Giải Toán 10 (t1) [Chương 5] Bài 4 – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ (bộ Chân trời sáng tạo)

Giải

$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC} = 60^o. $

Dựng điểm $M$ đối xứng với điểm $A$ qua điểm $B.$ Khi đó, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BM}.$

Do đó, $ (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BM}, \overrightarrow{BC}) = \widehat{MBC} = 180^o – 60^o = 120^o.$

$AH$ là trung tuyến của tam giác đều $ABC$ nên nó cũng là đường cao của tam giác $ABC.$ Do đó, $AH \perp BC.$

Suy ra: $(\overrightarrow{AH}, \overrightarrow{BC}) = 90^o.$

Vì $\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $(\overrightarrow{BH}, \overrightarrow{BC}) = 0^o.$

Vì $\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng nên $(\overrightarrow{HB}, \overrightarrow{BC}) = 180^o.$

Giải

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat{A} = 90^o$ và $\widehat{B} = \widehat{C} = 45^o.$ Do đó: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 90^o,$ $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}) = 45^o,$ $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) = 45^o.$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và $BC = \sqrt{2}$ nên $AB = AC = 1.$

Vậy ta có:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 1\cdot 1 \cdot cos\;90^o = 0.$

$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}) = 1\cdot \sqrt{2}\cdot cos\;45^o = 1.$

$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) = 1\cdot \sqrt{2}\cdot cos\;45^o = 1.$

Giải

Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng $12\sqrt{2}$ nên $|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\vec{a}, \vec{b}) = 12\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow 3\cdot 8\cdot cos(\vec{a}, \vec{b}) = 12\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{12\sqrt{2}}{3\cdot 8} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Suy ra: $(\vec{a}, \vec{b}) = 45^o.$

Giải

Gọi $\vec{s}$ là vectơ dịch chuyển của vật đó. Theo đề, vật đó dịch chuyển một đoạn $50\;m$ cùng hướng với $\overrightarrow{F}.$ Do đó, $(\overrightarrow{F}, \vec{s})=0^o$ và $|\vec{s}| = 50\;(m).$

Suy ra công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là: $A = \overrightarrow{F}\cdot \vec{s} = |\overrightarrow{F}|\cdot |\vec{s}|\cdot cos(\overrightarrow{F}, \vec{s}) = 20\cdot 50\cdot cos\;0^o = 1\;000 \;(J).$

Giải

Vì $\vec{i}\perp \vec{j}$ nên $\vec{i}\cdot \vec{j} = 0.$

Vì $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$ nên $\vec{i}^2 = \vec{j}^2 = 1^2 = 1.$

a) Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, ta có:

+) $(\vec{i} + \vec{j})^2$ $= \vec{i}^2 + 2\vec{i}\cdot \vec{j} + \vec{j}^2$ $=1 + 0 + 1 = 2.$

+) $(\vec{i} – \vec{j})^2$ $= \vec{i}^2 – 2\vec{i}\cdot \vec{j} + \vec{j}^2$ $= 1-0+1 = 2.$

+) $(\vec{i}+\vec{j})\cdot (\vec{i}-\vec{j})$ $= \vec{i}^2 – \vec{j}^2 = 1-1=0.$

b) Ta có: $\vec{a} = 2\vec{i}+2\vec{j} = 2(\vec{i}+\vec{j})$ và $\vec{b} = 3\vec{i} – 3\vec{j} = 3(\vec{i}-\vec{j}).$

Do đó:

$\vec{a}\cdot \vec{b}$ $= 2(\vec{i}+\vec{j})\cdot 3(\vec{i} – \vec{j})$ $= 6(\vec{i}+\vec{j})(\vec{i}-\vec{j})$ $= 6\cdot 0 = 0.$

Vì $\vec{a}\cdot \vec{b} = 0$ nên $\vec{a}\cdot \vec{b} = 90^o.$

Gợi ý

Ta có: $\vec{\mu}^2 = |\vec{\mu}|^2$ nên ta có thể thông qua bình phương vô hướng của vectơ để tính được độ dài của vectơ đó.

