Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 1, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo.
Bài tập 1 (Trang 27 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:
$$\mathbf{a)}\; \left\{a\right\} \in \left\{ a; b; c; d\right\};$$
$$\mathbf{b)}\; \varnothing = \left\{ 0\right\};$$
$$\mathbf{c)}\; \left\{a; b; c; d\right\} = \left\{ b; a; d; c\right\};$$
$$\mathbf{d)}\; \left\{a; b; c\right\} \not\subset \left\{ a; b; c\right\};$$
Giải
a) SAI. Vì $\left\{a\right\}$ là một tập hợp chứ không phải là phần tử. Cách viết đúng phải là: $\left\{a\right\} \subset \left\{a; b; c; s\right\}.$
b) SAI. Vì $\varnothing$ là tập hợp không có phần tử nào, còn $\left\{0\right\}$ thì có một phần tử là 0.
c) ĐÚNG. Vì mọi phần tử của tập hợp này đều là phần tử của tập hợp kia và ngược lại. (Mặt khác, theo nguyên tắc viết tập hợp dưới dạng liệt kê, các phần tử được viết với thứ tự tùy ý.)
d) SAI.
Bài tập 2 (Trang 27 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:
a) Nếu $2a-1>0$ thì $a>0$ ($a$ là số thực cho trước).
b) $a-2>b$ nếu và chỉ nếu $a>b+2$ ($a, b$ là hai số thực cho trước).
Giải
a) ĐÚNG.
b) ĐÚNG.
Bài tập 3 (Trang 27 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, phát biểu lại các định lý sau:
a) Nếu $B\subset A$ thì $A\cup B=A$ $(A, B$ là hai tập hợp).
b) Nếu hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình thoi.
Giải
a) $B \subset A$ là điều kiện đủ để $A\cup B = A.$
Hoặc: $A \cup B=A$ là điều kiện cần để $B \subset A.$
b) Hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện đủ để nó là hình thoi.
Hoặc: Hình bình hành ABCD là hình thoi là điều kiện cần để nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Bài tập 4 (Trang 27 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho định lý: “$\forall x\in\mathbb{R}, x\in \mathbb{Z}$ nếu và chỉ nếu $x+1\in\mathbb{Z}$”.
Phát biểu lại định lý này, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”.
Giải
“$\forall x\in\mathbb{R}, x\in \mathbb{Z}$ là điều kiện cần và đủ để $x+1\in\mathbb{Z}$”.
Bài tập 5 (Trang 27 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
$$\mathbf{a)}\; \forall x\in\mathbb{N}, x^3>x;$$
$$\mathbf{b)}\; \exists x\in\mathbb{Z}, x\notin \mathbb{N};$$
$\mathbf{c)}\; \forall x\in\mathbb{R},$ nếu $x\in\mathbb{Z}$ thì $x\in\mathbb{Q}.$
Giải
a) SAI. Vì có $x=1\in\mathbb{N}$ mà $x^3=x.$
b) ĐÚNG. Chẳng hạn có $x=-3\in\mathbb{Z}$ mà $-1\notin \mathbb{N}.$
c) ĐÚNG. Vì mỗi số nguyên cũng là số hữu tỷ.
Bài tập 6 (Trang 27 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Xét quan hệ bao hàm giữa các tập hợp dưới đây. Vẽ biểu đồ Ven để thể hiện các quan hệ bao hàm đó.
$A$ là tập hợp các hình tứ giác;
$B$ là tập hợp các hình bình hành;
$C$ là tập hợp các hình chữ nhật;
$D$ là tập hợp các hình vuông;
$E$ là tập hợp các hình thoi.
Giải
$D\subset E \subset B \subset A$ và $D \subset C \subset B\subset A.$
Bài tập 7 (Trang 27 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo)
a) Hãy viết tất cả các tập hợp con của tập hợp $A=\left\{a; b; c\right\}.$
b) Tìm tất cả các tập hợp $B$ thỏa mãn điều kiện $\left\{a; b\right\} \subset B \subset \left\{a; b; c; d\right\}.$
Giải
a) $\varnothing,$ $\left\{a\right\},$ $\left\{b\right\},$ $\left\{c\right\},$ $\left\{a; b\right\},$ $\left\{b; c\right\},$ $\left\{c; a\right\},$ $\left\{a; b; c\right\}.$
b) $\left\{a; b\right\},$ $\left\{a; b; c\right\},$ $\left\{a; b; d\right\},$ $\left\{a; b; c; d\right\}.$
Bài tập 8 (Trang 27 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho $A = \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; x^2-5x-6=0\right\}$ và $B = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; x^2=1\right\}.$
Tìm $A\cap B,$ $A\cup B,$ $A\setminus B,$ $B\setminus A.$
Giải
$A$ là tập nghiệm của phương trình $x^2-5x-6.$ Vậy $A = \left\{-1; 6\right\}.$
$B$ là tập nghiệm của phương trình $x^2=1.$ Vậy $B = \left\{-1; 1\right\}.$
Từ đó ta tìm được:
$$A\cap B = \left\{-1\right\}, A\cup B = \left\{-1; 1; 6\right\}, A\setminus B=\left\{6\right\}, B\setminus A = \left\{1\right\}.$$
Bài tập 9 (Trang 27 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho $A = \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; 1-2x\leq 0\right\}$ và $B = \left\{ x\in\mathbb{R} \;|\; x-2<0\right\}.$
Tìm $A\cap B, A\cup B.$
Giải
Giải bất phương trình $1-2x\leq 0$ ta được $x\geq \frac{1}{2}.$ Suy ra: $A = \left[\frac{1}{2}; +\infty\right).$
Giải bất phương trình $x-2<0$ ta được $x<2.$ Suy ra: $B= (-\infty; 2).$
Từ đó ta tìm được: $A\cap B = \left[ \frac{1}{2}; 2\right)$ và $A \cup B = \mathbb{R}.$
Bài tập 10 (Trang 27 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Lớp 10C có 45 học sinh, trong đó có 18 học sinh tham gia cuộc thi vẽ đồ họa trên máy tính, 24 học sinh tham gia cuộc thi tin học văn phòng cấp trường, và 9 học sinh không tham gia cả hai cuộc thi này. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp 10C tham gia đồng thời hai cuộc thi?
Giải
Ký hiệu $A, B$ lần lượt là tập hợp các học sinh của lớp 10C dự thi vẽ đồ họa trên máy tính và dự thi tin học văn phòng. Khi đó, $A\cap B$ là tập hợp các học sinh dự thi cả hai môn; $A \cup B$ là tập hợp các học sinh dự thi ít nhất một trong hai môn.
Theo đề bài, ta có: $n(A) =18,$ $n(B)=24,$ và $n(A\cup B) = 45 – 9=36.$
Ta có công thức: $n(A\cup B) = n(A) + n(B) – n(A\cap B) = 18+24-36=6.$
Vậy lớp 10C có 6 học sinh tham gia đồng thời cả hai học sinh.