Giải Toán 10 (t1) [Chương 5] Bài 2 – TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ (bộ Chân trời sáng tạo)

Giải

Ta có: $\vec{a} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}.$

$ \vec{b} = \overrightarrow{DB} +\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC}.$

Mà hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cũng cùng hướng.

Giải

Gọi $I$ là trung điểm của $BC.$ Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $I.$

Khi đó, $ABDC$ là hình bình hành.

Suy ra: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}.$

Do đó:

$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}|$

$\;\;\;\;\; = AD = 2AI.$

Vì $AI$ là trung tuyến của tam giác đều $ABC$ nên $AI$ cũng là đường cao của tam giác $ABC.$ Suy ra: $AI = \sqrt{AB^2 – BI^2} = \sqrt{a^2 – \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = a\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Vậy $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 2AI = 2\cdot a\dfrac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}.$

Giải

Biểu diễn vận tốc của máy bay bằng vectơ $\overrightarrow{AB}.$ Biểu diễn vận tốc gió bằng vectơ $\overrightarrow{BC}.$

Khi đó, tổng của hai vectơ trên là $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.$

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$

$\;\;\;\;\;= \sqrt{150^2 + 30^2} = 30\sqrt{26} \approx 153.$

Vậy độ dài vectơ tổng của hai vectơ kể trên là khoảng $153 \;km/h.$

Giải

Đặt $\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OB}$ thì $OA = |\overrightarrow{F_1}| = 400\;(N),$ $OB = |\overrightarrow{F_2}| = 600\;(N),$ $\widehat{AOB} = 60^o.$

Dựng hình bình hành $OACB.$

Ta có:

$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}.$

Vậy $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{OC}.$

Vì $OACB$ là hình bình hành nên $AC = OB = 600\;(N)$ và $\widehat{OAC} = 180^o – \widehat{AOB} = 180^o – 60^o = 120^o.$

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $OAC,$ ta có:

$$OC^2 = AO^2 + AC^2 – 2AO\cdot AC\cdot cosA$$

$$\;\;\;\;\; = 400^2 + 600^2 – 2\cdot 400\cdot 600\cdot cos\;120^o$$

$$\;\;\;\;\; = 760\;000.$$

Suy ra: $OC = \sqrt{760\;000} \approx 872.$

Vậy độ lớn của vectơ hợp lực là: $|\overrightarrow{F}| = OC \approx 872\;N.$

Giải

a) $\vec{a} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{CB}$

$\;\;\;\;\; = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) + \overrightarrow{BD}$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AD}.$

Vậy $|\vec{a}| = |\overrightarrow{AD}| = AD = 1.$

b) $\vec{b} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{DA}$

$\;\;\;\;\; = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA})$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA}$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AC} + \vec{0}$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AC}.$

Vậy $|\vec{b}| = |\overrightarrow{AC}| = AC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2}.$

Giải

a) $\vec{a} = \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{DB}.$

Vậy $|\vec{a}| = |\overrightarrow{DB}| = DB = \sqrt{2}.$

b) $\vec{b} = (\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{DB} – \overrightarrow{DC})$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AB}$

Vậy $|\vec{b}| = |\overrightarrow{AB}| = AB = 1.$

Giải

a) Giả sử có điểm $M$ thỏa mãn: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}\;\;(1)$

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ADB.$ Ta có: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}.$

Ta có:

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB}$

$\;\;\;\;\; = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{GD}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB})$

$\;\;\;\;\; = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG}) + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{GB})$

$\;\;\;\;\; = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG}) + \vec{0}$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG}$

Vậy $(1)$ tương đương với: $ \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG} = \vec{0}.$

Do đó: $\overrightarrow{MG} = \vec{0}.$

Suy ra: $M \equiv G.$

Vậy điểm $M$ cần tìm là trọng tâm của tam giác $ADB.$

b) Giả sử có điểm $N$ thỏa mãn: $\overrightarrow{ND} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = \vec{0} \;\;(2)$

Gọi $H$ là trọng tâm của tam giác $DBC.$ Ta có: $\overrightarrow{HD} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \vec{0}.$

Làm tương tự câu a), ta có $(2)$ tương đương với: $N \equiv H.$

Vậy điểm $N$ cần tìm là trọng tâm của tam giác $DBC.$

c) Giả sử có điểm $P$ thỏa mãn: $\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{PN} = \vec{0}\;\;(a)$

$O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $BD.$ Do đó, $AO$ là trung tuyến của tam giác $ABD.$ Suy ra: $M$ thuộc đoạn $OA$ và $OM = \dfrac{1}{3}OA \;\; (3)$

