Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 3 – Chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo.
Thực hành (Trang 75 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Giải tam giác $ABC$ trong các trường hợp sau:
a) $a = 17,4;$ $\widehat{B} = 44^o 30\\’;$ $\widehat{C} = 64^o.$
b) $a=10;$ $b = 6;$ $c = 8.$
Giải
a) Ta cần tính góc $\widehat{A}$ và hai cạnh $b; c.$
Ta có:
$$\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C}$$
$$\;\;\;\; = 180^o – 44^o 30\\’ – 64^o = 71^o 30\\’.$$
Áp dụng định lý sin, ta có:
$$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$$
Suy ra:
$$b = \frac{a}{sinA} \cdot sinB$$
$$\;\;\;\; = \frac{17,4}{sin\;71^o 30\\’}\cdot sin\;44^o 30\\’$$
$$\;\;\;\; \approx 12,9.$$
$$c = \frac{a}{sinA}\cdot sinC$$
$$\;\;\;\; = \frac{17,4}{sin\;71^o 30\\’} \cdot sin\; 64^o$$
$$\;\;\;\; \approx 16,5.$$
b) Ta cần tính các góc $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}.$
Theo hệ quả của định lý cosin, ta có:
$$cosA = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$
$$\;\;\;\; = \frac{6^2 + 8^2 – 10^2}{2\cdot 6\cdot 8} = 0$$
Suy ra: $\widehat{A} = 90^o.$
Tương tự:
$$cosB = \frac{c^2 + a^2 – b^2}{2ca}$$
$$\;\;\;\; = \frac{8^2 + 10^2 – 6^2}{2\cdot 8\cdot 10}$$
$$\;\;\;\; = \frac{4}{5}$$
Suy ra: $\widehat{B} \approx 36^o 52\\’$
Từ đó tính được:
$$\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B}$$
$$\;\;\;\; \approx 180^o – 90^o – 36^o 52\\’ = 53^o 8\\’$$
Vận dụng 1 (Trang 76 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với tốc độ $450\;km/h$ theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc $25^o$ về phía tây với tốc độ $630\;km/h$ (Hình 5). Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.
Giải
Sau 90 phút, máy bay di chuyển với tốc độ $450\;km/h$ đi được quãng đường là: $OA = 450 \cdot \frac{90}{60} = 675\;(km).$
Sau 90 phút, máy bay di chuyển với tốc độ $630\;km/h$ đi được quãng đường là: $OB = 630\cdot \frac{90}{60} = 945\;(km).$
Ta có: $\widehat{AOB} = 90^o – 25^o = 65^o.$
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $OAB,$ ta có:
$$AB^2 = OA^2 + OB^2 – 2\cdot OA\cdot OB\cdot cos\;\widehat{AOB}$$
$$\;\;\;\; = 675^2 + 945^2 – 2\cdot 675\cdot 945\cdot cos\;65^o$$
$$\;\;\;\; \approx 809495.$$
Suy ra: $AB \approx \sqrt{809495} \approx 900.$
Vậy sau 90 phút, hai máy bay cách nhau khoảng $900\;km.$
Vận dụng 2 (Trang 77 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Trên bản đồ địa lý, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên Hình 6, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.
Hướng dẫn
Ta cần tính độ dài $CR.$
Do đã biết độ dài $HC, HR$ nên ta chỉ cần tìm độ lớn góc $\widehat{CHR}$ rồi áp dụng định lý cosin cho tam giác $CHR$ để tính độ dài cạnh $CR.$
Để ý: $\widehat{CHR} = \widehat{CHL} + \widehat{RHL}.$
- Áp dụng định lý cosin cho tam giác $CHL$ để tính $\widehat{CHL}.$
- Áp dụng định lý cosin cho tam giác $RHL$ để tính $\widehat{RHL}.$
Giải
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $CHL,$ ta có:
$$CL^2 = HC^2 + HL^2 – 2\cdot HC\cdot HL\cdot cos\;\widehat{CHL}$$
Suy ra:
$$cos\;\widehat{CHL} = \frac{HC^2 + HL^2 – CL^2}{2\cdot HC\cdot HL}$$
$$\;\;\;\; = \frac{78^2 + 104^2 – 49^2}{2\cdot 78\cdot 104}$$
$$\;\;\;\; = \frac{4833}{5408}$$
Do đó: $\widehat{CHL} \approx 27^o.$
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $RHL,$ ta có:
$$RL^2 = HL^2 + HR^2 – 2\cdot HL\cdot HR\cdot cos\;\widehat{RHL}$$
Suy ra:
$$cos\;\widehat{RHL} = \frac{HL^2 + HR^2 – RL^2}{2\cdot HL\cdot HR}$$
$$\;\;\;\; = \frac{104^2 + 77^2 – 56^2}{2\cdot 104\cdot 77}$$
$$\;\;\;\; \approx 0,8497.$$
Do đó: $\widehat{RHL} \approx 32^o.$
Vậy:
$$\widehat{CHR} = \widehat{CHL} +\widehat{RHL}$$
$$\;\;\;\; \approx 27^o + 32^o = 59^o.$$
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $CHR,$ ta có:
$$CR^2 = HC^2 + HR^2 – 2\cdot HC\cdot HR\cdot cos\;\widehat{CHR}$$
$$\;\;\;\; \approx 78^2 + 77^2 – 2\cdot 78\cdot 77\cdot cos\;\widehat{59^o}$$
$$\;\;\;\; \approx 5826.$$
Suy ra: $CR \approx \sqrt{5826} \approx 76$
Vậy khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá là khoảng $76\;km.$
Bài tập 1 (Trang 77 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Giải tam giác $ABC$ trong các trường hợp sau:
