Giải Toán 10 (t1) [Chương 5] Bài 3 – TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ (bộ Chân trời sáng tạo)

Giải

a)

b) Mỗi ô vuông có cạnh bằng $1$ nên: $|\vec{a}| = 2,$ $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ và $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}.$

Do đó:

$|3\vec{b}| =|3|\cdot |\vec{b}| = 3|\vec{b}| = 3\sqrt{2}.$

$|-3\vec{b}| =|-3|\cdot |\vec{b}|= 3|\vec{b}| = 3\sqrt{2}. $

$|2\vec{a}+2\vec{b}| = |2(\vec{a} + \vec{b})| = 2|\vec{a}+\vec{b}| = 2\sqrt{10}.$

Giải

$G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA} +\overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MG}) +(\overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MG}) +(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MG}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC}) -3\overrightarrow{MG} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Giải

Tàu $A$ và tàu $B$ đi cùng phương, ngược hướng nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ ngược hướng. Do đó, $\vec{b} = k\vec{a}$ với $k < 0\;\;\;(1)$

Theo đề: $|\vec{a}| = 20,$ $|\vec{b}| = 50.$

Vì $\vec{b} = k\vec{a}$ nên $|\vec{b} = |k|\cdot |\vec{a}|$

Do đó: $50 = |k|\cdot 20$ $\Leftrightarrow |k| = \dfrac{5}{2}\;\;\;(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $k = \dfrac{-5}{2}.$

Vậy $\vec{b} = \dfrac{-5}{2}\vec{a}.$

Giải

Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{GA} +\overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GI}.$

Vì $J$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GJ}.$

Theo đề ta có:

$\overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC}+ \overrightarrow{GD}=\vec{0}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{GI} + 2\overrightarrow{GJ} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{GI} = -2\overrightarrow{GJ}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GI} =-\overrightarrow{GJ}$

Do đó, ba điểm $I, J, G$ thẳng hàng.

Giải

a) Vì $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và của $BD.$ Suy ra: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MO}$ và $\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MO}.$

Do đó:

$ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} $

$= (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}) + (\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MD})$

$= 2\overrightarrow{MO} + 2\overrightarrow{MO}$

$= 4\overrightarrow{MO}.$

b) Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.$

Do đó:

$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}$

$= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{AC}$

$= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}$

$= 2\overrightarrow{AC}.$

Giải

a) Ta có:

$\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BD}$

$= (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC}) + (\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD})$

$= (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})$

$= \vec{0} + 2\overrightarrow{MN}$ (Vì $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $CD)$

$= 2\overrightarrow{MN}.$

Ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có:

$ \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BD} $

$= (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})$

$= (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD})$

$= \vec{0}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD})$ (vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai vectơ đối nhau)

$= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}.$

Ta có điều phải chứng minh.

Giải

Ta có: $\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} + 4(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}) = \vec{0}$ $\Leftrightarrow 5\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{AB} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow 5\overrightarrow{MA} = -4\overrightarrow{AB}$ $\Leftrightarrow 5\overrightarrow{MA} = 4\overrightarrow{BA}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = \dfrac{4}{5}\overrightarrow{BA}.$

Do đó, vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{BA}$ cùng phương, cùng hướng và $|\overrightarrow{MA}| = \dfrac{4}{5}|\overrightarrow{BA}|.$

Vậy điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ sao cho $MA = \dfrac{4}{5}BA.$

Giải

Vì $E$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{ME}.$

Vì $F$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{MC}+ \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MF}.$

Vì $G$ là trung điểm của $EF$ nên $\overrightarrow{ME}+ \overrightarrow{MF} = 2\overrightarrow{MG}.$

Vậy:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} +\overrightarrow{MD}$

$= 2\overrightarrow{ME} + 2\overrightarrow{MF}$

$= 2(\overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF})$

$= 2(2\overrightarrow{MG})$

$=4\overrightarrow{MG}.$

Ta có điều phải chứng minh.

Giải

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương, ngược hướng nên: $\vec{b} = k\vec{a},$ với $k<0.$

Suy ra: $|\vec{b}| = |k|\cdot |\vec{a}| = -k\cdot |\vec{a}|\;\;\;(1)$

Theo đề: $|\vec{a}| = 600\;(km/h)$ và $|\vec{b}| = 800\;(km/h).$ Thay vào $(1)$ ta được: $800 = -k\cdot 600.$

Do đó: $k = \dfrac{-800}{600} = \dfrac{-4}{3}.$

Vậy $\vec{b} = \dfrac{-4}{3}\vec{a}.$

Giải

a) Ta có: $\overrightarrow{OA}+ 3\overrightarrow{OB} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} + 3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}) = \vec{0}$ $\Leftrightarrow 4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{AB} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AB} = -4\overrightarrow{OA}$ $\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AB} = 4\overrightarrow{AO}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AO} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}.$

Vậy $O$ nằm giữa $A$ và $B$ sao cho $AO = \dfrac{3}{4}AB.$

b) Ta có:

$\overrightarrow{OA}+ 3\overrightarrow{OB} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MO}) + 3(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MO}) = \vec{0} $

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+ 3\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MO} = \vec{0} $

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+ 3\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MO}$

Ta có điều phải chứng minh.

Giải

a) Điểm $M$ thuộc tia đối của tia $BC$ sao cho $MB = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$

Điểm $N$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AN = 3\overrightarrow{NB}.$

Điểm $P$ là trung điểm của $AC.$

b)

+) $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}$ $= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}.$

+) $\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CP}$ $= \dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}$ $= \dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC} + \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA} – \overrightarrow{BC})$ $= \overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}.$

c) Ta có: $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}$ $= \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\right)$ $= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{MP}.$

Suy ra $M, N, P$ thẳng hàng.