Giải Toán 10 (t1) [Chương 5] BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 5. (bộ Chân trời sáng tạo)

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 5, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo. Bài tập 1 (Trang 102 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho ba […]

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 5, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo.

Bài tập 1 (Trang 102 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều khác vectơ $\vec{0}.$ Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

b) Nếu hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ cùng ngược hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Giải

a) ĐÚNG.

b) ĐÚNG.

Bài tập 2 (Trang 102 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo và $AB = a,$ $BC = 3a.$

a) Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AC},$ $\overrightarrow{BD}.$

b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.$

Giải

Bài tập 2 - Trang 102 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (3a)^2} = a\sqrt{10}.$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên: $BD = AC = a\sqrt{10}.$

Do đó độ dài của các vectơ cần tính là: $|\overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{AC}| = a\sqrt{10}.$

b) Để ý rằng $\dfrac{a\sqrt{10}}{2} = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{AC}{2}.$

Ta có các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$ là:

$\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC};$

$\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{CO};$

$\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD};$

$\overrightarrow{BO}$ và $\overrightarrow{DO}.$

Bài tập 3 (Trang 102 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh bằng $a$ và có góc $\widehat{A}$ bằng $60^o.$ Tìm độ dài các vectơ sau: $\vec{p} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD};$ $\vec{u} = \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD};$ $\vec{v} = 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.$

Giải

Bài tập 3 - Trang 102 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

+) Tính độ dài của $\vec{p} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}:$

$ABCD$ là hình thoi nên cũng là hình bình hành.

Do đó: $\vec{p} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.$

Vậy độ dài vectơ $\vec{p}$ bằng với độ dài vectơ $\overrightarrow{AC}.$

Gọi $E$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ thì $E$ là trung điểm của $AC$ và $AC$ vuông góc với $BD$ tại $E.$

Tam giác $AEB$ vuông tại $E$ có $AB = a$ và $\widehat{BAE} = \dfrac{1}{2}\widehat{BAC} = 30^o,$ nên: $AE = AB\cdot cos\widehat{BAE} = a\cdot cos\;30^o = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$

Suy ra: $AC = 2AE = a\sqrt{3}.$

Vậy $|\vec{p}| = |\overrightarrow{AC}| = AC = a\sqrt{3}.$

+) Tính độ dài của $\vec{u} = \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}:$

Ta có: $\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$

Do đó:

$|\vec{u}|$ $= |\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD}|$ $= |\overrightarrow{DB}| = DB$ $= 2BE$ $= 2(AB\cdot sin\;30^o)$ $= 2(a\cdot \dfrac{1}{2}) = a.$

+) Tính độ dài của $\vec{v} = 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}:$

Ta có:

$\vec{v}$ $= 2\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC}$ $= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC}$ $= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ $= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA}$ $= \overrightarrow{DB}$

Suy ra: $|\vec{v}| = DB = a.$

Bài tập 4 (Trang 102 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho hình bình hành $ABCD.$ Hai điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD.$ Vẽ điểm $E$ sao cho $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AN}$ (Hình 1).

Bài tập 4 - Trang 102 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

a) Tìm tổng của các vectơ $\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{MC};$ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CD};$ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{NC}.$

b) Tìm các vectơ hiệu: $\overrightarrow{NC} – \overrightarrow{MC};$ $\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{BC};$ $\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{ME}.$

c) Chứng minh $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.$

Giải

Hai điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$ nên $MC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}AD = AN.$

Do đó, $AMCN$ là hình bình hành.

Ta có: $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{ND}$ nên $CEDN$ là hình bình hành.

