Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 2 – Chương 2, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo.
Thực hành 1 (Trang 34 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Hãy chỉ ra hai nghiệm của mỗi hệ bất phương trình trong Ví dụ 1.
Giải
Hai nghiệm của hệ bất phương trình a) là: $(0; 0)$ và $(0; 1).$
Hệ b) không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hai nghiệm của hệ bất phương trình c) là: $(0; 0)$ và $(1; -1).$
Hai nghiệm của hệ bất phương trình d) là: $(0; 0)$ và $(0; 2).$
Thực hành 2 (Trang 35 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x+y\leq 8 \\ 2x + 3y \leq 18 \\ x\geq 0 \\y \geq 0 \end{matrix} \right.$$
Giải
+) Xác định miền nghiệm của $x+y \leq 8$
Vẽ đường thẳng $d_1 : x+y = 8$ đi qua hai điểm $(0; 8)$ và $(8; 0).$
Xét gốc tọa độ $O(0; 0).$ Ta thấy $0 + 0 < 8$ nên $O$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x + y \leq 8.$
Vậy miền nghiệm của bất phương trình $x+y\leq 8$ là nửa mặt phẳng (kể cả bờ $d_1)$ có chứa gốc tọa độ $O.$
+) Xác định miền nghiệm của $2x+3y \leq 18$
Vẽ đường thẳng $d_2 : 2x + 3y = 18$ đi qua hai điểm $(0; 6)$ và $(9; 0).$
Ta thấy $2\cdot 0 + 3\cdot 0 < 18$ nên gốc tọa độ $O$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x+3y \leq 18.$
Vậy miền nghiệm của bất phương trình $2x+3y \leq 18$ là nửa mặt phẳng (kể cả bờ $d_2)$ có chứa gốc tọa độ $O.$
+) Xác định miền nghiệm của $x\geq 0$
Miền nghiệm của bất phương trình $x\geq 0$ là nửa mặt phẳng chứa trục $Oy$ và phần phía bên phải trục $Oy.$
+) Xác định miền nghiệm của $y\geq 0$
Miền nghiệm của bất phương trình $y\geq 0$ là nửa mặt phẳng chứa trục $Ox$ và phần phía trên trục $Ox.$
$\Rightarrow$ Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trên (Phần không tô màu).
Vận dụng (Trang 37 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một người bán nước giải khát đang có $24\;g$ bột cam, $9\;l$ nước và $210\;g$ đường để pha chế hai loại nước cam A và B. Để pha chế $1\;l$ nước cam loại A cần $30\;g$ đường, $1\;l$ nước và $1\;g$ bột cam; để pha chế $1\;l$ nước cam loại B cần $10\;g$ đường, $1\;l$ nước và $4\;g$ bột cam. Mỗi lít nước cam loại A bán được $60$ nghìn đồng, mỗi lít nước cam loại B bán được $80$ nghìn đồng. Người đó nên pha chế bao nhiêu lít nước cam mỗi loại để có doanh thu cao nhất?
Giải
Gọi $x, y$ là số lít nước cam loại A và B người bán cần pha chế.
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với $x, y$ như sau:
+) Hiển nhiên $x\geq 0;$ $y\geq 0.$
+) Người bán đang có $24\;g$ bột cam nên: $x+4y \leq 24.$
+) có $9\;l$ nước nên: $x+y \leq 9.$
+) có $210\;g$ đường nên: $30x + 10y \leq 210.$ Điều này tương đương với: $3x + y \leq 21.$
Vậy ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc:
$$\left\{ \begin{matrix} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ x+4y \leq 24 \\ x+y \leq 9 \\ 3x + y \leq 21 \end{matrix}\right.$$
Miền nghiệm của hệ này là đa giác có tọa độ các đỉnh là $O(0; 0),$ $A(0; 6),$ $B(4; 5),$ $C(6; 3),$ $D(7; 0).$
Gọi $F$ là số tiền (đơn vị: nghìn đồng) người đó thu được. Ta có: $F = 60x + 80y.$ Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh, ta thấy $F$ đạt giá trị lớn nhất bằng $640$ (nghìn đồng) tại đỉnh $B(4; 5).$
Vậy người bán nên pha chế $4\;l$ nước cam loại A và $5\;l$ nước cam loại B để có doanh thu cao nhất.
Bài tập 1 (Trang 37 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau:
$$\mathbf{a)}\; \left\{ \begin{matrix} x+y-3\geq 0 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0; \end{matrix} \right.$$
$$\mathbf{b)}\; \left\{ \begin{matrix} x-2y < 0 \\ x+3y > -2 \\ y-x < 3 ; \end{matrix} \right.$$
$$\mathbf{c)}\; \left\{ \begin{matrix} x\geq 1 \\ x\leq 4 \\ x+y-5 \leq 0 \\ y \geq 0. \end{matrix} \right.$$
Giải
Bài tập 2 (Trang 38 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là A và B. Cứ sản xuất mỗi thùng loại A thì nhà máy thải ra $0,25\;kg$ khí carbon dioxide $(CO_2)$ và $0,6\;kg$ khí sulfur dioxide $(SO_2),$ sản xuất mỗi thùng loại B thì thải ra $0,5\;kg\; CO_2$ và $0,2\;kg\;SO_2.$ Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng $CO_2$ của nhà máy tối đa là $75\;kg$ và $SO_2$ tối đa là $90\;kg$ mỗi ngày.
a) Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ.
b) Việc nhà máy sản xuất $100$ thùng loại A và $80$ thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?
c) Việc nhà máy sản xuất $60$ thùng loại A và $160$ thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?
