Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 4. (bộ Chân trời sáng tạo)

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo. Bài tập 1 (Trang 78 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam […]

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo.

Bài tập 1 (Trang 78 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC.$ Biết $a = 49,4;$ $b = 26,4;$ $\widehat{C} = 47^o 20\\’.$ Tính hai góc $\widehat{A}, \widehat{B}$ và cạnh $c.$

Giải

Áp dụng định lý cosin:

$$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cdot cosC$$

$$\;\;\;\; = 49,4^2 + 26,4^2 – 2\cdot 49,4\cdot 26,4\cdot cos\;47^ 20\\’$$

$$\;\;\;\; \approx 1369,578$$

Suy ra: $c\approx 37.$

Áp dụng định lý sin:

$$\frac{a}{sinA} = \frac{c}{sinC}$$

Suy ra:

$$sinA = \frac{a\cdot sinC}{c}$$

$$\;\;\;\; \approx \frac{49,4\cdot sin\;47^o 20\\’}{37} \approx 0,9817$$

$$\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{A} \approx 79^o 2\\’.$$

Do đó:

$$\widehat{B} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{C}$$

$$\;\;\;\; \approx 180^o – 79^o 2\\’ – 47^o 20\\’$$

$$\;\;\;\; = 53^o 38\\’.$$

Bài tập 2 (Trang 78 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC.$ Biết $a = 24;$ $b = 13;$ $c = 15.$ Tính các góc $\widehat{A},$ $\widehat{B},$ $\widehat{C}.$

Giải

Áp dụng hệ quả của định lý cosin:

$$cosA = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$

$$\;\;\;\; = \frac{13^2 + 15^2 – 24^2}{2\cdot 13\cdot 15} = \frac{-7}{15}$$

$$\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{A} \approx 118^o.$$

$$cosB = \frac{c^2 + a^2 – b^2}{2ca}$$

$$\;\;\;\; = \frac{15^2 + 24^2 – 13^2}{2\cdot 15\cdot 24} = \frac{79}{90}$$

$$\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{B} \approx 29^o.$$

Do đó:

$$\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B}$$

$$\;\;\;\; \approx 180^o – 118^o – 29^o = 33^o.$$

Bài tập 3 (Trang 78 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC$ có $a = 8,$ $b = 10,$ $c = 13.$

a) Tam giác $ABC$ có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến $AM,$ diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

c) Lấy điểm $D$ đối xứng với $A$ qua $C.$ Tính độ dài $BD.$

Giải

a) Ta có:

$$cosC = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}$$

$$\;\;\;\; = \frac{8^2 + 10^2 – 13^2}{2\cdot 8\cdot 10} = \frac{-1}{32} < 0.$$

Vậy $cosC < 0,$ nên $\widehat{C}$ là góc tù.

b)

Bài tập 3 - Trang 78 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

+) Tính $AM:$

Vì $AM$ là trung tuyến nên $AM$ là trung điểm của $BC.$ Do đó:

$$MC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4.$$

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $AMC,$ ta có:

$$AM^2 = CA^2 + CM^2 – 2\cdot CA\cdot CM\cdot cosC$$

$$\;\;\;\; = 10^2 + 4^2 – 2\cdot 10\cdot 4\cdot \frac{-1}{32}$$

$$\;\;\;\; = \frac{237}{2}$$

Suy ra: $AM = \frac{\sqrt{474}}{2}.$

+) Tính diện tích tam giác:

Ta có nửa chu vi tam giác là: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{31}{2}.$

Áp dụng công thức Heron, ta tính được diện tích tam giác là:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \approx 39,98.$$

+) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:

Ta có:

$$S = \frac{abc}{4R}$$

Suy ra:

$$R = \frac{abc}{4S} \approx 6,5.$$

c)

Bài tập 3 - Trang 78 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Ta có: $AD = 2\cdot CA = 2\cdot 10 = 20;$ $AB = c = 13;$

Áp dụng hệ quả của định lý cosin cho tam giác $ABC,$ ta được:

$$cos\;\widehat{DAB} = \frac{AC^2 + AB^2 – CB^2}{2\cdot AC\cdot AB}$$

$$\;\;\;\; = \frac{10^2 + 13^2 – 8^2}{2\cdot 10\cdot 13} = \frac{41}{52}$$

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABD,$ ta được:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 – 2\cdot AB\cdot AD\cdot cos\;\widehat{DAB}$$

$$\;\;\;\; = 13^2 + 20^2 – 2\cdot 13\cdot 20\cdot \frac{41}{52} = 159$$

Suy ra: $BD = \sqrt{159} \approx 12,6.$

Bài tập 4 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 120^o,$ $b = 8,$ $c = 5.$ Tính:

a) Cạnh $a$ và các góc $\widehat{B}, \widehat{C}.$

b) Diện tích tam giác $ABC.$

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao $AH$ của tam giác.

