Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 1 – Chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo.
Thực hành 1 (Trang 62 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Tìm các giá trị lượng giác của góc $135^o.$
Giải

Lấy điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = 135^o.$
Khi đó: $\widehat{MOy} = 135^o – 90^o = 45^o.$
Gọi $N, P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $Ox, Oy.$
Tam giác $OMP$ vuông tại $P$ nên:
$$OP = OM \cdot cos \widehat{MOP}$$
$$\;\;\;\; = 1\cdot cos\;45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Suy ra tung độ của điểm $M$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}.$
$$MP = OM \cdot sin\widehat{MOP}$$
$$\;\;\;\; = 1 \cdot sin\;45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Tứ giác $OPMN$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Do đó, $ON = MP = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
Mà điểm $M$ nằm phía bên trái trục $Oy$ nên hoành độ của nó là $-\frac{\sqrt{2}}{2}.$
Tóm lại, tọa độ của điểm $M$ là $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$
Vậy theo định nghĩa, ta có:
$$sin\;135^o = \frac{\sqrt{2}}{2};$$
$$cos\;135^o = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$
$$tan\;135^o = \frac{sin\;135^o}{cos\;135^o} = -1;$$
$$cot\;135^o = \frac{cos\;135^o}{sin\;135^o} = -1.$$
Thực hành 2 (Trang 63 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Tính các giá trị lượng giác: $sin\;120^o; cos\;150^o; cot\;135^o.$
Giải
$$sin\;120^o = sin(180^o – 60^o)$$
$$\;\;\;\; = sin\;60^o = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$
$$cos\;150^o = cos(180^o – 30^o)$$
$$\;\;\;\; = -cos\;30^o = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
$$cot\;135^o = cot(180^o – 45^o)$$
$$\;\;\;\; = -cot\;45^o = -1.$$
Vận dụng 1 (Trang 63 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho biết $sin\;\alpha = \frac{1}{2}.$ Tìm góc $\alpha \;\;(0^o \leq \alpha \leq 180^o)$ bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.
Giải

Trên trục $Oy,$ lấy điểm $P\left(0; \frac{1}{2}\right).$
Từ $P,$ kẻ đường thẳng song song với trục $Ox$ và cắt nửa đường tròn tại $M_1$ và $M_2$ (như hình vẽ).
Khi đó, tung độ của $M_1$ và $M_2$ đều bằng $\frac{1}{2}.$ Do đó, $sin\;\widehat{xOM_1} = sin\;\widehat{xOM_2} = \frac{1}{2}.$
Vậy $\alpha = \widehat{xOM_1}$ hoặc $\alpha = \widehat{xOM_2}.$
Tam giác $OPM_1$ vuông tại $P$ nên:
$$cos\;\widehat{POM_1} = \frac{OP}{OM_1}$$
$$\;\;\;\; = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}.$$
Do đó: $\widehat{POM_1} = 60^o.$
Suy ra:
$$\widehat{xOM_1} = \widehat{POM_1} + 90^o$$
$$\;\;\;\; = 60^o + 90^o = 150^o.$$
Tam giác $POM_2$ vuông tại $P$ nên:
$$cos\;\widehat{POM_2} = \frac{PO}{OM_2}$$
$$\;\;\;\; = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}.$$
Do đó: $\widehat{POM_2} = 60^o.$
Suy ra:
$$\widehat{xOM_2} = 90^o – 60^o = 30^o.$$
Tóm lại: $\alpha = 150^o$ hoặc $\alpha = 30^o.$
Thực hành 3 (Trang 63 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Tính:
$$A = sin\;150^o + tan\;135^o + cot\;45^o;$$
$$B = 2cos\;30^o -3tan\;150^o + cot\;135^o.$$
Giải
$$A = sin\;150^o + tan\;135^o + cot\;45^o$$
$$\;\;\;\; = sin\;30^o – tan\;45^o + cot\;45^o$$
$$\;\;\;\; = \frac{1}{2} – 1 + 1$$
$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}.$$
$$B = 2cos\;30^o -3tan\;150^o + cot\;135^o$$
$$\;\;\;\; = 2cos\;30^o + 3tan\;30^o – cot\;45^o$$
$$\;\;\;\; = 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} – 1$$
$$\;\;\;\; = \sqrt{3} + \sqrt{3} – 1$$
$$\;\;\;\; = 2\sqrt{3} – 1.$$
Vận dụng 2 (Trang 64 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Tìm góc $\alpha \;\;(0^o \leq \alpha \leq 180^o)$ trong mỗi trường hợp sau:
$$\mathbf{a)}\; sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2};$$
$$\mathbf{b)}\; cos\alpha = \frac{-\sqrt{2}}{2};$$
$$\mathbf{c)}\; tan\alpha = -1;$$
$$\mathbf{d)}\; cot\alpha = -\sqrt{3}.$$
Giải
Tra bảng “Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt” (Trang 63 / SGK)!
