Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo.
Bài tập 1 (Trang 78 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC.$ Biết $a = 49,4;$ $b = 26,4;$ $\widehat{C} = 47^o 20\\’.$ Tính hai góc $\widehat{A}, \widehat{B}$ và cạnh $c.$
Giải
Áp dụng định lý cosin:
$$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cdot cosC$$
$$\;\;\;\; = 49,4^2 + 26,4^2 – 2\cdot 49,4\cdot 26,4\cdot cos\;47^ 20\\’$$
$$\;\;\;\; \approx 1369,578$$
Suy ra: $c\approx 37.$
Áp dụng định lý sin:
$$\frac{a}{sinA} = \frac{c}{sinC}$$
Suy ra:
$$sinA = \frac{a\cdot sinC}{c}$$
$$\;\;\;\; \approx \frac{49,4\cdot sin\;47^o 20\\’}{37} \approx 0,9817$$
$$\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{A} \approx 79^o 2\\’.$$
Do đó:
$$\widehat{B} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{C}$$
$$\;\;\;\; \approx 180^o – 79^o 2\\’ – 47^o 20\\’$$
$$\;\;\;\; = 53^o 38\\’.$$
Bài tập 2 (Trang 78 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC.$ Biết $a = 24;$ $b = 13;$ $c = 15.$ Tính các góc $\widehat{A},$ $\widehat{B},$ $\widehat{C}.$
Giải
Áp dụng hệ quả của định lý cosin:
$$cosA = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$
$$\;\;\;\; = \frac{13^2 + 15^2 – 24^2}{2\cdot 13\cdot 15} = \frac{-7}{15}$$
$$\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{A} \approx 118^o.$$
$$cosB = \frac{c^2 + a^2 – b^2}{2ca}$$
$$\;\;\;\; = \frac{15^2 + 24^2 – 13^2}{2\cdot 15\cdot 24} = \frac{79}{90}$$
$$\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{B} \approx 29^o.$$
Do đó:
$$\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B}$$
$$\;\;\;\; \approx 180^o – 118^o – 29^o = 33^o.$$
Bài tập 3 (Trang 78 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC$ có $a = 8,$ $b = 10,$ $c = 13.$
a) Tam giác $ABC$ có góc tù không?
b) Tính độ dài trung tuyến $AM,$ diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
c) Lấy điểm $D$ đối xứng với $A$ qua $C.$ Tính độ dài $BD.$
Giải
a) Ta có:
$$cosC = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}$$
$$\;\;\;\; = \frac{8^2 + 10^2 – 13^2}{2\cdot 8\cdot 10} = \frac{-1}{32} < 0.$$
Vậy $cosC < 0,$ nên $\widehat{C}$ là góc tù.
b)
+) Tính $AM:$
Vì $AM$ là trung tuyến nên $AM$ là trung điểm của $BC.$ Do đó:
$$MC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4.$$
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $AMC,$ ta có:
$$AM^2 = CA^2 + CM^2 – 2\cdot CA\cdot CM\cdot cosC$$
$$\;\;\;\; = 10^2 + 4^2 – 2\cdot 10\cdot 4\cdot \frac{-1}{32}$$
$$\;\;\;\; = \frac{237}{2}$$
Suy ra: $AM = \frac{\sqrt{474}}{2}.$
+) Tính diện tích tam giác:
Ta có nửa chu vi tam giác là: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{31}{2}.$
Áp dụng công thức Heron, ta tính được diện tích tam giác là:
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \approx 39,98.$$
+) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:
Ta có:
$$S = \frac{abc}{4R}$$
Suy ra:
$$R = \frac{abc}{4S} \approx 6,5.$$
c)
Ta có: $AD = 2\cdot CA = 2\cdot 10 = 20;$ $AB = c = 13;$
Áp dụng hệ quả của định lý cosin cho tam giác $ABC,$ ta được:
$$cos\;\widehat{DAB} = \frac{AC^2 + AB^2 – CB^2}{2\cdot AC\cdot AB}$$
$$\;\;\;\; = \frac{10^2 + 13^2 – 8^2}{2\cdot 10\cdot 13} = \frac{41}{52}$$
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABD,$ ta được:
$$BD^2 = AB^2 + AD^2 – 2\cdot AB\cdot AD\cdot cos\;\widehat{DAB}$$
$$\;\;\;\; = 13^2 + 20^2 – 2\cdot 13\cdot 20\cdot \frac{41}{52} = 159$$
Suy ra: $BD = \sqrt{159} \approx 12,6.$
Bài tập 4 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 120^o,$ $b = 8,$ $c = 5.$ Tính:
a) Cạnh $a$ và các góc $\widehat{B}, \widehat{C}.$
b) Diện tích tam giác $ABC.$
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao $AH$ của tam giác.