$O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $BD.$ Do đó, $CO$ là trung tuyến của tam giác $DBC.$ Suy ra: $N$ thuộc đoạn $OC$ và $ON = \dfrac{1}{3}OC\;\;(4)$

$O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $AC.$ Do đó, $OA = OC\;\;(5)$

Từ $(3), (4), (5)$ suy ra: $OM = ON.$ Vậy $O$ là trung điểm của $MN.$ Do đó: $\overrightarrow{OM} +\overrightarrow{ON} = \vec{0}\;\;(b)$

Từ $(a)$ và $(b)$ suy ra: $P \equiv O.$

Giải

a) Chứng minh: $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} = \vec{0}.$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BA// DC.$ Do đó, $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương. Xét về chiều thì $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}$ ngược chiều nhau. Do đó, $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}$ ngược hướng.

Thêm nữa, cũng vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BA = DC.$

Vậy $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó: $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} = \vec{0}.$

b) Chứng minh: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MD}.$

Ta có:

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}$

$= \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{DC}$

$= (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}) + (\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{DC})$

$= (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}) + \vec{0}$

$= \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MD}.$

Ta đã có điều phải chứng minh.

Giải

a) $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{CD}+ \overrightarrow{DA}$

$=\overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{CD}+ \overrightarrow{DA}$

$=\overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DA}$

$=\overrightarrow{AA}$

$=\vec{0}.$

b) $ \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}.$

c) $ \overrightarrow{BA}- \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$

Giải

a) $\overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$

$\Rightarrow | \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AC} | = | \overrightarrow{BC} | = BC = a.$

b) Gọi $E$ là trung điểm của $BC$ và $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $E.$ Khi đó, $E$ vừa là trung điểm của $BC,$ vừa là trung điểm của $AD$ nên $ABDC$ là hình bình hành.

Do $ABDC$ là hình bình hành nên: $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$

Suy ra: $| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}| = AD = 2AE \;\;(1)$

Mà $AE$ là trung tuyến của tam giác đều $ABC$ nên nó cũng là đường cao của tam giác $ABC.$ Suy ra: $AE = \sqrt{AC^2 – CE^2} = \sqrt{a^2 – \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\;\;(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $ | \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}| = 2\dfrac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}.$

c) $ \overrightarrow{BA} – \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}$

Do đó: $| \overrightarrow{BA} – \overrightarrow{BC} | = |\overrightarrow{CA}| = CA = a.$

Giải

a) Ta có:

$\overrightarrow{OA} – \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\;\;(1)$

$\overrightarrow{OD}- \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CD}\;\;(2)$

Mà $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\;\;(3)$

Từ $(1), (2), (3)$ suy ra: $ \overrightarrow{OA} – \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}- \overrightarrow{OC} .$

Ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có:

$ \overrightarrow{OA} – \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{DC} $

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC}.$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó: $ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} = \vec{0}.$

Vậy $ \overrightarrow{OA} – \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{DC} = \vec{0}.$

Ta có điều phải chứng minh.

Giải

Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1} +\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3} = \vec{0}.$ Suy ra: $\overrightarrow{F_3} = -(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}).$ Do đó: $|\overrightarrow{F_3}| = |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}|.$

Cường độ $\overrightarrow{F_1},$ $\overrightarrow{F_2}$ đều bằng $10\;N$ nên $|\overrightarrow{F_1}| = \overrightarrow{F_2}| = 10\;N.$

Dựng hình vuông $MADB$ ta có:

$|\overrightarrow{F_3}| = |\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$

$\;\;\;\;\; = |\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MD}| = MD = 10\sqrt{2}.$

Giải

$|\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F}|\cdot cos\;30^o = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$

$|\overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{F}| \cdot cos\;60^o = \dfrac{a}{2}.$

Giải

$\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KC} = \vec{0}$ nên $K$ là trung điểm của $AC.$ Do đó: $|\overrightarrow{KA}| = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \vec{0}$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

$\overrightarrow{HA} +\overrightarrow{HD}+ \overrightarrow{HC} =\vec{0}$ nên $H$ là trọng tâm của tam giác $ACD.$

Do đó: $|\overrightarrow{GH}| = GH = GK + KH = \dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ ta có: $AM = \sqrt{AB^2 + \left(\dfrac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$

Khi đó, $|\overrightarrow{AG}| = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{a\sqrt{5}}{3}.$

Giải

Độ dài vectơ tổng là: $\sqrt{30^2 + 10^2} \approx 31,62\;(km/h).$