a) $AB = 14,$ $AC = 23,$ $\widehat{A} = 125^o.$
b) $BC = 22,$ $\widehat{B} = 64^o,$ $\widehat{C} = 38^o.$
c) $AC = 22,$ $\widehat{B} = 120^o,$ $\widehat{C} = 28^o.$
d) $AB = 23,$ $AC = 32,$ $BC = 44.$
Giải
a) Đã cho: $AB = 14,$ $AC = 23,$ $\widehat{A} = 125^o.$
Ta cần tính $BC$ và hai góc $\widehat{B},$ $\widehat{C}.$
Theo định lý cosin:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2\cdot AB\cdot AC\cdot cosA$$
$$\;\;\;\; = 14^2 + 23^2 – 2\cdot 14\cdot 23\cdot cos\;125^o$$
$$\;\;\;\; \approx 1094$$
Do đó: $BC \approx \sqrt{1094} \approx 33.$
Theo định lý sin:
$$\frac{AB}{sinC} = \frac{BC}{sinA}$$
Suy ra:
$$sinC = \frac{AB\cdot sinA}{BC}$$
$$\;\;\;\; \frac{14\cdot sin\;125^o}{33} \approx 0,3475$$
$$\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{C} = 20^o.$$
Từ đó ta tính được:
$$\widehat{B} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{C}$$
$$\;\;\;\; \approx 180^o – 125^o – 20^o = 35^o.$$
b) Đã cho: $BC = 22,$ $\widehat{B} = 64^o,$ $\widehat{C} = 38^o.$
Ta cần tính $\widehat{A}$ và hai cạnh $AB, AC.$
Ta có:
$$\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C}$$
$$\;\;\;\; = 180^o – 64^o – 38^o = 78^o.$$
Áp dụng định lý sin:
$$\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB} = \frac{BC}{sinA}$$
Suy ra:
$$AB = \frac{BC}{sinA}\cdot sinC$$
$$\;\;\;\; = \frac{22}{sin\;78^o}\cdot sin\;38^o$$
$$\;\;\;\; \approx 14.$$
$$AC = \frac{BC}{sinA}\cdot sinB$$
$$\;\;\;\; = \frac{22}{sin\;78^o}\cdot sin\;64^o$$
$$\;\;\;\; \approx 20.$$
c) Đã cho: $AC = 22,$ $\widehat{B} = 120^o,$ $\widehat{C} = 28^o.$
Cần tính: $\widehat{A}$ và $AB, BC.$
Ta có:
$$\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C}$$
$$\;\;\;\; = 180^o – 120^o – 28^o = 32^o.$$
Theo định lý sin:
$$\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB} = \frac{BC}{sinA}$$
Suy ra:
$$AB = \frac{AC}{sinB}\cdot sinC$$
$$\;\;\;\; = \frac{22}{sin\;120^o}\cdot sin\;28^o$$
$$\;\;\;\; \approx 12.$$
$$BC = \frac{AC}{sinB}\cdot sinA$$
$$\;\;\;\; = \frac{22}{sin\;120^o}\cdot sin\;32^o$$
$$\;\;\;\; \approx 13.$$
d) Đã cho: $AB = 23,$ $AC = 32,$ $BC = 44.$
Cần tính: $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}.$
Theo đinh lý cosin:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2\cdot AB\cdot AC\cdot cosA$$
Suy ra:
$$cosA = \frac{AB^2 + AC^2 – BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}$$
$$\;\;\;\; = \frac{23^2 + 32^2 – 44^2}{2\cdot 23\cdot 32}$$
$$\;\;\;\; = \frac{-383}{1472}.$$
Do đó: $\widehat{A} \approx 105^o.$
Cũng áp dụng định lý cosin, ta có:
$$AC^2 = BA^2 + BC^2 – 2\cdot BA\cdot BC\cdot cosB$$
Suy ra:
$$cosB = \frac{BA^2 + BC^2 – AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}$$
$$\;\;\;\; = \frac{23^2 + 44^2 – 32^2}{2\cdot 23\cdot 44}$$
$$\;\;\;\; = \frac{131}{184}.$$
Do đó: $\widehat{B} \approx 45^o.$
Từ đó, ta có: $\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B} \approx 30^o.$
Bài tập 2 (Trang 77 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí $A$ đến vị trí $B,$ do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ dài $10\;km,$ sau đó nối đường dây từ vị trí $C$ đến vị trí $B$ dài $8\;km.$ Góc tạo bởi hai đoạn dây $AC$ và $CB$ là $70^o.$ Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ $A$ đến $B.$
Giải
Theo định lý cosin:
$$AB^2 = CA^2 + CB^2 – 2\cdot CA\cdot CB\cdot cosC$$
$$\;\;\;\; = 10^2 + 8^2 – 2\cdot 10\cdot 8\cdot cos\;70^o$$
$$\;\;\;\; \approx 109,28 $$
Suy ra: $AB \approx \sqrt{109} \approx 10,45\;(km)$
Vậy vì không thể nối trực tiếp từ $A$ đến $B$ nên chiều dài dây nối phải tăng thêm: $10+8-10,45 = 7,55\;(km).$
Bài tập 3 (Trang 77 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một người đứng cách thân một cái quạt gió $16\;m$ và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng $56,5^o$ (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là $1,5\;m.$
Giải
Khoảng cách từ tâm cánh quạt đến mặt đất là:
$$1,5 + 16\cdot tan\;56,5^o \approx 25,67\;(m).$$
Bài tập 4 (Trang 78 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Tính chiều cao $AB$ của một ngọn núi. Biết tại hai điểm $C, D$ cách nhau $1\;km$ trên mặt đất $(B, C, D$ thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh $A$ của núi với góc nâng lần lượt là $32^o$ và $40^o$ (Hình 9).