Giải
a)
+) Tính $a:$
Áp dụng định lý cosin:
$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cdot cosA$$
$$\;\;\;\; = 8^2 + 5^2 – 2\cdot 8\cdot 5\cdot cos\;120^o$$
$$\;\;\;\; = 129.$$
Suy ra: $a = \sqrt{129}.$
+) Tính $\widehat{B}:$
Áp dụng định lý sin:
$$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$$
Suy ra:
$$sinB = \frac{b\cdot sinA}{a}$$
$$\;\;\;\; = \frac{8\cdot sin\;120^o}{\sqrt{129}} = \frac{4\sqrt{43}}{43}.$$
Do đó: $\widehat{B} \approx 37^o 35\\’.$
+) Tính $\widehat{C}:$
Ta có:
$$\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B}$$
$$\;\;\;\; \approx 180^o – 120^o – 37^o 35\\’ = 22^o 25\\’.$$
b) Diện tích tam giác $ABC$ là:
$$S = \frac{1}{2}bc\cdot sinA$$
$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot sin\;120^o = 10\sqrt{3}.$$
c)
+) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:
Ta có:
$$S=\frac{abc}{4R}$$
Suy ra:
$$R = \frac{abc}{4S}$$
$$\;\;\;\; = \frac{\sqrt{129}\cdot 8\cdot 5}{4\cdot 10\sqrt{3}} = \sqrt{43}.$$
+) Tính đường cao $AH:$
Ta có:
$$S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$$
Suy ra:
$$h_a = \frac{2S}{a}$$
$$\;\;\;\; = \frac{2\cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{129}} = \frac{20\sqrt{43}}{43}.$$
Vậy: $AH = h_a = \frac{29\sqrt{43}}{43}.$
Bài tập 5 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho hình bình hành $ABCD.$
a) Chứng minh: $2\cdot (AB^2 + BC^2) = AC^2 + BD^2;$
b) Cho $AB = 4,$ $BC = 5,$ $BD = 7.$ Tính $AC.$
Giải
a) Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC,$ ta được:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB$ (1)
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABD,$ ta được:
$$BD^2 = AB^2 + AD^2 – 2\cdot AB\cdot AD\cdot cosA$$
Ta lại có: $AD = BC;$ $cosA = cos(180^o – B) = -cosB.$
Do đó:
$BD^2 = AB^2 + BC^2 – 2\cdot AB\cdot BC\cdot (-cosB)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$$AC^2 + BD^2$$
$$= (AB^2 + BC^2 – 2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB) + ( AB^2 + BC^2 – 2\cdot AB\cdot BC\cdot (-cosB) )$$
$$=2\cdot (AB^2 + BC^2).$$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Thay số vào công thức ở câu a):
$$ 2\cdot (AB^2 + BC^2) = AC^2 + BD^2 $$
$$\Leftrightarrow 2\cdot (4^2 + 5^2) = AC^2 + 7^2$$
$$\Leftrightarrow AC^2 = 2\cdot (4^2 + 5^2) – 7^2$$
$$\Leftrightarrow AC^2 = 33$$
$$\Leftrightarrow AC = \sqrt{33}.$$
Bài tập 6 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC$ có $a = 15,$ $b = 20,$ $c = 25.$
a) Tính diện tích tam giác $ABC.$
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Giải
a) Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{a+b+c}{2} = 30.$
Áp dụng công thức Heron, ta được:
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
$$\;\;\;\; = \sqrt{30 (30 – 15)(30 – 20)(30-25)} = 150.$$
b) Ta có:
$$S = \frac{abc}{4R}$$
Suy ra:
$$R = \frac{abc}{4S}$$
$$\;\;\;\; = \frac{15\cdot 20\cdot 25}{4\cdot 150} = \frac{25}{2}.$$
Bài tập 7 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng:
$$cotA + cotB+ cotC = \frac{R(a^2 + b^2 + c^2)}{abc}.$$
Giải
Ta có:
$$cosA = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc};$$
$$sinA = \frac{a}{2R}.$$
Do đó:
$$cotA = \frac{cosA}{sinA} = \frac{R(b^2 + c^2 – a^2)}{abc}.$$
Chứng minh tương tự vậy, ta cũng có:
$$cotB = \frac{R(c^2 + a^2 – b^2)}{abc};$$
$$cot C = \frac{R(a^2 + b^2 – c^2)}{abc}.$$
Suy ra:
$$cotA+ cotB + cotC = \frac{R(a^2 + b^2 + c^2)}{abc}.$$
Bài tập 8 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Tính khoảng cách $AB$ giữa hai nóc tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là $370\;km,$ $350\;km$ và góc nhìn từ vệ tinh đến $A$ và $B$ là $2,1^o.$
Giải
Gọi $C$ là vị trí của vệ tinh.