Giải
a) Gọi $x, y$ lần lượt là số thùng loại A và B mà nhà máy có thể sản xuất. Ta có các điều kiện ràng buộc đối với $x, y$ như sau:
+) Hiển nhiên $x\geq 0;$ $y\geq 0.$
+) Quy định hạn chế sản lượng $CO_2$ của nhà máy tối đa là $75\;kg$ nên: $0,25x + 0,5y \leq 75.$
+) Quy định hạn chế sản lượng $SO_2$ tối đa là $90\;kg$ nên: $0,6x + 0,2y \leq 90.$
Vậy ta có hệ bất phương trình mô tả số thùng mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế là:
$$\left\{ \begin{matrix} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ 0,25x + 0,5y \leq 75 \\ 0,6x + 0,2y \leq 90 \end{matrix} \right.$$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ như hình sau:
b) Điểm $M(100; 80)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó, nhà máy sản xuất $100$ thùng loại A và $80$ thùng loại B mỗi ngày là phù hợp với quy định.
c) Điểm $N(60; 160)$ không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó, nhà máy sản xuất $60$ thùng loại A và $160$ thùng loại B mỗi ngày là không phù hợp với quy định.
Bài tập 3 (Trang 38 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Bạn Lan thu xếp được không quá $10$ giờ để làm hai loại đèn trung thu tặng cho các trẻ em khuyết tật. Loại đèn hình con cá cần $2$ giờ để làm xong $1$ cái, còn loại đèn ông sao chỉ cần $1$ giờ để làm xong $1$ cái. Gọi $x,y$ lần lượt là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm. Hãy lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của $x, y$ và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
Giải
Thời gian để làm $x$ đèn hình con cá là $2x$ giờ. Thời gian để làm $y$ đèn ông sao là $y$ giờ. Do đó, tổng thời gian để bạn Lan làm đèn trung thu là $2x + y$ giờ.
Theo đề bài thì bạn Lan thu xếp được không quá $10$ giờ nên $2x+y \leq 10.$
Mặt khác, vì $x,y$ biểu thị số đèn trung thu nên $x\geq 0$ và $y\geq 0.$
Vậy ta có hệ bất phương trình mô tả điều kiện của $x, y$ là:
$$\left\{ \begin{matrix} 2x+y\leq 10 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{matrix} \right.$$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình như hình sau đây:
Bài tập 4 (Trang 38 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân làm bằng tay để bán trong một hội chợ Tết. Cần $2$ giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá $10$ nghìn đồng và $3$ giờ để vẽ một tấm thiệp loại lớn có giá $20$ nghìn đồng. Học sinh này chỉ có $30$ giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất $12$ tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.
Giải
Gọi $x, y$ lần lượt là số thiệp loại nhỏ và loại lớn vẽ được.
Ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc đối với $x, y:$
$$\left\{ \begin{matrix} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ 2x + 3y \leq 30 \\ x+y \geq 12 \end{matrix} \right.$$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh là: $A(12; 0);$ $B(15; 0);$ $C(6; 6).$
Gọi $F$ là số tiền bạn ấy thu được. Ta có $F = 10x + 20y.$ Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh, ta thấy $F$ đạt giá trị lớn nhất là $180$ tại đỉnh $C(6; 6).$
Vậy bạn ấy cần vẽ $6$ tấm thiệp loại nhỏ và $6$ tấm thiệp loại lớn để có được nhiều tiền nhất.
Bài tập 5 (Trang 38 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa $12$ giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn: đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao $350$ calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao $700$ calo với chi phí $50\;000$ đồng/giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không vượt quá $7\;000$ calo một tuần. Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai trường hợp sau:
a) Mạnh muốn chi phí luyện tập là ít nhất.
b) Mạnh muốn số calo tiêu hao là nhiều nhất.
Giải
Gọi $x$ là số giờ đạp xe và $y$ là số giờ tập tạ trong tuần.
Ta có hệ bất phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ x+y\leq 12 \\ 350x + 700y \leq 7\;000 \end{matrix} \right.$$
Biểu diễn miền nghiệm như hình sau:
Miền nghiệm là miền tứ giác với tọa độ các đỉnh là: $(0; 0);$ $(12; 0);$ $(4; 8);$ $(0; 10).$
a) Gọi $F$ là chi phí luyện tập. Ta có: $F =0x + 50000y.$ Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh, ta thấy $F$ đạt giá trị nhỏ nhất là $0$ tại đỉnh $(12;0).$
Vậy nếu Mạnh muốn chi phí là ít nhất thì nên đạp xe $12$ giờ và tập tạ $0$ giờ (tức là không tập tạ mà chỉ đạp xe).
b) Gọi $G$ là số calo tiêu hao. Ta có $G = 350x + 700y.$ Tính giá trị của $G$ tại các đỉnh, ta thấy $G$ đạt giá trị lớn nhất là $7\;000$ tại đỉnh $(4; 8)$ hoặc $(0; 10).$
Vậy muốn số calo tiêu hao là nhiều nhất, số giờ đạp xe là $4$ giờ và số giờ tập tạ là $8$ giờ, hoặc số giờ đạp xe là $0$ giờ và số giờ tập tạ là $10$ giờ.
Mở rộng
Nếu “Mạnh muốn số calo tiêu hao nhiều nhất, nhưng chi phí bỏ ra ít nhất” thì số giờ đạp xe và số giờ tập tạ là bao nhiêu?