Giải

a)

+) Tính $a:$

Áp dụng định lý cosin:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cdot cosA$$

$$\;\;\;\; = 8^2 + 5^2 – 2\cdot 8\cdot 5\cdot cos\;120^o$$

$$\;\;\;\; = 129.$$

Suy ra: $a = \sqrt{129}.$

+) Tính $\widehat{B}:$

Áp dụng định lý sin:

$$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$$

Suy ra:

$$sinB = \frac{b\cdot sinA}{a}$$

$$\;\;\;\; = \frac{8\cdot sin\;120^o}{\sqrt{129}} = \frac{4\sqrt{43}}{43}.$$

Do đó: $\widehat{B} \approx 37^o 35\\’.$

+) Tính $\widehat{C}:$

Ta có:

$$\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B}$$

$$\;\;\;\; \approx 180^o – 120^o – 37^o 35\\’ = 22^o 25\\’.$$

b) Diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2}bc\cdot sinA$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot sin\;120^o = 10\sqrt{3}.$$

c)

+) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:

Ta có:

$$S=\frac{abc}{4R}$$

Suy ra:

$$R = \frac{abc}{4S}$$

$$\;\;\;\; = \frac{\sqrt{129}\cdot 8\cdot 5}{4\cdot 10\sqrt{3}} = \sqrt{43}.$$

+) Tính đường cao $AH:$

Ta có:

$$S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$$

Suy ra:

$$h_a = \frac{2S}{a}$$

$$\;\;\;\; = \frac{2\cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{129}} = \frac{20\sqrt{43}}{43}.$$

Vậy: $AH = h_a = \frac{29\sqrt{43}}{43}.$

Bài tập 5 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho hình bình hành $ABCD.$

a) Chứng minh: $2\cdot (AB^2 + BC^2) = AC^2 + BD^2;$

b) Cho $AB = 4,$ $BC = 5,$ $BD = 7.$ Tính $AC.$

Giải

Bài tập 5 - Trang 79 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

a) Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC,$ ta được:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB$ (1)

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABD,$ ta được:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 – 2\cdot AB\cdot AD\cdot cosA$$

Ta lại có: $AD = BC;$ $cosA = cos(180^o – B) = -cosB.$

Do đó:

$BD^2 = AB^2 + BC^2 – 2\cdot AB\cdot BC\cdot (-cosB)$ (2)

Từ (1)(2) suy ra:

$$AC^2 + BD^2$$

$$= (AB^2 + BC^2 – 2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB) + ( AB^2 + BC^2 – 2\cdot AB\cdot BC\cdot (-cosB) )$$

$$=2\cdot (AB^2 + BC^2).$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Thay số vào công thức ở câu a):

$$ 2\cdot (AB^2 + BC^2) = AC^2 + BD^2 $$

$$\Leftrightarrow 2\cdot (4^2 + 5^2) = AC^2 + 7^2$$

$$\Leftrightarrow AC^2 = 2\cdot (4^2 + 5^2) – 7^2$$

$$\Leftrightarrow AC^2 = 33$$

$$\Leftrightarrow AC = \sqrt{33}.$$

Bài tập 6 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC$ có $a = 15,$ $b = 20,$ $c = 25.$

a) Tính diện tích tam giác $ABC.$

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Giải

a) Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{a+b+c}{2} = 30.$

Áp dụng công thức Heron, ta được:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$\;\;\;\; = \sqrt{30 (30 – 15)(30 – 20)(30-25)} = 150.$$

b) Ta có:

$$S = \frac{abc}{4R}$$

Suy ra:

$$R = \frac{abc}{4S}$$

$$\;\;\;\; = \frac{15\cdot 20\cdot 25}{4\cdot 150} = \frac{25}{2}.$$

Bài tập 7 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng:

$$cotA + cotB+ cotC = \frac{R(a^2 + b^2 + c^2)}{abc}.$$

Giải

Ta có:

$$cosA = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc};$$

$$sinA = \frac{a}{2R}.$$

Do đó:

$$cotA = \frac{cosA}{sinA} = \frac{R(b^2 + c^2 – a^2)}{abc}.$$

Chứng minh tương tự vậy, ta cũng có:

$$cotB = \frac{R(c^2 + a^2 – b^2)}{abc};$$

$$cot C = \frac{R(a^2 + b^2 – c^2)}{abc}.$$

Suy ra:

$$cotA+ cotB + cotC = \frac{R(a^2 + b^2 + c^2)}{abc}.$$

Bài tập 8 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Tính khoảng cách $AB$ giữa hai nóc tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là $370\;km,$ $350\;km$ và góc nhìn từ vệ tinh đến $A$ và $B$ là $2,1^o.$