Áp dụng định lý cosin:
$$AB^2 = CA^2 + CB^2 – 2\cdot CA\cdot CB\cdot cosC$$
$$\;\;\;\; = 370^2 + 350^2 – 2\cdot 370\cdot 350\cdot cos\;2,1^o$$
$$\;\;\;\; \approx 574.$$
Suy ra: $AB \approx \sqrt{574}\approx 24\;(km).$
Bài tập 9 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Hai chiếc tàu thủy $P$ và $Q$ cách nhau $300\;m$ và thẳng hàng với chân $B$ của tháp hải đăng $AB$ ở trên bờ biển (Hình 2). Từ $P$ và $Q,$ người ta nhìn thấy tháp hải đăng $AB$ dưới các góc $\widehat{BPA} = 35^o$ và $\widehat{BQA} = 48^o.$ Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.
Giải
Ta cần tính độ dài $AB.$
Vì $\widehat{AQB}$ là góc ngoài tại đỉnh $Q$ của tam giác $AQP$ nên:
$$\widehat{APQ} + \widehat{PAQ} = \widehat{AQB}$$
Suy ra:
$$\widehat{PAQ} = \widehat{AQB} – \widehat{APQ}$$
$$\;\;\;\; = 48^o – 35^o = 13^o.$$
Áp dụng định lý sin cho tam giác $APQ,$ ta được:
$$\frac{AQ}{sin\;\widehat{APQ}} = \frac{PQ}{sin\;\widehat{PAQ}}$$
Suy ra:
$$AQ = \frac{PQ}{sin\;\widehat{PAQ}}\cdot sin\;\widehat{APQ}$$
$$\;\;\;\; = \frac{300}{sin\;13^o} \cdot sin\;35^o \approx 765\;(m).$$
Tam giác $ABQ$ vuông tại $B$ nên:
$$AB = AQ\cdot sin\;\widehat{AQB}$$
$$\;\;\;\; \approx 765\cdot sin\;48^o \approx 569\;(m).$$
Bài tập 10 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm $A, B$ trên mặt đất có khoảng cách $AB = 12\;m$ cùng thẳng hàng với chân $C$ của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là $h = 1,2\;m.$ Gọi $D$ là đỉnh tháp và hai điểm $A_1, B_1$ cùng thẳng hàng với $C_1$ thuộc chiều cao $CD$ của tháp. Người ta đo được $\widehat{DA_1C_1} = 49^o,$ $\widehat{DB_1C_1} = 35^o.$ Tính chiều cao $CD$ của tháp.
Giải
Ta có:
$$\widehat{A_1DB_1} = \widehat{DA_1C_1} – \widehat{DB_1A_1}$$
$$\;\;\;\; = 49^o – 35^o = 14^o.$$
$$A_1B_1 = AB = 12\;m.$$
Áp dụng định lý sin cho tam giác $DA_1B_1,$ ta được:
$$\frac{DA_1}{sinB_1} = \frac{A_1B_1}{sinD}$$
Suy ra:
$$DA_1 = \frac{A_1B_1}{sinD}\cdot sinB_1$$
$$\;\;\;\; = \frac{12}{sin\;14^o}\cdot sin\;35^o \approx 28,45.$$
Xét tam giác $DA_1C_1$ vuông tại $C_1,$ ta có:
$$DC_1 = DA_1\cdot sin\;\widehat{DA_1C_1}$$
$$\;\;\;\; \approx 28,45\cdot sin\;49^o \approx 21,47.$$
Do đó:
$$CD = DC_1 + C_1C$$
$$\;\;\;\; \approx 21,47 + 1,2 = 22,67\;(m).$$