Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 2 – ĐỊNH LÝ CÔSIN VÀ ĐỊNH LÝ SIN. (bộ Chân trời sáng tạo)

Giải

Theo định lý côsin, ta có:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2\cdot AB\cdot AC \cdot cosA$$

$$\;\;\;\; = 14^2 + 18^2 – 2\cdot 14\cdot 18\cdot cos\;62^o$$

$$\;\;\;\; \approx 283,386$$

Do đó, $BC\approx \sqrt{283,386} \approx 16,834.$

Áp dụng hệ quả của định lý côsin, ta có:

$$cosB = \frac{BA^2 + BC^2 – AC^2}{2\cdot BA \cdot BC}$$

$$\;\;\;\; \approx \frac{14^2 + 16,834^2 – 18^2}{2\cdot 14\cdot 16,834}$$

$$\;\;\;\; \approx 0,3297$$

Suy ra: $\widehat{B} \approx 71^o$

Từ đó ta cũng tính được:

$$\widehat{C} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{A}$$

$$\;\;\;\; \approx 180^o – 71^o – 62^o = 47^o.$$

Giải

Gọi hai điểm ở hai đầu hồ là $A, B.$ Gọi điểm chỗ người quan sát là $C.$

Theo định lý côsin, ta có:

$$AB^2 = CA^2 + CB^2 – 2\cdot CA \cdot CB\cdot cosC$$

$$\;\;\;\; = 800^2 + 900^2 – 2\cdot 800\cdot 900 \cdot cos\;70^o$$

$$\;\;\;\; \approx 957491$$

Suy ra:

$$AB \approx \sqrt{957491} \approx 979.$$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của hồ nước là khoảng $979\;m.$

Giải

Theo định lý sin, ta có:

$$\frac{MP}{sinN} = \frac{NP}{sinM}$$

Suy ra:

$$MP = \frac{NP}{sinM}\cdot sinN$$

$$\;\;\;\; = \frac{22}{sin\;34^o}\cdot sin\;112^o \approx 36,5$$

Ta có:

$$\widehat{P} = 180^o – \widehat{M} – \widehat{N}$$

$$\;\;\;\; = 180^o – 34^o – 112^o = 34^o.$$

Vậy $\widehat{P} = \widehat{M} = 34^o$

Do đó, tam giác $MNP$ cân tại $N.$

Suy ra: $MN = NP = 22.$

Giải

Đặt tên các điểm như trong hình sau:

Để dập tắt đám cháy nhanh hơn, cần dẫn nước từ bồn nước gần đám cháy hơn. Vậy ta cần so sánh độ dài các đoạn thẳng $BC$ và $DC.$

Xét tam giác $ACD,$ ta có:

$$\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{D}$$

$$\;\;\;\; = 180^o – 35^o – 125^o = 20^o.$$

Áp dụng định lý sin cho tam giác $ACD,$ ta có:

$$\frac{DC}{sinA} = \frac{AD}{sinC}$$

Suy ra:

$$DC = \frac{AD}{sinC}\cdot sinA$$

$$\;\;\;\; = \frac{900}{sin\;20^o}\cdot sin\;35^o$$

$$\;\;\;\; \approx 1509.$$

Cũng áp dụng định lý sin cho tam giác $ACD,$ ta được:

$$\frac{AC}{sinD} = \frac{AD}{sinC}$$

Suy ra:

$$AC = \frac{AD}{sinC}\cdot sinD$$

$$\;\;\;\; = \frac{900}{sin\;20^o}\cdot sin\;125^o$$

$$\;\;\;\; \approx 2156.$$

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC,$ ta được:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2\cdot AB\cdot AC\cdot cosA$$

$$\;\;\;\; \approx 1800^2 + 2156^2 – 2\cdot 1800\cdot 2156\cdot cos\;34^o$$

$$\;\;\;\; \approx 1453678.$$

Suy ra: $BC \approx \sqrt{1453678} \approx 1206.$$

Vậy ta đã tính được: $DC = 1509\;m$ và $BC = 1206\;m.$ Vậy $DC > BC.$

Do đó, nên dẫn nước từ bồn chứa nước $A$ để dập tắt đám cháy (vì nó gần đám cháy hơn).