Giả sử ta tính được $\vec{\mu}^2 = a.$ Suy ra: $|\vec{\mu}|^2 = \vec{\mu}^2 = a.$ $\Rightarrow |\vec{\mu}| = \sqrt{a}.$

Giải

Ta có: $\vec{\mu_1}\cdot \vec{\mu_2} = |\vec{\mu_1}|\cdot |\vec{\mu_2}|\cdot cos(\vec{\mu_1},\vec{\mu_2}) = 1,6\cdot 1,6\cdot cos\;120^o = \dfrac{-32}{25}.$

Do đó:

$|\vec{\mu}|^2 = \vec{\mu}^2 = (\vec{\mu_1} + \vec{\mu_2})^2$ $= \vec{\mu_1}^2 + 2\vec{\mu_1}\cdot \vec{\mu_2} + \vec{\mu_2}^2$ $= |\vec{\mu_1}|^2 + 2\vec{\mu_1}\cdot \vec{\mu_2} + |\vec{\mu_2}|^2$ $= 1,6^2 + 2\cdot \dfrac{-32}{25} + 1,6^2$ $= \dfrac{64}{25}.$

Suy ra: $|\vec{\mu}| = \sqrt{\dfrac{64}{25}} = \dfrac{8}{5}.$

Lưu ý

Ta có thể giải bài toán này bằng cách dùng Hình học phẳng:

Hình bình hành $SO_1S\\’O_2$ có hai cạnh liên tiếp bằng nhau nên là một hình thoi. Suy ra $SO_1 = S\\’O_1.$ Do đó $SO_1S\\’$ là tam giác cân.

Tam giác cân $SO_1S\\’$ có $\widehat{S\\’SO_1} = 120^o : 2 = 60^o$ nên là tam giác đều. Suy ra: $SS\\’ = SO_1 = SO_2.$ Tức là: $|\vec{\mu}| = |\vec{\mu_1}| = |\vec{\mu_2}| = 1,6.$

Giải

+) $AB\perp AD$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD} = 0.$

+) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ $= |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ $= a\cdot a\sqrt{2} \cdot cos\;45^o$ $= a^2.$

+) $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}$ $= |\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CB})$ $= a\sqrt{2}\cdot a\cdot cos\;(180^o – 45^o)$ $= a^2\sqrt{2}\cdot cos\;135^o$ $= -a^2.$

+) $AC\perp BD$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD} = 0.$

Giải

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AB = 2a,$ $BC = AD = a$ nên: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5},$ và $cos\widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{2a}{a\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}.$

Suy ra: $|\overrightarrow{AO}| = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$ và $cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO}) = cos\widehat{BAC} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}.$

Vậy ta tính được tích vô hướng:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AO} = |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AO}|\cdot cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO}) = 2a\cdot \dfrac{a\sqrt{5}}{2}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} = 2a^2.$

b) Vì $AB\perp AD$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD} = 0.$

Giải

a) Khi $O$ nằm ngoài đoạn thẳng $AB$ thì $\overrightarrow{OA},$ $\overrightarrow{OB}$ cùng hướng.

Do đó, $(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = 0^o.$

Vậy: $ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ $= |\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}| \cdot cos(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$ $= a\cdot b\cdot cos\;0^o$ $= ab.$

b) Khi $O$ nằm trong đoạn thẳng $AB$ thì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng.

Do đó: $(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = 180^o.$

Vậy: $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|\cdot cos(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = a\cdot b\cdot cos\;180^o = -ab.$

Hướng dẫn

Ta tìm cách biến đổi vế trái thành vế phải. Do đó ta phân tích các vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ (ở vế trái) theo hai vectơ $\overrightarrow{MO}$ và $\overrightarrow{OA}$ (ở vế phải).

Lưu ý rằng “bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài”: $\overrightarrow{MO}^2 = MO^2,$ $\overrightarrow{OA}^2 = OA^2.$

Giải

Vì $O$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{OB}= – \overrightarrow{OA}.$

Ta có:

$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ $=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})$ $= (\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{MO} – \overrightarrow{OA})$ $= \overrightarrow{MO}^2 – \overrightarrow{OA}^2$ $= MO^2 – OA^2.$

Ta có điều phải chứng minh.

Giải

Gọi vectơ dịch chuyển là $\vec{d}$ thì $(\overrightarrow{F}, \vec{d}) = 60^o$ và $|\vec{d}| = 100\;(m).$

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là:

$A = \overrightarrow{F}\cdot \vec{d} = |\overrightarrow{F}|\cdot |\vec{d}|\cdot cos(\overrightarrow{F}, \vec{d}) = 90\cdot 100\cdot cos\;60^o = 4\;500\;(J).$

Giải

Gọi $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ có độ dài lần lượt là $3$ và $4$ (mà đề bài nói tới). Tích vô hướng của chúng bằng $-6$ nên ta có:

$\vec{a}\cdot \vec{b} = -6$ $\Leftrightarrow 3\cdot 4\cdot cos(\vec{a}, \vec{b}) = -6$ $\Leftrightarrow cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{-1}{2}$

Do đó: $(\vec{a}, \vec{b}) = 120^o.$