Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 4. (bộ Chân trời sáng tạo)

Giải

Áp dụng định lý cosin:

$$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cdot cosC$$

$$\;\;\;\; = 49,4^2 + 26,4^2 – 2\cdot 49,4\cdot 26,4\cdot cos\;47^ 20\\’$$

$$\;\;\;\; \approx 1369,578$$

Suy ra: $c\approx 37.$

Áp dụng định lý sin:

$$\frac{a}{sinA} = \frac{c}{sinC}$$

Suy ra:

$$sinA = \frac{a\cdot sinC}{c}$$

$$\;\;\;\; \approx \frac{49,4\cdot sin\;47^o 20\\’}{37} \approx 0,9817$$

$$\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{A} \approx 79^o 2\\’.$$

Do đó:

$$\widehat{B} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{C}$$

$$\;\;\;\; \approx 180^o – 79^o 2\\’ – 47^o 20\\’$$

$$\;\;\;\; = 53^o 38\\’.$$

Giải

Áp dụng hệ quả của định lý cosin:

$$cosA = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$

$$\;\;\;\; = \frac{13^2 + 15^2 – 24^2}{2\cdot 13\cdot 15} = \frac{-7}{15}$$

$$\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{A} \approx 118^o.$$

$$cosB = \frac{c^2 + a^2 – b^2}{2ca}$$

$$\;\;\;\; = \frac{15^2 + 24^2 – 13^2}{2\cdot 15\cdot 24} = \frac{79}{90}$$

$$\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{B} \approx 29^o.$$

Do đó:

$$\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B}$$

$$\;\;\;\; \approx 180^o – 118^o – 29^o = 33^o.$$

Giải

a) Ta có:

$$cosC = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}$$

$$\;\;\;\; = \frac{8^2 + 10^2 – 13^2}{2\cdot 8\cdot 10} = \frac{-1}{32} < 0.$$

Vậy $cosC < 0,$ nên $\widehat{C}$ là góc tù.

b)

+) Tính $AM:$

Vì $AM$ là trung tuyến nên $AM$ là trung điểm của $BC.$ Do đó:

$$MC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4.$$

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $AMC,$ ta có:

$$AM^2 = CA^2 + CM^2 – 2\cdot CA\cdot CM\cdot cosC$$

$$\;\;\;\; = 10^2 + 4^2 – 2\cdot 10\cdot 4\cdot \frac{-1}{32}$$

$$\;\;\;\; = \frac{237}{2}$$

Suy ra: $AM = \frac{\sqrt{474}}{2}.$

+) Tính diện tích tam giác:

Ta có nửa chu vi tam giác là: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{31}{2}.$

Áp dụng công thức Heron, ta tính được diện tích tam giác là:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \approx 39,98.$$

+) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:

Ta có:

$$S = \frac{abc}{4R}$$

Suy ra:

$$R = \frac{abc}{4S} \approx 6,5.$$

c)

Ta có: $AD = 2\cdot CA = 2\cdot 10 = 20;$ $AB = c = 13;$

Áp dụng hệ quả của định lý cosin cho tam giác $ABC,$ ta được:

$$cos\;\widehat{DAB} = \frac{AC^2 + AB^2 – CB^2}{2\cdot AC\cdot AB}$$

$$\;\;\;\; = \frac{10^2 + 13^2 – 8^2}{2\cdot 10\cdot 13} = \frac{41}{52}$$

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABD,$ ta được:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 – 2\cdot AB\cdot AD\cdot cos\;\widehat{DAB}$$

$$\;\;\;\; = 13^2 + 20^2 – 2\cdot 13\cdot 20\cdot \frac{41}{52} = 159$$

Suy ra: $BD = \sqrt{159} \approx 12,6.$

Giải

a)

+) Tính $a:$

Áp dụng định lý cosin:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cdot cosA$$

$$\;\;\;\; = 8^2 + 5^2 – 2\cdot 8\cdot 5\cdot cos\;120^o$$

$$\;\;\;\; = 129.$$

Suy ra: $a = \sqrt{129}.$

+) Tính $\widehat{B}:$

Áp dụng định lý sin:

$$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$$

Suy ra:

$$sinB = \frac{b\cdot sinA}{a}$$

$$\;\;\;\; = \frac{8\cdot sin\;120^o}{\sqrt{129}} = \frac{4\sqrt{43}}{43}.$$

Do đó: $\widehat{B} \approx 37^o 35\\’.$

+) Tính $\widehat{C}:$

Ta có:

$$\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B}$$

$$\;\;\;\; \approx 180^o – 120^o – 37^o 35\\’ = 22^o 25\\’.$$

b) Diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2}bc\cdot sinA$$

$$\;\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot sin\;120^o = 10\sqrt{3}.$$

c)

+) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:

Ta có:

$$S=\frac{abc}{4R}$$

Suy ra:

$$R = \frac{abc}{4S}$$

$$\;\;\;\; = \frac{\sqrt{129}\cdot 8\cdot 5}{4\cdot 10\sqrt{3}} = \sqrt{43}.$$

+) Tính đường cao $AH:$

Ta có:

$$S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$$

Suy ra:

$$h_a = \frac{2S}{a}$$

$$\;\;\;\; = \frac{2\cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{129}} = \frac{20\sqrt{43}}{43}.$$

