 \end{matrix} \right.$
Giải hệ phương trình trên ta được: $x=2; y=3.$
Vậy $A\cap B=\left\{(2; 3)\right\}.$
c) $A \cap B$ là tập hợp các hình vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật. Vậy đó là tập hợp các hình vuông.
Tóm lại, $A\cap B$ là tập hợp các hình vuông.
Bài tập 3 (Trang 25 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho $E=\left\{x\in\mathbb{N} \;|\; x<10\right\},$ $A=\left\{ x\in E \;|\; x \;là \;bội \;của \;3\right\},$ $B=\left\{ x\in E \;|\; x \;là \;ước \;của \;6\right\}.$
Xác định các tập hợp: $A\setminus B,$ $B\setminus A,$ $C_{E}A,$ $C_{E}B,$ $C_{E}(A\cup B),$ $C_{E}(A\cap B).$
Giải
Viết dưới dạng liệt kê các phần tử, ta được: $E = \left\{0; 1; 2; 3; …; 9\right\},$ $A = \left\{ 0; 3; 6; 9\right\},$ $B = \left\{1; 2; 3; 6\right\}.$
Từ đó ta xác định được: $A\setminus B = \left\{0; 9\right\},$ $B\setminus A = \left\{1; 2\right\},$ $C_{E}A = \left\{1; 2; 4; 5; 7; 8\right\},$ $C_{E}B = \left\{0; 4; 5; 7; 8; 9\right\}.$
Ta có: $A\cup B = \left\{0; 1; 2; 3; 6; 9\right\}.$
Từ đó ta xác định được: $C_{E}(A\cup B) = \left\{4; 5; 7; 8\right\}.$
Ta có:$A\cap B = \left\{3; 6\right\}.$
Từ đó ta xác định được: $C_{E}(A\cap B) = \left\{0; 1; 2; 4; 5; 7; 8; 9\right\}.$
Bài tập 4 (Trang 25 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho $A$ và $B$ là hai tập hợp bất kỳ. Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hãy giải thích bằng cách sử dụng biểu đồ Ven.
a) $A$ và $A \cup B.$
b) $A$ và $A\cap B.$
Giải
a) $A \subset (A \cup B).$
b) $(A\cap B) \subset A.$
Bài tập 5 (Trang 25 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Trong số 35 học sinh của lớp 10H, có 20 học sinh thích môn Toán, 16 học sinh thích môn Tiếng Anh và 12 học sinh thích cả hai môn này. Hỏi lớp 10H:
a) có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh?
b) có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn này?
Giải
Ký hiệu $A$ là tập hợp các học sinh lớp 10H thích môn Toán, $B$ là tập hợp các học sinh lớp 10H thích môn Tiếng Anh. Theo đề bài, ta có: $n(A) = 20,$ $n(B) = 16,$ $n(A\cap B) = 12.$
a) Số học sinh của lớp 10H thích ít nhất một trong hai môn này là:
$n(A\cup B) = n(A) + n(B) – n(A\cap B) = 20+16-12=24$
b) Trong số 35 học sinh của lớp 10H, có 24 học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Tiếng Anh. Vậy số học sinh lớp 10H không thích cả hai môn này là: $35-24=11$ (học sinh).
Bài tập 6 (Trang 25 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xác định các tập hợp sau đây:
$$\mathbf{a)}\; (-\infty; 0] \cup [-\pi ; \pi ],$$
$$\mathbf{b)}\; [-3,5; 2] \cap (-2; 3,5),$$
$$\mathbf{c)}\; (-\infty ; \sqrt{2}] \cap [1; +\infty),$$
$$\mathbf{d)}\; (-\infty ; \sqrt{2}] \setminus [1; +\infty).$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; (-\infty; 0] \cup [-\pi ; \pi ] = (-\infty ; \pi].$$
$$\mathbf{b)}\; [-3,5; 2] \cap (-2; 3,5) = (-2; 2].$$
$$\mathbf{c)}\; (-\infty ; \sqrt{2}] \cap [1; +\infty) = [1; \sqrt{2}].$$
$$\mathbf{d)}\; (-\infty ; \sqrt{2}] \setminus [1; +\infty) = (-\infty ; 1).$$