Bài tập 8 - Trang 79 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Giải

Gọi $C$ là vị trí của vệ tinh.

Bài tập 8 - Trang 79 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Áp dụng định lý cosin:

$$AB^2 = CA^2 + CB^2 – 2\cdot CA\cdot CB\cdot cosC$$

$$\;\;\;\; = 370^2 + 350^2 – 2\cdot 370\cdot 350\cdot cos\;2,1^o$$

$$\;\;\;\; \approx 574.$$

Suy ra: $AB \approx \sqrt{574}\approx 24\;(km).$

Bài tập 9 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Hai chiếc tàu thủy $P$ và $Q$ cách nhau $300\;m$ và thẳng hàng với chân $B$ của tháp hải đăng $AB$ ở trên bờ biển (Hình 2). Từ $P$ và $Q,$ người ta nhìn thấy tháp hải đăng $AB$ dưới các góc $\widehat{BPA} = 35^o$ và $\widehat{BQA} = 48^o.$ Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Bài tập 9 - Trang 79 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Giải

Ta cần tính độ dài $AB.$

Vì $\widehat{AQB}$ là góc ngoài tại đỉnh $Q$ của tam giác $AQP$ nên:

$$\widehat{APQ} + \widehat{PAQ} = \widehat{AQB}$$

Suy ra:

$$\widehat{PAQ} = \widehat{AQB} – \widehat{APQ}$$

$$\;\;\;\; = 48^o – 35^o = 13^o.$$

Áp dụng định lý sin cho tam giác $APQ,$ ta được:

$$\frac{AQ}{sin\;\widehat{APQ}} = \frac{PQ}{sin\;\widehat{PAQ}}$$

Suy ra:

$$AQ = \frac{PQ}{sin\;\widehat{PAQ}}\cdot sin\;\widehat{APQ}$$

$$\;\;\;\; = \frac{300}{sin\;13^o} \cdot sin\;35^o \approx 765\;(m).$$

Tam giác $ABQ$ vuông tại $B$ nên:

$$AB = AQ\cdot sin\;\widehat{AQB}$$

$$\;\;\;\; \approx 765\cdot sin\;48^o \approx 569\;(m).$$

Bài tập 10 (Trang 79 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm $A, B$ trên mặt đất có khoảng cách $AB = 12\;m$ cùng thẳng hàng với chân $C$ của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là $h = 1,2\;m.$ Gọi $D$ là đỉnh tháp và hai điểm $A_1, B_1$ cùng thẳng hàng với $C_1$ thuộc chiều cao $CD$ của tháp. Người ta đo được $\widehat{DA_1C_1} = 49^o,$ $\widehat{DB_1C_1} = 35^o.$ Tính chiều cao $CD$ của tháp.

Bài tập 10 - Trang 79 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Giải

Ta có:

$$\widehat{A_1DB_1} = \widehat{DA_1C_1} – \widehat{DB_1A_1}$$

$$\;\;\;\; = 49^o – 35^o = 14^o.$$

$$A_1B_1 = AB = 12\;m.$$

Áp dụng định lý sin cho tam giác $DA_1B_1,$ ta được:

$$\frac{DA_1}{sinB_1} = \frac{A_1B_1}{sinD}$$

Suy ra:

$$DA_1 = \frac{A_1B_1}{sinD}\cdot sinB_1$$

$$\;\;\;\; = \frac{12}{sin\;14^o}\cdot sin\;35^o \approx 28,45.$$

Xét tam giác $DA_1C_1$ vuông tại $C_1,$ ta có:

$$DC_1 = DA_1\cdot sin\;\widehat{DA_1C_1}$$

$$\;\;\;\; \approx 28,45\cdot sin\;49^o \approx 21,47.$$

Do đó:

$$CD = DC_1 + C_1C$$

$$\;\;\;\; \approx 21,47 + 1,2 = 22,67\;(m).$$

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.