Vậy: $AH = h_a = \frac{29\sqrt{43}}{43}.$

Giải

a) Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC,$ ta được:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB$ (1)

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABD,$ ta được:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 – 2\cdot AB\cdot AD\cdot cosA$$

Ta lại có: $AD = BC;$ $cosA = cos(180^o – B) = -cosB.$

Do đó:

$BD^2 = AB^2 + BC^2 – 2\cdot AB\cdot BC\cdot (-cosB)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$$AC^2 + BD^2$$

$$= (AB^2 + BC^2 – 2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB) + ( AB^2 + BC^2 – 2\cdot AB\cdot BC\cdot (-cosB) )$$

$$=2\cdot (AB^2 + BC^2).$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Thay số vào công thức ở câu a):

$$ 2\cdot (AB^2 + BC^2) = AC^2 + BD^2 $$

$$\Leftrightarrow 2\cdot (4^2 + 5^2) = AC^2 + 7^2$$

$$\Leftrightarrow AC^2 = 2\cdot (4^2 + 5^2) – 7^2$$

$$\Leftrightarrow AC^2 = 33$$

$$\Leftrightarrow AC = \sqrt{33}.$$

Giải

a) Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{a+b+c}{2} = 30.$

Áp dụng công thức Heron, ta được:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$\;\;\;\; = \sqrt{30 (30 – 15)(30 – 20)(30-25)} = 150.$$

b) Ta có:

$$S = \frac{abc}{4R}$$

Suy ra:

$$R = \frac{abc}{4S}$$

$$\;\;\;\; = \frac{15\cdot 20\cdot 25}{4\cdot 150} = \frac{25}{2}.$$

Giải

Ta có:

$$cosA = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc};$$

$$sinA = \frac{a}{2R}.$$

Do đó:

$$cotA = \frac{cosA}{sinA} = \frac{R(b^2 + c^2 – a^2)}{abc}.$$

Chứng minh tương tự vậy, ta cũng có:

$$cotB = \frac{R(c^2 + a^2 – b^2)}{abc};$$

$$cot C = \frac{R(a^2 + b^2 – c^2)}{abc}.$$

Suy ra:

$$cotA+ cotB + cotC = \frac{R(a^2 + b^2 + c^2)}{abc}.$$

Giải

Gọi $C$ là vị trí của vệ tinh.

Áp dụng định lý cosin:

$$AB^2 = CA^2 + CB^2 – 2\cdot CA\cdot CB\cdot cosC$$

$$\;\;\;\; = 370^2 + 350^2 – 2\cdot 370\cdot 350\cdot cos\;2,1^o$$

$$\;\;\;\; \approx 574.$$

Suy ra: $AB \approx \sqrt{574}\approx 24\;(km).$

Giải

Ta cần tính độ dài $AB.$

Vì $\widehat{AQB}$ là góc ngoài tại đỉnh $Q$ của tam giác $AQP$ nên:

$$\widehat{APQ} + \widehat{PAQ} = \widehat{AQB}$$

Suy ra:

$$\widehat{PAQ} = \widehat{AQB} – \widehat{APQ}$$

$$\;\;\;\; = 48^o – 35^o = 13^o.$$

Áp dụng định lý sin cho tam giác $APQ,$ ta được:

$$\frac{AQ}{sin\;\widehat{APQ}} = \frac{PQ}{sin\;\widehat{PAQ}}$$

Suy ra:

$$AQ = \frac{PQ}{sin\;\widehat{PAQ}}\cdot sin\;\widehat{APQ}$$

$$\;\;\;\; = \frac{300}{sin\;13^o} \cdot sin\;35^o \approx 765\;(m).$$

Tam giác $ABQ$ vuông tại $B$ nên:

$$AB = AQ\cdot sin\;\widehat{AQB}$$

$$\;\;\;\; \approx 765\cdot sin\;48^o \approx 569\;(m).$$

Giải

Ta có:

$$\widehat{A_1DB_1} = \widehat{DA_1C_1} – \widehat{DB_1A_1}$$

$$\;\;\;\; = 49^o – 35^o = 14^o.$$

$$A_1B_1 = AB = 12\;m.$$

Áp dụng định lý sin cho tam giác $DA_1B_1,$ ta được:

$$\frac{DA_1}{sinB_1} = \frac{A_1B_1}{sinD}$$

Suy ra:

$$DA_1 = \frac{A_1B_1}{sinD}\cdot sinB_1$$

$$\;\;\;\; = \frac{12}{sin\;14^o}\cdot sin\;35^o \approx 28,45.$$

Xét tam giác $DA_1C_1$ vuông tại $C_1,$ ta có:

$$DC_1 = DA_1\cdot sin\;\widehat{DA_1C_1}$$

$$\;\;\;\; \approx 28,45\cdot sin\;49^o \approx 21,47.$$

Do đó:

$$CD = DC_1 + C_1C$$

$$\;\;\;\; \approx 21,47 + 1,2 = 22,67\;(m).$$