Giải
Ta có:
$$\widehat{CDA} = 180^o – \widehat{ADB}$$
$$\;\;\;\; = 180^o – 40^o = 140^o.$$
Suy ra:
$$\widehat{CAD} = 180^o – \widehat{ACD} – \widehat{CDA}$$
$$\;\;\;\; = 180^o – 32^o – 140^o = 8^o.$$
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ACD,$ ta có:
$$\frac{AD}{sinC} = \frac{CD}{sinA}$$
Suy ra:
$$AD = \frac{CD}{sinA}\cdot sinC$$
$$\;\;\;\; = \frac{1}{sin\;8^o}\cdot sin\;32^o \approx 3,808 \;(km)$$
Tam giác $ABD$ vuông tại $B$ nên:
$$AB = AD\cdot sin\;\widehat{ADB}$$
$$\;\;\;\; \approx 3,808\cdot sin\; 40^o \approx 2,448\;(km).$$
Bài tập 5 (Trang 78 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm $P$ và $Q$ nằm ở sườn đồi nghiêng $32^o$ so với phương ngang, cách nhau $60\;m$ (Hình 10). Người quan sát tại điểm $P$ xác định góc nâng của khinh khí cầu là $62^o.$ Cùng lúc đó, người quan sát tại $Q$ xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là $70^o.$ Tính khoảng cách từ $Q$ đến khinh khí cầu.
Giải
Gọi $A$ là vị trí của khinh khí cầu. Các dữ kiện đề bài cho được mô tả như hình sau:
Ta cần tính độ dài $AQ.$
Ta có:
$$\widehat{APQ} = 62^o – 32^o = 30^o$$
$$\widehat{AQm} = 70^o – 32^o = 38^o$$
Suy ra:
$$\widehat{AQP} = 180^o – \widehat{AQm}$$
$$\;\;\;\; 180^o – 38^o = 142^o$$
$$\widehat{PAQ} = 180^o – \widehat{APQ} – \widehat{AQP}$$
$$\;\;\;\; = 180^o – 30^o – 142^o = 8^o.$$
Áp dụng định lý sin cho tam giác $APQ,$ ta được:
$$\frac{PQ}{sinA} = \frac{AQ}{sinP}$$
$$\Leftrightarrow \frac{60}{sin\;8^o} = \frac{AQ}{sin\;30^o}$$
$$\Leftrightarrow AQ = \frac{60\cdot sin\;30^o}{sin\;8^o}$$
Vậy $AQ\approx 216.$
Bài tập 6 (Trang 78 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao $352\;m$ so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là $43^o,$ góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là $62^o$ và đến điểm mốc khác là $54^o$ (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.
Giải
Đặt tên các điểm như trong hình sau:
Ta cần tính độ dài $BC.$
Theo đề, ta có: $AD = 352\;m$
Trong tam giác $ACD$ vuông tại $D,$ ta có:
$$AC = \frac{AD}{cosA} = \frac{352}{cos\;54^o}\approx 598,86 \;(m)$$
Trong tam giác $ABD$ vuông tại $D,$ ta có:
$$AB = \frac{AD}{cosA} = \frac{352}{cos\;62^o} \approx 749,78 \;(m)$$
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC,$ ta có:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2\cdot AB\cdot AC\cdot cosA$$
$$\;\;\;\; \approx 749,78^2 + 598,86^2 – 2\cdot 749,78\cdot 598,86\cdot cos\;43^o$$
$$\;\;\;\; \approx 264028,34$$
Suy ra:
$$BC \approx \sqrt{264028,34} \approx 513,84\;(m)$$