Giải

a)

+) Diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2} b c sinA$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot 14\cdot 35\cdot sin\;60^o$$

$$\;\;\;\; = \frac{245\sqrt{3}}{2}.$$

+) Áp dụng dụng định lý cosin, ta được:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bccosA$$

$$\;\;\;\; = 14^2 + 35^2 – 2\cdot 14\cdot 35\cdot cos\;60^o$$

$$\;\;\;\; = 931.$$

Suy ra: $a = \sqrt{931}.$

Áp dụng định lý sin, ta được:

$$\frac{a}{sinA} = 2R$$

Do đó:

$$R = \frac{a}{2sinA} = \frac{\sqrt{931}}{2sin\;60^o} = \sqrt{\frac{931}{3}}.$$

b)

+) Nửa chu vi tam giác là: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+5+3}{2} = 6.$

Áp dụng công thức Herong, ta được:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c}$$

$$\;\;\;\; = \sqrt{6\cdot (6- 4)\cdot (6-5)\cdot (6-3)}$$

$$\;\;\;\; = \sqrt{36} = 6.$$

Mặt khác, ta có:

$$S = \frac{abc}{4R}$$

Suy ra:

$$R = \frac{abc}{4S}$$

$$\;\;\;\; = \frac{4\cdot 5\cdot 3}{4\cdot 6} = \frac{5}{2}.$$

Giải

Đặt tên cho các đỉnh của hình tam giác tạo bởi cánh buồm như hình vẽ sau:

Ta có:

$$\widehat{B} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{C}$$

$$\;\;\;\; = 180^o – 48^o – 105^o = 27^o.$$

Áp dụng định lý sin, ta có:

$$\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB}$$

Suy ra:

$$AB = \frac{AC}{sinB}\cdot sinC$$

$$\;\;\;\; = \frac{3,2}{sin\;27^o}\cdot sin\;105^o$$

$$\;\;\;\; \approx 6,8$$

Do đó, diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sinA$$

$$\;\;\;\; \approx \frac{1}{2}\cdot 6,8\cdot 3,2\cdot sin\;48^o$$

$$\;\;\;\; \approx 8,1.$$

Vậy diện tích cánh buồm là khoảng $8,1\;m^2.$

Giải

a) Áp dụng định lý cosin:

$$x^2 = 6,5^2 + 5^2 – 2\cdot 6,5\cdot 5\cdot cos\;72^o$$

$$\;\;\;\; \approx 47,2$$

Suy ra: $x \approx \sqrt{47,2} \approx 6,9.$

b) Áp dụng định lý cosin:

$$x^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 – 2\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{3}\cdot cos\;123^o$$

$$\;\;\;\; \approx 0,22$$

Do đó: $x\approx \sqrt{0,22} \approx 0,47$

Giải

Áp dụng định lý sin:

$$\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB}$$

Suy ra:

$$AB = \frac{AC}{sinB}\cdot sinC$$

$$\;\;\;\; = \frac{12}{sin\;35^o}\cdot sin\;105^o \approx 20,2.$$

Vậy $c = AB = 20,2.$

Giải

Ta có:

$$\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C}$$

$$\;\;\;\; = 180^o – 79^o – 61^o = 40^o.$$

Theo định lý sin:

$$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R.$$

Do đó:

$$b = \frac{a}{sinA}\cdot sinB$$

$$\;\;\;\; = \frac{152}{sin\;40^o}\cdot sin\;79^o \approx 232.$$

$$c = \frac{a}{sinA} \cdot sinC$$

$$\;\;\;\; = \frac{152}{sin\;40^o}\cdot sin\;61^o \approx 207.$$

$$R = \frac{a}{2sinA}$$

$$\;\;\;\; = \frac{152}{2\cdot sin\;40^o} \approx 118.$$

Giải

Áp dụng hệ quả của định lý cosin, ta được:

$$cosA = \frac{AB^2 + AC^2 – BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}$$

$$\;\;\;\; = \frac{500^2 + 700^2 – 800^2}{2\cdot 500\cdot 700}$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{7}.$$

Suy ra: $\widehat{A} \approx 82^o.$

Tương tự vậy, ta có:

$$cosB = \frac{BA^2 + BC^2 – AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}$$

$$\;\;\;\; = \frac{500^2 + 800^2 – 700^2}{2\cdot 500\cdot 800}$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}.$$

