Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 1 – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ $0^o$ ĐẾN $180^o$ (bộ Chân trời sáng tạo)

Giải

Lấy điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = 135^o.$

Khi đó: $\widehat{MOy} = 135^o – 90^o = 45^o.$

Gọi $N, P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $Ox, Oy.$

Tam giác $OMP$ vuông tại $P$ nên:

$$OP = OM \cdot cos \widehat{MOP}$$

$$\;\;\;\; = 1\cdot cos\;45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Suy ra tung độ của điểm $M$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}.$

$$MP = OM \cdot sin\widehat{MOP}$$

$$\;\;\;\; = 1 \cdot sin\;45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Tứ giác $OPMN$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Do đó, $ON = MP = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Mà điểm $M$ nằm phía bên trái trục $Oy$ nên hoành độ của nó là $-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Tóm lại, tọa độ của điểm $M$ là $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

Vậy theo định nghĩa, ta có:

$$sin\;135^o = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

$$cos\;135^o = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$

$$tan\;135^o = \frac{sin\;135^o}{cos\;135^o} = -1;$$

$$cot\;135^o = \frac{cos\;135^o}{sin\;135^o} = -1.$$

Giải

$$sin\;120^o = sin(180^o – 60^o)$$

$$\;\;\;\; = sin\;60^o = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

$$cos\;150^o = cos(180^o – 30^o)$$

$$\;\;\;\; = -cos\;30^o = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

$$cot\;135^o = cot(180^o – 45^o)$$

$$\;\;\;\; = -cot\;45^o = -1.$$

Giải

Trên trục $Oy,$ lấy điểm $P\left(0; \frac{1}{2}\right).$

Từ $P,$ kẻ đường thẳng song song với trục $Ox$ và cắt nửa đường tròn tại $M_1$ và $M_2$ (như hình vẽ).

Khi đó, tung độ của $M_1$ và $M_2$ đều bằng $\frac{1}{2}.$ Do đó, $sin\;\widehat{xOM_1} = sin\;\widehat{xOM_2} = \frac{1}{2}.$

Vậy $\alpha = \widehat{xOM_1}$ hoặc $\alpha = \widehat{xOM_2}.$

Tam giác $OPM_1$ vuông tại $P$ nên:

$$cos\;\widehat{POM_1} = \frac{OP}{OM_1}$$

$$\;\;\;\; = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}.$$

Do đó: $\widehat{POM_1} = 60^o.$

Suy ra:

$$\widehat{xOM_1} = \widehat{POM_1} + 90^o$$

$$\;\;\;\; = 60^o + 90^o = 150^o.$$

Tam giác $POM_2$ vuông tại $P$ nên:

$$cos\;\widehat{POM_2} = \frac{PO}{OM_2}$$

$$\;\;\;\; = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}.$$

Do đó: $\widehat{POM_2} = 60^o.$

Suy ra:

$$\widehat{xOM_2} = 90^o – 60^o = 30^o.$$

Tóm lại: $\alpha = 150^o$ hoặc $\alpha = 30^o.$

Giải

$$A = sin\;150^o + tan\;135^o + cot\;45^o$$

$$\;\;\;\; = sin\;30^o – tan\;45^o + cot\;45^o$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2} – 1 + 1$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}.$$

$$B = 2cos\;30^o -3tan\;150^o + cot\;135^o$$

$$\;\;\;\; = 2cos\;30^o + 3tan\;30^o – cot\;45^o$$

$$\;\;\;\; = 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} – 1$$

$$\;\;\;\; = \sqrt{3} + \sqrt{3} – 1$$

$$\;\;\;\; = 2\sqrt{3} – 1.$$

Giải

Tra bảng “Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt” (Trang 63 / SGK)!

$$\mathbf{a)}\; sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$\alpha = 60^o$ hoặc $\alpha = 120^o.$

$$\mathbf{b)}\; cos\alpha = \frac{-\sqrt{2}}{2}$$

$\alpha = 135^o.$

$$\mathbf{c)}\; tan\alpha = -1$$

$\alpha = 135^o.$

$$\mathbf{d)}\; cot\alpha = -\sqrt{3}$$

$\alpha = 150^o.$

Giải

a) Dùng máy tính cầm tay, ta tính được:

$cos\; 80^o 43′ 51″ \approx 0,161$

$tan\; 147^o 12’25” \approx -0,644$

Máy tính cầm tay thường không có phím $cot$ nên để tính $cot\;\alpha,$ ta tính $tan\;\alpha$ rồi nghịch đảo kết quả để được $cot\;\alpha.$ Bởi vì: $cot\; \alpha = \frac{1}{tan\;\alpha}.$

Bấm máy tính cầm tay, ta tính được: $tan\;99^o 9’19” \approx -6,204869911$

Do đó:

$cot\; 99^o 9′ 19″ = \frac{1}{tan\;99^o 9′ 19″} \approx -0,161$

b) $\alpha \approx 136^o 18’10”.$

Giải

Ta có:

$cos\;30^o = sin\;60^o = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì $30^o + 60^o = 90^o)$

$sin\;150^o = sin\;30^o = \frac{1}{2}$ (vì $150^o + 30^o = 180^o)$

$tan\;135^o = -tan\;45^o = -1$ (vì $135^o + 45^o = 180^o)$

Do đó:

$$E = 2cos\;30^o + sin\;150^o + tan\;135^o$$

$$\;\;\;\; = 2\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + (-1)$$

$$\;\;\;\; = \sqrt{3} – \frac{1}{2}.$$

Giải

a) Vì $20^o + 160^o = 180^o$ nên $sin\;20^o = sin\;160^o$

(Giá trị lượng giác (sin) của hai góc bù nhau).

b) Vì $50^o + 130^o = 180^o$ nên $cos\;50^o = -cos\;130^o.$

(Giá trị lượng giác (cos) của hai góc bù nhau).