$$\mathbf{a)}\; sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$\alpha = 60^o$ hoặc $\alpha = 120^o.$
$$\mathbf{b)}\; cos\alpha = \frac{-\sqrt{2}}{2}$$
$\alpha = 135^o.$
$$\mathbf{c)}\; tan\alpha = -1$$
$\alpha = 135^o.$
$$\mathbf{d)}\; cot\alpha = -\sqrt{3}$$
$\alpha = 150^o.$
Thực hành 4 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo)
a) Tính $cos\; 80^o 43’51”;$ $tan\; 147^o 12’25”;$ $cot\; 99^o 9’19”.$
b) Tìm $\alpha \;(0^o \leq \alpha \leq 180^o),$ biết $cos\; \alpha = -0,723.$
Giải
a) Dùng máy tính cầm tay, ta tính được:
$cos\; 80^o 43′ 51″ \approx 0,161$
$tan\; 147^o 12’25” \approx -0,644$
Máy tính cầm tay thường không có phím $cot$ nên để tính $cot\;\alpha,$ ta tính $tan\;\alpha$ rồi nghịch đảo kết quả để được $cot\;\alpha.$ Bởi vì: $cot\; \alpha = \frac{1}{tan\;\alpha}.$
Bấm máy tính cầm tay, ta tính được: $tan\;99^o 9’19” \approx -6,204869911$
Do đó:
$cot\; 99^o 9′ 19″ = \frac{1}{tan\;99^o 9′ 19″} \approx -0,161$
b) $\alpha \approx 136^o 18’10”.$
Bài tập 1 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho biết $sin\;30^o = \frac{1}{2};$ $sin\;60^o = \frac{\sqrt{3}}{2};$ $tan\;45^o = 1.$ Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của $E = 2cos\;30^o + sin\;150^o + tan\;135^o.$
Giải
Ta có:
$cos\;30^o = sin\;60^o = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì $30^o + 60^o = 90^o)$
$sin\;150^o = sin\;30^o = \frac{1}{2}$ (vì $150^o + 30^o = 180^o)$
$tan\;135^o = -tan\;45^o = -1$ (vì $135^o + 45^o = 180^o)$
Do đó:
$$E = 2cos\;30^o + sin\;150^o + tan\;135^o$$
$$\;\;\;\; = 2\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + (-1)$$
$$\;\;\;\; = \sqrt{3} – \frac{1}{2}.$$
Bài tập 2 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Chứng minh rằng:
$$\mathbf{a)}\; sin\;20^o = sin\;160^o;$$
$$\mathbf{b)}\; cos\;50^o = -cos\;130^o.$$
Giải
a) Vì $20^o + 160^o = 180^o$ nên $sin\;20^o = sin\;160^o$
(Giá trị lượng giác (sin) của hai góc bù nhau).
b) Vì $50^o + 130^o = 180^o$ nên $cos\;50^o = -cos\;130^o.$
(Giá trị lượng giác (cos) của hai góc bù nhau).
Bài tập 3 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Tìm góc $\alpha \;\;(0^o \leq \alpha \leq 180^o)$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $cos\;\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2};$
b) $sin\;\alpha = 0;$
c) $tan\;\alpha = 1;$
d) $cot\;\alpha$ không xác định.
Giải
a) $cos\;\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\alpha = 135^o.$
b) $sin\;\alpha = 0$
$\alpha = 0^o$ hoặc $\alpha = 180^o.$
c) $tan\;\alpha = 1$
$\alpha = 45^o.$
d) $cot\;\alpha$ không xác định
$\alpha = 0^o$ hoặc $\alpha = 180^o.$
Bài tập 4 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng:
$$\mathbf{a)}\; sin\;A = sin(B+C);$$
$$\mathbf{b)}\; cos\;A = -cos(B+C).$$
Giải
Đặt $X = B+C.$
Ta có: $A + B + C = 180^o$ (Tổng ba góc của một tam giác)
Do đó: $A + X = 180^o.$
Vậy $A$ và $X$ là hai góc bù nhau.