Suy ra: $\widehat{B} = 60^o.$

Do đó:

$$\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B}$$

$$\;\;\;\; \approx 180^o – 82^o – 60^o = 38^o.$$

Giải

Đặt tên các đỉnh của lá cờ hình tam giác cân như sau:

Diện tích của lá cờ này là:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB\cdot AC\cdot sinA$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot 90\cdot 90\cdot sin\;35^o$$

$$\;\;\;\; \approx 2322,98$$

Vậy diện tích lá cờ là khoảng $2322,98\;cm^2.$

Giải

a) Diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sinA$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot sin\;60^o$$

$$\;\;\;\; = 12\sqrt{3}.$$

b)

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC,$ ta có:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2\cdot AB\cdot AC\cdot cosA$$

$$\;\;\;\; = 6^2 + 8^2 – 2\cdot 6\cdot 8\cdot cos\;60^o$$

$$\;\;\;\; = 52.$$

Do đó: $BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.$

Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC,$ ta có:

$$\frac{BC}{sinA} = 2R$$

Do đó:

$$R = \frac{BC}{2sinA} = \frac{2\sqrt{13}}{2\cdot sin\;60^o} = 2\sqrt{\frac{13}{3}}.$$

Suy ra:

$$IB = IC = R = 2\sqrt{\frac{13}{3}}.$$

Mặt khác, ta có: $\widehat{I} = 2\cdot \widehat{A} = 2\cdot 60^o = 120^o.$

Do đó, diện tích tam giác $IBC$ là:

$$S_{IBC} = \frac{1}{2}\cdot IB\cdot IC\cdot sinI$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{\frac{13}{3}} \cdot 2\sqrt{\frac{13}{3}} \cdot sin\;120^o$$

$$\;\;\;\; = \frac{13\sqrt{3}}{3} \approx 7,5.$$

Giải

a) Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{15+18+27}{2} = 30.$

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)}$$

$$\;\;\;\; = \sqrt{30(30-15)(30-18)(30-27)} = 90\sqrt{2}.$$

Mặt khác, ta có: $S = pr$

Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là:

$$ r = \frac{S}{p} = \frac{90\sqrt{2}}{30} = 3\sqrt{2}.$$

b) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $S_{GBC} = \frac{1}{3} S = 30\sqrt{2}.$

Lưu ý

Khi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC:$

Trong hình trên, $AM$ là một trung tuyến của tam giác $ABC.$

Kẻ $AA\\’ $ và $GG\\’$ cùng vuông góc với $BC.$

Khi đó, $AA\\’ // GG\\’$ (1)

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $GM = \frac{1}{3}AM$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $GG\\’ = \frac{1}{3}AA\\’.$

Do đó:

$$\frac{S_{GBC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}\cdot GG\\’ \cdot BC}{\frac{1}{2}\cdot AA\\’ \cdot BC}$$

$$\;\;\;\; = \frac{GG\\’}{AA\\’} = \frac{1}{3}.$$

Suy ra:

$$S_{GBC} = \frac{1}{3}S_{ABC}$$

Làm tương tự đối với các tam giác $GAB$ và $GAC$ ta cũng có kết quả tương tự.

Vậy trọng tâm $G$ chia tam giác $ABC$ thành các tam giác $GAB, GBC, GCA$ có diện tích bằng nhau (và đều bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tam giác $ABC).$

Giải

Ta có hai công thức tính diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2}\cdot h_a \cdot a;$$

$$S = \frac{abc}{4R}.$$

Suy ra:

$$\frac{1}{2}\cdot h_a \cdot a = \frac{abc}{4R}$$

$$\Leftrightarrow h_a = \frac{bc}{2R}$$

Mặt khác, theo định lý sin, ta có:

$$\frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R$$

Suy ra: $b = 2RsinB,$ $c = 2RsinC.$

Vậy ta có:

$$h_a = \frac{bc}{2R} = \frac{2RsinB \cdot 2RsinC}{2R} = 2RsinBsinC.$$

Giải

a) Ta có:

$$S_{BDE} = \frac{1}{2}\cdot BD\cdot BE \cdot sinB$$

$$S_{BAC} = \frac{1}{2}\cdot BA \cdot BC \cdot sinB$$

Do đó:

$$\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}} = \frac{BD\cdot BE}{BA\cdot BC}$$

b)