Giải

a) $cos\;\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\alpha = 135^o.$

b) $sin\;\alpha = 0$

$\alpha = 0^o$ hoặc $\alpha = 180^o.$

c) $tan\;\alpha = 1$

$\alpha = 45^o.$

d) $cot\;\alpha$ không xác định

$\alpha = 0^o$ hoặc $\alpha = 180^o.$

Giải

Đặt $X = B+C.$

Ta có: $A + B + C = 180^o$ (Tổng ba góc của một tam giác)

Do đó: $A + X = 180^o.$

Vậy $A$ và $X$ là hai góc bù nhau.

a) Vì $A$ và $X$ là hai góc bù nhau nên $sin\; A = sin\;X.$

Tức là: $sin\;A = sin(B+C)$

b) Vì $A$ và $X$ là hai góc bù nhau nên: $cos\;A = -cos\;X.$

Tức là: $cos\;A = -cos(B+C)$

Giải

a) Lấy điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha.$

+) Nếu $M \in Ox$ (lúc này $\alpha = 0^o$ hoặc $\alpha = 180^o)$ thì $cos\;\alpha = \pm 1$ và $sin\;alpha = 0.$ Do đó, $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$

+) Nếu $M \in Oy$ (lúc này $\alpha = 90^o)$ thì $cos\;\alpha = 0$ và $sin\;alpha = 1.$ Do đó, $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$

+) Nếu $M$ không thuộc cả hai trục tọa độ $Ox, Oy$ (lúc này $\alpha$ là góc nhọn hoặc góc tù): Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $Ox, Oy.$ Tứ giác $OHMK$ là hình chữ nhật có $OM$ là đường chéo nên: $OK^2 + OH^2 = OM^2 = 1.$

Mặt khác, ta có: $OK^2 = sin^2\alpha $ và $OH^2 = cos^2\alpha .$

Do đó: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$

Tóm lại, với $0^o \leq \alpha \leq 180^o$ thì $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$

b) Ta có: $tan\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}$ và $cot\;alpha = \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha}.$ Do đó:

$$tan\;\alpha \cdot cot\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha} \cdot \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha} = 1.$$

c) Ta có:

$$1+tan^2\alpha = 1 + \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$$

$$\;\;\;\; = \frac{cos^2\alpha + sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{cos^2\alpha}$$

(Trong đó, theo kết quả ở câu a), ta có: $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1)$

d) Tương tự câu c), ta có:

$$1 + cot^2\alpha = 1 + \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$$

$$\;\;\;\; = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{sin^2\alpha}.$$

Hướng dẫn

Có hai cách làm:

Cách 1: Dựa vào điều kiện $cos\;\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2},$ ta tính được: $\alpha = 135^o.$ Rồi từ đó suy ra: $sin\;\alpha = sin\;135^o = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Thay các giá trị $sin\;\alpha$ và $cos\;\alpha$ vào biểu thức $A$ để tính giá trị của nó.

Cách 2: (Áp dụng kết quả đã chứng minh ở Bài tập 5) Ta có: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$ Vậy ta cần tách – nhóm các số hạng trong biểu thức $A$ để xuất hiện $sin^2\alpha + cos^2\alpha.$

Ta có: $A = 2sin^2\alpha + 5cos^2\alpha = 2(sin^2\alpha + cos^2\alpha) + 3cos^2\alpha.$

Giải

Cách 1: Vì $cos\;\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\alpha = 135^o.$ Do đó: $sin\;\alpha = sin\;135^o = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Vậy:

$$A = 2sin^2\alpha + 5cos^2\alpha $$

$$\;\;\;\; = 2\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + 5 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$

$$\;\;\;\; = 2\cdot \frac{1}{2} + 5\cdot \frac{1}{2}$$

$$\;\;\;\; = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}.$$

Cách 2: Ta có: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$ Do đó:

$$A = 2sin^2\alpha + 5cos^2\alpha $$

$$\;\;\;\; = 2sin^2\alpha + (2cos^2\alpha + 3\cos^2\alpha)$$

$$\;\;\;\; = 2(sin^2\alpha + cos^2\alpha) + 3cos^2\alpha$$

$$\;\;\;\; = 2\cdot 1 + 3\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$

$$\;\;\;\; = 2 + 3 \cdot \frac{1}{2}$$

$$\;\;\;\; = \frac{7}{2}.$$

Giải

a)

$sin\; 168^o 45′ 33″ \approx 0,195;$

$cos\; 17^o 22′ 35″ \approx 0,954;$

$tan\; 156^o 26′ 39″ \approx -0,436;$

$cot\; 56^o 36′ 42″ \approx 0,659.$

b)

i) $sin\; \alpha = 0,862$ $\Rightarrow \alpha \approx 59^o 32′ 31″$ hoặc $\alpha \approx 120^o 27′ 29″.$

ii) $cos\;\alpha = -0,567$ $\Rightarrow \alpha \approx 124^o 32′ 29″.$

iii) $tan\;\alpha = 0,334$ $\Rightarrow \alpha \approx 18^o 28′ 10″.$