a) Vì $A$ và $X$ là hai góc bù nhau nên $sin\; A = sin\;X.$
Tức là: $sin\;A = sin(B+C)$
b) Vì $A$ và $X$ là hai góc bù nhau nên: $cos\;A = -cos\;X.$
Tức là: $cos\;A = -cos(B+C)$
Bài tập 5 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Chứng minh rằng với mọi góc $\alpha\;\; (0^o\leq \alpha \leq 180^o),$ ta đều có:
a) $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1;$
b) $tan\;\alpha \cdot cot\;\alpha = 1$ $(0^o < \alpha < 180^o, \alpha \neq 90^o);$
c) $1+ tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$ $(\alpha \neq 90^o);$
d) $1+cot^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$ $(0^o < \alpha < 180^o).$
Giải
a) Lấy điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha.$

+) Nếu $M \in Ox$ (lúc này $\alpha = 0^o$ hoặc $\alpha = 180^o)$ thì $cos\;\alpha = \pm 1$ và $sin\;alpha = 0.$ Do đó, $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$
+) Nếu $M \in Oy$ (lúc này $\alpha = 90^o)$ thì $cos\;\alpha = 0$ và $sin\;alpha = 1.$ Do đó, $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$
+) Nếu $M$ không thuộc cả hai trục tọa độ $Ox, Oy$ (lúc này $\alpha$ là góc nhọn hoặc góc tù): Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $Ox, Oy.$ Tứ giác $OHMK$ là hình chữ nhật có $OM$ là đường chéo nên: $OK^2 + OH^2 = OM^2 = 1.$
Mặt khác, ta có: $OK^2 = sin^2\alpha $ và $OH^2 = cos^2\alpha .$
Do đó: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$
Tóm lại, với $0^o \leq \alpha \leq 180^o$ thì $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$
b) Ta có: $tan\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}$ và $cot\;alpha = \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha}.$ Do đó:
$$tan\;\alpha \cdot cot\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha} \cdot \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha} = 1.$$
c) Ta có:
$$1+tan^2\alpha = 1 + \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$$
$$\;\;\;\; = \frac{cos^2\alpha + sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$$
$$\;\;\;\; = \frac{1}{cos^2\alpha}$$
(Trong đó, theo kết quả ở câu a), ta có: $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1)$
d) Tương tự câu c), ta có:
$$1 + cot^2\alpha = 1 + \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$$
$$\;\;\;\; = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$$
$$\;\;\;\; = \frac{1}{sin^2\alpha}.$$
Bài tập 6 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho góc $\alpha$ với $cos\;\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Tính giá trị của biểu thức: $A = 2sin^2\alpha + 5cos^2\alpha.$
Hướng dẫn
Có hai cách làm:
Cách 1: Dựa vào điều kiện $cos\;\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2},$ ta tính được: $\alpha = 135^o.$ Rồi từ đó suy ra: $sin\;\alpha = sin\;135^o = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
Thay các giá trị $sin\;\alpha$ và $cos\;\alpha$ vào biểu thức $A$ để tính giá trị của nó.
Cách 2: (Áp dụng kết quả đã chứng minh ở Bài tập 5) Ta có: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$ Vậy ta cần tách – nhóm các số hạng trong biểu thức $A$ để xuất hiện $sin^2\alpha + cos^2\alpha.$
Ta có: $A = 2sin^2\alpha + 5cos^2\alpha = 2(sin^2\alpha + cos^2\alpha) + 3cos^2\alpha.$
Giải
Cách 1: Vì $cos\;\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\alpha = 135^o.$ Do đó: $sin\;\alpha = sin\;135^o = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
Vậy:
$$A = 2sin^2\alpha + 5cos^2\alpha $$
$$\;\;\;\; = 2\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + 5 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$
$$\;\;\;\; = 2\cdot \frac{1}{2} + 5\cdot \frac{1}{2}$$
$$\;\;\;\; = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}.$$
Cách 2: Ta có: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$ Do đó:
$$A = 2sin^2\alpha + 5cos^2\alpha $$
$$\;\;\;\; = 2sin^2\alpha + (2cos^2\alpha + 3\cos^2\alpha)$$
$$\;\;\;\; = 2(sin^2\alpha + cos^2\alpha) + 3cos^2\alpha$$
$$\;\;\;\; = 2\cdot 1 + 3\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$
$$\;\;\;\; = 2 + 3 \cdot \frac{1}{2}$$
$$\;\;\;\; = \frac{7}{2}.$$
Bài tập 7 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:
a) Tính $sin\; 168^o 45′ 33″;$ $cos\; 17^o 22′ 35″;$ $tan\; 156^o 26′ 39″;$ $cot\; 56^o 36′ 42″.$
b) Tìm $\alpha \;\; (0^o \leq \alpha \leq 180^o)$ trong các trường hợp sau:
i) $sin\; \alpha = 0,862;$
ii) $cos\;\alpha = -0,567;$
iii) $tan\;\alpha = 0,334.$
Giải
a)
$sin\; 168^o 45′ 33″ \approx 0,195;$
$cos\; 17^o 22′ 35″ \approx 0,954;$
$tan\; 156^o 26′ 39″ \approx -0,436;$
$cot\; 56^o 36′ 42″ \approx 0,659.$
b)
i) $sin\; \alpha = 0,862$ $\Rightarrow \alpha \approx 59^o 32′ 31″$ hoặc $\alpha \approx 120^o 27′ 29″.$
ii) $cos\;\alpha = -0,567$ $\Rightarrow \alpha \approx 124^o 32′ 29″.$
iii) $tan\;\alpha = 0,334$ $\Rightarrow \alpha \approx 18^o 28′ 10″.$