+) Ta có:

$$cosB = \frac{BD}{BA}$$

$$cosB = \frac{BE}{BC}$$

Nhân vế theo vế ta được:

$$cos^2B = \frac{BD\cdot BE}{BA\cdot BC}$$

Mặt khác, áp dụng kết quả câu a) và giả thiết ta có:

$$\frac{BD\cdot BE}{BA\cdot BC} = \frac{S_{BDE}}{S_{BAC}} = \frac{1}{9}$$

Vậy: $cos^2B = \frac{1}{9}$

Suy ra: $cosB = \frac{1}{3}$ (vì $\widehat{B}$ là góc nhọn).

+) Tứ giác $AEDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$ (vì hai điểm $E, D$ cùng nhìn cạnh $AC$ dưới một góc vuông).

Suy ra: $\widehat{ACB} = \widehat{BED}$ (cùng bù với $\widehat{AED})$

Suy ra: Hai tam giác $ABC$ và $DBE$ đồng dạng với nhau (g-g) vì có chung góc $B$ và $\widehat{ACB} = \widehat{BED}$

Mà $\frac{S_{BDE}}{S_{ABC}} = \frac{1}{9}$ nên tỷ số đồng dạng là $k=\frac{1}{3}.$

Do đó, gọi $R, R\\’$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $BDE$ thì $R = 3R\\’.$

Mặt khác: $sin^2 B = 1-cos^2 B = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Suy ra: $sinB = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (vì $\widehat{B}$ là góc nhọn)

Xét tam giác $DBE,$ theo định lý sin, ta có:

$$\frac{DE}{sinB} = 2R\\’$$

Suy ra:

$$R\\’ = \frac{DE}{2sinB} = \frac{2\sqrt{2}}{2\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{3}{2}.$$

Do đó, tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là:

$$R = 3R\\’ = 3\cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}.$$

Giải

a) Gọi $E$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD.$ Giả sử $\widehat{BEC} = \alpha.$

Diện tích tứ giác $ABCD$ bằng tổng diện tích bốn tam giác $AEB,$ $BEC,$ $CED,$ $DEA.$

Ta có:

$$S_{AEB} = \frac{1}{2}\cdot AE\cdot EB\cdot sin\;\widehat{AEB}$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot AE\cdot EB\cdot sin(180^o – \alpha) = \frac{1}{2}\cdot AE\cdot EB\cdot sin\;\alpha$$

$$S_{BEC} = \frac{1}{2}\cdot EB\cdot EC\cdot sin\;\widehat{BEC}$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot EB\cdot EC\cdot sin\;\alpha$$

$$S_{CED} = \frac{1}{2}\cdot EC\cdot ED\cdot sin\;\widehat{CED}$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot EC\cdot ED\cdot sin(180^o – \alpha) = \frac{1}{2}\cdot EC\cdot ED\cdot sin\;\alpha$$

$$S_{DEA} = \frac{1}{2}\cdot ED\cdot EA \cdot sin\;\widehat{DEA}$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot ED\cdot EA\cdot sin\;\alpha$$

Vậy ta có:

$$S = S_{AEB} + S_{BEC} + S_{CED} + S_{DEA}$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot sin\;\alpha \cdot [ EA\cdot (EB + ED) + EC\cdot (EB+ED)]$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot sin\;\alpha \cdot [EA\cdot BD + EC \cdot BD]$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot sin\;\alpha \cdot BD\cdot (EA + EC)$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot sin\;\alpha \cdot BD\cdot AC$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot sin\;\alpha \cdot y\cdot x$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}xy\cdot sin\;\alpha$$

b) Khi $AC\perp BD$ thì $\alpha = 90^o.$ Suy ra: $sin\;\alpha = sin\;90^o = 1.$

Do đó: $S = \frac{1}{2}xy\cdot sin\;\alpha = \frac{1}{2}xy$

Điều đó có nghĩa là: “Nếu một tứ giác lồi có hai đường chéo vuông góc thì diện tích của nó bằng một nửa tích độ dài hai đường chéo”.