Giải Toán 10 (t1) [Chương 5] Bài 4 – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ (bộ Chân trời sáng tạo)

Chia sẻ nếu thấy hay:

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 4 – Chương 5, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo.

Thực hành 1 (Trang 99 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác đều $ABC$ có $H$ là trung điểm của cạnh $BC.$ Tìm các góc: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}),$ $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}),$ $(\overrightarrow{AH}, \overrightarrow{BC}),$ $(\overrightarrow{BH}, \overrightarrow{BC}),$ $(\overrightarrow{HB}, \overrightarrow{BC}).$

Giải

Thực hành 1 - Trang 99 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC} = 60^o. $

Thực hành 1 - Trang 99 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Dựng điểm $M$ đối xứng với điểm $A$ qua điểm $B.$ Khi đó, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BM}.$

Do đó, $ (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BM}, \overrightarrow{BC}) = \widehat{MBC} = 180^o – 60^o = 120^o.$

Thực hành 1 - Trang 99 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

$AH$ là trung tuyến của tam giác đều $ABC$ nên nó cũng là đường cao của tam giác $ABC.$ Do đó, $AH \perp BC.$

Suy ra: $(\overrightarrow{AH}, \overrightarrow{BC}) = 90^o.$

Thực hành 1 - Trang 99 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Vì $\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $(\overrightarrow{BH}, \overrightarrow{BC}) = 0^o.$

Thực hành 1 - Trang 99 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Vì $\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng nên $(\overrightarrow{HB}, \overrightarrow{BC}) = 180^o.$

Thực hành 2 (Trang 100 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A,$ có cạnh huyền bằng $\sqrt{2}.$ Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC},$ $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC},$ $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}.$

Giải

Thực hành 2 - Trang 100 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat{A} = 90^o$ và $\widehat{B} = \widehat{C} = 45^o.$ Do đó: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 90^o,$ $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}) = 45^o,$ $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) = 45^o.$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và $BC = \sqrt{2}$ nên $AB = AC = 1.$

Vậy ta có:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 1\cdot 1 \cdot cos\;90^o = 0.$

$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}) = 1\cdot \sqrt{2}\cdot cos\;45^o = 1.$

$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) = 1\cdot \sqrt{2}\cdot cos\;45^o = 1.$

Thực hành 3 (Trang 100 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài lần lượt là $3$ và $8$ và có tích vô hướng là $12\sqrt{2}.$ Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}.$

Giải

Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng $12\sqrt{2}$ nên $|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\vec{a}, \vec{b}) = 12\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow 3\cdot 8\cdot cos(\vec{a}, \vec{b}) = 12\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{12\sqrt{2}}{3\cdot 8} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Suy ra: $(\vec{a}, \vec{b}) = 45^o.$

Vận dụng 1 (Trang 100 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là $20\;N$ kéo một vật dịch chuyển một đoạn $50\;m$ cùng hướng với $\overrightarrow{F}.$ Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}.$

Giải

Gọi $\vec{s}$ là vectơ dịch chuyển của vật đó. Theo đề, vật đó dịch chuyển một đoạn $50\;m$ cùng hướng với $\overrightarrow{F}.$ Do đó, $(\overrightarrow{F}, \vec{s})=0^o$ và $|\vec{s}| = 50\;(m).$

Suy ra công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là: $A = \overrightarrow{F}\cdot \vec{s} = |\overrightarrow{F}|\cdot |\vec{s}|\cdot cos(\overrightarrow{F}, \vec{s}) = 20\cdot 50\cdot cos\;0^o = 1\;000 \;(J).$

Thực hành 4 (Trang 101 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a) Tính: $(\vec{i} + \vec{j})^2,$ $(\vec{i} – \vec{j})^2,$ $(\vec{i}+\vec{j})\cdot (\vec{i}-\vec{j}).$

b) Cho $\vec{a} = 2\vec{i}+2\vec{j},$ $\vec{b} = 3\vec{i} – 3\vec{j}.$ Tính tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}$ và tính góc $(\vec{a},\vec{b}).$

Giải

Vì $\vec{i}\perp \vec{j}$ nên $\vec{i}\cdot \vec{j} = 0.$

Vì $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$ nên $\vec{i}^2 = \vec{j}^2 = 1^2 = 1.$

a) Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, ta có:

+) $(\vec{i} + \vec{j})^2$ $= \vec{i}^2 + 2\vec{i}\cdot \vec{j} + \vec{j}^2$ $=1 + 0 + 1 = 2.$

+) $(\vec{i} – \vec{j})^2$ $= \vec{i}^2 – 2\vec{i}\cdot \vec{j} + \vec{j}^2$ $= 1-0+1 = 2.$

+) $(\vec{i}+\vec{j})\cdot (\vec{i}-\vec{j})$ $= \vec{i}^2 – \vec{j}^2 = 1-1=0.$

b) Ta có: $\vec{a} = 2\vec{i}+2\vec{j} = 2(\vec{i}+\vec{j})$ và $\vec{b} = 3\vec{i} – 3\vec{j} = 3(\vec{i}-\vec{j}).$

Do đó:

$\vec{a}\cdot \vec{b}$ $= 2(\vec{i}+\vec{j})\cdot 3(\vec{i} – \vec{j})$ $= 6(\vec{i}+\vec{j})(\vec{i}-\vec{j})$ $= 6\cdot 0 = 0.$

Vì $\vec{a}\cdot \vec{b} = 0$ nên $\vec{a}\cdot \vec{b} = 90^o.$

Vận dụng 2 (Trang 101 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Phân tử sulfur dioxide $(SO_2)$ có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\widehat{OSO}$ gần bằng $120^o.$ Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử $S$ với mỗi nguyên tử $O$ bằng các vectơ $\vec{\mu_1}$ và $\vec{\mu_2}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử $S$ về mỗi nguyên tử $O$ và cùng có độ dài là $1,6$ đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\vec{\mu} = \vec{\mu_1} + \vec{\mu_2}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử $SO_2.$ Tính độ dài của $\vec{\mu}.$

Vận dụng 2 - Trang 101 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Gợi ý

Ta có: $\vec{\mu}^2 = |\vec{\mu}|^2$ nên ta có thể thông qua bình phương vô hướng của vectơ để tính được độ dài của vectơ đó.

Giả sử ta tính được $\vec{\mu}^2 = a.$ Suy ra: $|\vec{\mu}|^2 = \vec{\mu}^2 = a.$ $\Rightarrow |\vec{\mu}| = \sqrt{a}.$

Giải

Ta có: $\vec{\mu_1}\cdot \vec{\mu_2} = |\vec{\mu_1}|\cdot |\vec{\mu_2}|\cdot cos(\vec{\mu_1},\vec{\mu_2}) = 1,6\cdot 1,6\cdot cos\;120^o = \dfrac{-32}{25}.$

Do đó:

$|\vec{\mu}|^2 = \vec{\mu}^2 = (\vec{\mu_1} + \vec{\mu_2})^2$ $= \vec{\mu_1}^2 + 2\vec{\mu_1}\cdot \vec{\mu_2} + \vec{\mu_2}^2$ $= |\vec{\mu_1}|^2 + 2\vec{\mu_1}\cdot \vec{\mu_2} + |\vec{\mu_2}|^2$ $= 1,6^2 + 2\cdot \dfrac{-32}{25} + 1,6^2$ $= \dfrac{64}{25}.$

Suy ra: $|\vec{\mu}| = \sqrt{\dfrac{64}{25}} = \dfrac{8}{5}.$

Lưu ý

Ta có thể giải bài toán này bằng cách dùng Hình học phẳng:

Vận dụng 2 - Trang 101 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Hình bình hành $SO_1S\\’O_2$ có hai cạnh liên tiếp bằng nhau nên là một hình thoi. Suy ra $SO_1 = S\\’O_1.$ Do đó $SO_1S\\’$ là tam giác cân.

Tam giác cân $SO_1S\\’$ có $\widehat{S\\’SO_1} = 120^o : 2 = 60^o$ nên là tam giác đều. Suy ra: $SS\\’ = SO_1 = SO_2.$ Tức là: $|\vec{\mu}| = |\vec{\mu_1}| = |\vec{\mu_2}| = 1,6.$

Bài tập 1 (Trang 101 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a.$ Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD},$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC},$ $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB},$ $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}.$

Giải

Bài tập 1 - Trang 101 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

+) $AB\perp AD$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD} = 0.$

+) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ $= |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ $= a\cdot a\sqrt{2} \cdot cos\;45^o$ $= a^2.$

