Giải Toán 10 (t1) [Chương 3] Bài 1 – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ. (bộ Chân trời sáng tạo)

Giải

Bảng trên cho thấy mỗi thời điểm $t$ (giây) trong bảng, đều tương ứng với một giá trị $v$ (mét/giây) duy nhất. Vì vậy, bảng này biểu thị một hàm số.

Tập xác định của hàm số này là $D = \left\{ 0,5; 1; 1,2; 1,8; 2,5\right\}.$

Giải

a) Hàm số đã cho có nghĩa khi và chỉ khi $2x+7 \geq 0$ $\Leftrightarrow x\geq \dfrac{-7}{2}.$

Vậy tập xác định cần tìm là: $D = \left[\dfrac{-7}{2}; +\infty \right).$

b) Hàm số đã cho có nghĩa khi và chỉ khi $x^2 – 3x + 2 \neq 0$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x\neq 1 \\ x\neq 2 \end{cases}$

Vậy tập xác định cần tìm là: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{1; 2\right\}.$

Giải

a) Công thức của hàm số biểu thị diện tích bồn hoa theo bán kính $r$ là: $S = \dfrac{\pi r^2}{4}.$

Bán kính bồn hoa có kích thước từ $0,5\;m$ đến $3\;m$ nên tập xác định của hàm số này là: $D = [0,5; 3].$

b) Khi $S = 0,5\pi\;(m^2)$ thì $r = \sqrt{4S} = \sqrt{4\cdot 0,5} = \sqrt{2} \approx 1,4 \in D.$

Vậy bán kính bồn hoa là khoảng $1,4\;m$ thì diện tích bồn hoa là $0,5\pi\;m^2.$

Giải

Hàm số $f(x) = 3x+8$ là một hàm số bậc nhất nên đồ thị của nó là một đường thẳng. Do đó, muốn vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần chọn hai điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn $(0; 8)$ và $(-1; 5),$ rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm này.

Giải

a) Nhìn đồ thị (đường màu xanh) từ trái qua phải, nếu đồ thị đi lên thì hàm số đồng biến trong khoảng tương ứng trên trục $Ox,$ nếu đồ thị đi xuống thì hàm số nghịch biến trong khoảng tương ứng trên trục $Ox.$

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-3; 1)$ và $(3; 7).$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3).$

b) Xét $x_1, x_2 \in (2; 5)$ với $x_1 < x_2.$

Xét hiệu: $f(x_2) – f(x_1) = 5x_2^2 – 5x_1^2 = 5(x_2 – x_1)(x_2+x_1).$

Vì $x_1, x_2 \in (2; 5)$ với $x_1 < x_2$ nên $x_2 – x_1 > 0$ và $x_2+x_1 > 0.$

Suy ra: $f(x_2) – f(x_1) > 0$ $\Leftrightarrow f(x_2) > f(x_1).$

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(2; 5).$

Giải

a) $ \sqrt{-5x+3} $ có nghĩa khi và chỉ khi $-5x+3 \geq 0$ $\Leftrightarrow x \leq \dfrac{3}{5}.$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = \left(-\infty ; \dfrac{3}{5}\right].$

b) $ 2 + \dfrac{1}{x+3}$ có nghĩa khi và chỉ khi $x+3\neq 0$ $\Leftrightarrow x \neq -3.$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-3 \right\}.$

Giải

Tập xác định: $D = [-1; 9].$ (Nhìn trục $Ox$ để tìm tập xác định.)

Tập giá trị: $T = [-2; 6].$ (Nhìn trục $Oy$ để tìm tập giá trị.)

Giải

a) $f(x) = -5x+2$ là hàm bậc nhất có $a = -5 < 0$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}.$

b) $f(x) = -x^2$ là hàm bậc hai đơn giản có $a = -1 < 0$ nên đồng biến trên $(-\infty ; 0)$ và nghịch biến trên $(0; +\infty).$

Giải

Khi $x\geq 0$ thì đồ thị hàm số $f(x) = |x|$ là một phần của đường thẳng $y = x.$

Khi $x < 0$ thì đồ thị hàm số $f(x) = |x|$ là một phần đường thẳng $y = -x.$

Giải

Khi $x< 0$ thì hàm số luôn có giá trị bằng $-1,$ khi $x>0$ thì hàm số luôn có giá trị bằng $1;$ hàm số không xác định (được) khi $x = 0.$

Do đó:

– Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{0\right\}.$

– Tập giá trị: $T = \left\{-1; 1\right\}.$

– Đồ thị:

Giải

a) Gọi $x$ là số ki-lô-mét hành khách di chuyển $(x\geq 0).$

i) Đối với xe taxi $4$ chỗ:

• Nếu $0\leq x \leq 0,5,$ số tiền phải trả là $11\;000$ đồng;
• Nếu $0,5 < x \leq 30,$ số tiền phải trả là $11\;000 + 14\;500(x-0,5)$ hay $3\;750 +14\;500x.$
• Nếu $x> 30,$ số tiền phải trả là $11\;000 + 14\;500\cdot (30-0,5) + 11\;600(x-30)$ hay $90\;750 + 11\;600x.$

Vậy $f(x) = \begin{cases} 11\;000 \;\;\; với \; 0\leq x\leq 0,5 \\ 3\;750+14\;500x \;\;\; với \; 0,5 < x\leq 30 \\ 90\;750+11\;600x \;\;\; với \; x>30 \end{cases}.$

i) Tương tự đối với xe taxi $7$ chỗ, ta có: $g(x) = \begin{cases} 11\;000 \;\;\; với \; 0\leq x\leq 0,5 \\ 3\;250 +15\;500x \;\;\; với \; 0,5 < x\leq 30 \\ 60\;250 + 13\;600x \;\;\; với \; x>30 \end{cases}.$

b) Khi có $30$ hành khách, nếu đặt toàn bộ xe $4$ chỗ thì cần đặt $8$ xe, và số tiền taxi phải trả là: $f_1(x) = \begin{cases} 8\cdot 11\;000 \;\;\; với \; 0\leq x\leq 0,5 \\ 8\cdot (3\;750+14\;500x) \;\;\; với \; 0,5 < x\leq 30 \\ 8\cdot(90\;750+11\;600x) \;\;\; với \; x>30 \end{cases}.$

Nếu đặt toàn bộ xe $7$ chỗ thì cần đặt $5$ xe, và số tiền taxi phải trả là: $g_1(x) = \begin{cases} 5\cdot 11\;000 \;\;\; với \; 0\leq x\leq 0,5 \\ 5\cdot(3\;250 +15\;500x) \;\;\; với \; 0,5 < x\leq 30 \\ 5\cdot(60\;250 + 13\;600x) \;\;\; với \; x>30 \end{cases}.$

Ta cần so sánh $f_1(x)$ với $g_1(x).$

Xét hiệu $f_1(x) – g_1(x).$

+) Khi $ 0\leq x\leq 0,5 ,$ ta có:

$f_1(x) – g_1(x)$ $= 8\cdot 11\;000 – 5\cdot 11\;000$ $= 33\;000 > 0.$

Do đó $f_1(x) > g_1(x).$

Nghĩa là khi $30$ người di chuyển quãng đường ít hơn hoặc bằng $0,5\;km$ thì đi xe $4$ chỗ tốn nhiều tiền hơn đi xe $7$ chỗ.

+) Khi $ 0,5 < x\leq 30 ,$ ta có:

$f_1(x) – g_1(x)$ $= 8\cdot (3\;750+14\;500x) – 5\cdot(3\;250 +15\;500x)$ $= 13\;750 +38\;500x.$

Vì $x> 0,5 > 0$ nên $f_1(x) – g_1(x) > 0.$ Suy ra: $f_1(x) > g_1(x).$

Nghĩa là khi $30$ người di chuyển quãng đường từ trên $0,5\;km$ đến $30\;km$ thì đi xe $4$ chỗ tốn nhiều tiền hơn đi xe $7$ chỗ.

+) Khi $ x>30 ,$ ta có:

$f_1(x) – g_1(x)$ $= 8\cdot(90\;750+11\;600x) – 5\cdot(60\;250 + 13\;600x)$ $= 424\;750 + 24\;800x.$

Vì $x>30>0$ nên $f_1(x) – g_1(x) > 0.$ Suy ra: $f_1(x) > g_1(x).$

Nghĩa là khi $30$ người di chuyển quãng đường trên $30\;km$ thì đi xe $4$ chỗ tốn nhiều tiền hơn đi xe $7$ chỗ.

Như vậy, trong cả ba trường hợp, ta thấy rằng đặt xe $7$ chỗ có lợi hơn đặt xe $4$ chỗ cho $30$ người.

Giải

Số $x$ qua máy bình phương thì biến đổi thành $x^2.$

Số $x^2$ qua máy tăng gấp ba lần thì biến đổi thành $3x^2.$

Số $3x^2$ qua máy lấy bớt đi 5 thì biến đổi thành $3x^2-5.$

Vậy $f(x) = 3x^2-5.$