Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 2, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo.
Bài tập 1 (Trang 39 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy:$
$$\mathbf{a)}\; -2x+y-1\leq 0;$$
$$\mathbf{b)}\; -x+2y>0;$$
$$\mathbf{c)}\; x-5y<2;$$
$$\mathbf{d)}\; -3x+y+2\leq 0;$$
$$\mathbf{e)}\; 3(x-1)+4(y-2)<5x-3.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; -2x+y-1\leq 0$$
$$\mathbf{b)}\; -x+2y>0$$
$$\mathbf{c)}\; x-5y<2$$
$$\mathbf{d)}\; -3x+y+2\leq 0$$
$$\mathbf{e)}\; 3(x-1)+4(y-2)<5x-3$$
$$\Leftrightarrow x -2y +4 > 0$$
Bài tập 2 (Trang 39 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy:$
$$ \begin{cases} x-2y > 0 \\ x+3y < 3. \end{cases} $$
Giải
Bài tập 3 (Trang 39 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III. Số ki-lô-gam dự trữ từng loại nguyên liệu và số ki-lô-gam từng loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất ra $1\;kg$ sản phẩm được cho trong bảng sau:
Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất? Biết rằng, mỗi ki-lô-gam sản phẩm loại A lãi $30$ triệu đồng, mỗi ki-lô-gam sản phẩm loại B lãi $50$ triệu đồng.
Giải
Gọi $x,y$ lần lượt là số ki-lô-gam sản phẩm loại A và loại B mà công ty đó sản xuất.
Ta có hệ bất phương trình sau:
$$\begin{cases} 2x+y\leq 8 \\ 4x + 4y \leq 24 \\ x+2y\leq 8 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0. \end{cases}$$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:
Miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ có tọa độ các đỉnh là: $O(0; 0),$ $A(4; 0),$ $B\left( \dfrac{8}{3}; \dfrac{8}{3}\right),$ $C(0; 4).$
Gọi $F$ là số tiền lãi thu về (đơn vị: triệu đồng). Ta có: $F = 30x + 50y.$
Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh, ta thấy $F$ đạt giá trị lớn nhất là khoảng $213,3$ triệu đồng tại đỉnh $B\left( \dfrac{8}{3}; \dfrac{8}{3}\right).$
Vậy công ty cần sản xuất $\dfrac{8}{3}\;kg$ sản phẩm A và $\dfrac{8}{3}\;kg$ sản phẩm B để tiền lãi thu về lớn nhất.
Bài tập 4 (Trang 39 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một công ty cần mua các tủ đựng hồ sơ. Có hai loại tủ: Tủ loại A chiếm $3\;m^2$ sàn, loại này có sức chứa $12\;m^3$ và có giá $7,5$ triệu đồng; tủ loại B chiếm $6\;m^2$ sàn, loại này có sức chứa $18\;m^3$ và có giá $5$ triệu đồng. Cho biết công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất là $60\;m^2$ mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ và ngân sách mua tủ không quá $60$ triệu đồng. Hãy lập kế hoạch mua sắm để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.
Giải
Gọi $x,y$ lần lượt là số tủ loại A và loại B mà công ty cần mua.
Công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất là $60\;m^2$ mặt bằng nên: $3x+6y \leq 60.$
Ngân sách mua tủ không quá $60$ triệu đồng nên: $7,5x + 5y \leq 60.$
Vì $x,y$ là số tủ nên: $x\geq 0$ và $y\geq 0.$
Vậy ta có hệ bất phương trình thể hiện các điều kiện ràng buộc đối với $x,y$ là:
$$\begin{cases} 3x+6y \leq 60 \\ 7,5x + 5y \leq 60 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}$$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được miền tứ giác $OABC$ có tọa độ các đỉnh là $O(0; 0),$ $A(0; 10),$ $B(2; 9),$ $C(8; 0).$
Gọi $F$ là thể tích đựng hồ sơ mà công ty sẽ có được. Ta có: $F = 12x+18y.$ Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh, ta thấy $F$ đạt giá trị lớn nhất là $186$ tại đỉnh $B(2; 9).$
Vậy công ty cần mua $2$ tủ loại A và $9$ tủ loại B để có thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.
Bài tập 5 (Trang 39 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một nông trại thu hoạch được $180\;kg$ cà chua và $15\;kg$ hành tây. Chủ nông trại muốn làm các hũ tương cà để bán. Biết rằng để làm ra một hũ tương cà loại A cần $10\;kg$ cà chua cùng với $1\;kg$ hành tây và khi bán lãi được $200$ nghìn đồng; còn để làm được một hũ tương cà loại B cần $5\;kg$ cà chua cùng với $0,25\;kg$ hành tây và khi bán lãi được $150$ nghìn đồng. Thăm dò thị hiếu của khách hàng cho thấy cần phải làm số hũ tương loại A ít nhất gấp $3,5$ lần số hũ tương loại B. Hãy giúp chủ nông trại lập kế hoạch làm tương cà để có được nhiều tiền lãi nhất.
Giải
Gọi $x, y$ là số hũ tương cà loại A và B mà chủ nông trại cần sản xuất. Ta có hệ bất phương trình sau:
$$\begin{cases} 10x+5y\leq 180 \\ x + 0,25y \leq 15 \\ x-3,5y \geq 0 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}$$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được miền tam giác $OAB$ có tọa độ các đỉnh là $O(0; 0),$ $A(14; 4),$ $B(15; 0).$
Gọi $F$ là số tiền lãi (đơn vị: nghìn đồng) thì $F = 200x + 150y.$ Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh, ta thấy $F$ đạt giá trị lớn nhất là $3,4$ (triệu đồng) tại đỉnh $B(14; 4).$
Vậy chủ nông trại cần sản xuất $14$ hũ tương cà loại A và $4$ hũ tương cà loại B để có nhiều tiền lãi nhất.
Bài tập 6 (Trang 39 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong $6$ giờ và dùng máy B trong $2$ giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong $2$ giờ và dùng máy B trong $2$ giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy A làm việc không quá $12$ giờ một ngày, máy B làm việc không quá $8$ giờ một ngày. Một tấn sản phẩm X lãi $10$ triệu đồng và một tấn sản phẩm Y lãi $8$ triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.
Giải
Gọi $x, y$ lần lượt là số tấn sản phẩm X, Y mà xưởng cần sản xuất. Ta có hệ bất phương trình sau:
$$\begin{cases} 6x+2y \leq 12 \\ 2x+2y \leq 8 \\ x\geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} $$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được miền tứ giác $OABC$ có tọa độ các đỉnh là $O(0; 0),$ $A(0; 4),$ $B(1; 3),$ $C(2; 0).$
Gọi $F$ là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thì $F = 10x + 8y.$ Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh, ta thấy $F$ đạt giá trị lớn nhất bằng $34$ (triệu đồng) tại đỉnh $B(1; 3).$
Vậy xưởng cần sản xuất mỗi ngày $1$ tấn sản phẩm X và $3$ tấn sản phẩm Y để có tổng số tiền lãi cao nhất.