+) $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}$ $= |\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CB})$ $= a\sqrt{2}\cdot a\cdot cos\;(180^o – 45^o)$ $= a^2\sqrt{2}\cdot cos\;135^o$ $= -a^2.$

+) $AC\perp BD$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD} = 0.$

Bài tập 2 (Trang 101 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho hình chữ nhật $ABCD$ có tâm $O$ và cho $AD = a,$ $AB = 2a.$ Tính:

a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AO};$

b) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}.$

Giải

Bài tập 2 - Trang 101 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AB = 2a,$ $BC = AD = a$ nên: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5},$ và $cos\widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{2a}{a\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}.$

Suy ra: $|\overrightarrow{AO}| = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$ và $cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO}) = cos\widehat{BAC} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}.$

Vậy ta tính được tích vô hướng:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AO} = |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AO}|\cdot cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO}) = 2a\cdot \dfrac{a\sqrt{5}}{2}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} = 2a^2.$

b) Vì $AB\perp AD$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD} = 0.$

Bài tập 3 (Trang 101 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho ba điểm $O, A, B$ thẳng hàng và $OA = a,$ $OB = b.$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm $O$ nằm ngoài đoạn thẳng $AB.$

b) Điểm $O$nằm trong đoạn thẳng $AB.$

Giải

a) Khi $O$ nằm ngoài đoạn thẳng $AB$ thì $\overrightarrow{OA},$ $\overrightarrow{OB}$ cùng hướng.

Bài tập 3 - Trang 101 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Do đó, $(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = 0^o.$

Vậy: $ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ $= |\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}| \cdot cos(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$ $= a\cdot b\cdot cos\;0^o$ $= ab.$

b) Khi $O$ nằm trong đoạn thẳng $AB$ thì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng.

Bài tập 3 - Trang 101 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Do đó: $(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = 180^o.$

Vậy: $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|\cdot cos(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = a\cdot b\cdot cos\;180^o = -ab.$

Bài tập 4 (Trang 101 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho đoạn thẳng $AB$ có $O$ là trung điểm và cho điểm $M$ tùy ý. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB} = MO^2 – OA^2.$

Hướng dẫn

Ta tìm cách biến đổi vế trái thành vế phải. Do đó ta phân tích các vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ (ở vế trái) theo hai vectơ $\overrightarrow{MO}$ và $\overrightarrow{OA}$ (ở vế phải).

Lưu ý rằng “bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài”: $\overrightarrow{MO}^2 = MO^2,$ $\overrightarrow{OA}^2 = OA^2.$

Giải

Vì $O$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{OB}= – \overrightarrow{OA}.$

Ta có:

$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ $=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})$ $= (\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{MO} – \overrightarrow{OA})$ $= \overrightarrow{MO}^2 – \overrightarrow{OA}^2$ $= MO^2 – OA^2.$

Ta có điều phải chứng minh.

Bài tập 5 (Trang 101 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là $90\;N$ làm một vật dịch chuyển một đoạn $100\;m.$ Biết lực $\overrightarrow{F}$ hợp với hướng dịch chuyển một góc $60^o.$ Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}.$

Giải

Gọi vectơ dịch chuyển là $\vec{d}$ thì $(\overrightarrow{F}, \vec{d}) = 60^o$ và $|\vec{d}| = 100\;(m).$

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là:

$A = \overrightarrow{F}\cdot \vec{d} = |\overrightarrow{F}|\cdot |\vec{d}|\cdot cos(\overrightarrow{F}, \vec{d}) = 90\cdot 100\cdot cos\;60^o = 4\;500\;(J).$

Bài tập 6 (Trang 101 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là $3$ và $4$ và có tích vô hướng là $-6.$ Tính góc giữa hai vectơ đó.

Giải

Gọi $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ có độ dài lần lượt là $3$ và $4$ (mà đề bài nói tới). Tích vô hướng của chúng bằng $-6$ nên ta có:

$\vec{a}\cdot \vec{b} = -6$ $\Leftrightarrow 3\cdot 4\cdot cos(\vec{a}, \vec{b}) = -6$ $\Leftrightarrow cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{-1}{2}$

Do đó: $(\vec{a}, \vec{b}) = 120^o.$

Chia sẻ nếu thấy hay:
0 0 đánh giá
Đánh giá bài viết
Theo dõi
Thông báo của
guest

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

0 Góp ý
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Rất thích suy nghĩ của bạn, hãy bình luận.x