Do $AMCN$ và $CEDN$ là hình bình hành nên ta dễ dàng chứng minh được $AMED$ cũng là hình bình hành.

a)

+) Tính $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}$

Do $AMCN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AN}\;\;(1)$

Do $N$ là trung điểm của $AD$ nên $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{ND}\;\;(2)$

Do $CEDN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{ND} = \overrightarrow{CE}\;\;(3)$

Từ $(1), (2), (3)$ suy ra: $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CE}$

Do đó: $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{NC} +\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{NE}.$

+) Tính $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD}$

Do $AMCN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{NC}.$

Suy ra: $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{ND}.$

+) Tính $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}$

Do $CEDN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{DE}.$

Suy ra: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE}.$

b) $\overrightarrow{NC} – \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{NC} – \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{DC}.$

$\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}.$

$\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$

c) $AMCN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC}.$

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.$

Vậy $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \;(= \overrightarrow{AC}).$

Bài tập 5 (Trang 103 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\vec{0}.$ Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $|\vec{a}+\vec{b}| = |\vec{a}|+|\vec{b}|.$

b) $|\vec{a}+\vec{b}| = |\vec{a}-\vec{b}|.$

Giải

a) Khi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

b) Khi $\vec{a}\perp \vec{b}.$

Bài tập 6 (Trang 103 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho $|\vec{a}+\vec{b}| = 0.$ So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}.$

Giải

Vì $|\vec{a}+\vec{b}| = 0$ nên $\vec{a}+\vec{b} = \vec{0}.$

Suy ra: $\vec{a} = -\vec{b}$

Do đó, $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ đối nhau.

Vậy $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài bằng nhau, cùng phương nhưng ngược hướng.

Bài tập 7 (Trang 103 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho bốn điểm $A, B, C, D.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC$ trùng nhau.

Giải

Ta cần chứng minh hai mệnh đề:

(1) Nếu $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ thì trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC$ trùng nhau.

(2) Nếu trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC$ trùng nhau thì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$

Chứng minh (1): Cho $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$ Lấy $I$ là trung điểm của $AD.$ Cần chứng minh $I$ là trung điểm của $BC.$

Ta đã có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{ID}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AI} – \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} – \overrightarrow{IB}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}\;\;(a)$

Vì $I$ là trung điểm của $AD$ nên $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{DI}=\vec{0}\;\;(b)$

Từ $(a), (b)$ suy ra: $\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \vec{0}.$

Do đó, $I$ là trung điểm của $BC.$

Chứng minh (2): Cho $AD$ và $BC$ có trung điểm trùng nhau. Cần chứng minh: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$

Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ thì $I$ cũng là trung điểm của $BC$ (vì $AD$ và $BC$ có trung điểm trùng nhau).

Ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID} = \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$ (cùng bằng $\vec{0})$

Suy ra: $\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{ID}-\overrightarrow{IC}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$

Kết luận: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC$ trùng nhau.

Bài tập 8 (Trang 103 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác $ABC.$ Bên ngoài tam giác, vẽ các hình bình hành $ABIJ,$ $BCPQ,$ $CARS.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS} = \vec{0}.$

Giải

Bài tập 8 - Trang 102 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Ta có:

$\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}$

$=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ} + \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ} + \overrightarrow{PC} +\overrightarrow{CS}$

$= (\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{CS}) + (\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{PC})$

$=\vec{0} + \vec{0}+\vec{0} = \vec{0}.$ (Vì $ABIJ,$ $BCPQ,$ $CARS$ là các hình bình hành).

Vậy $\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS} = \vec{0}.$

Bài tập 9 (Trang 103 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ $45\;m/s,$ mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là $38\;m/s$ theo hướng nghiêng một góc $20^o$ về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Bài tập 9 - Trang 103 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Giải

Áp dụng định lý cosin, ta tính được tốc độ của gió là:

$v_2 = \sqrt{v^2 + v_1^2 – 2v\cdot v_1\cdot cos\;20^o}$ $= \sqrt{38^2 + 45^2 – 2\cdot 38\cdot 45\cdot cos\;20^o}$ $\approx 15,98\;(m/s).$

Bài tập 10 (Trang 103 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Cho tam giác đều $ABC$ có $O$ là trọng tâm và $M$ là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi $D, E, F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $M$ đến $BC, AC, AB.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$

Giải

Bài tập 10 - Trang 103 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Qua $M$ kẻ các đường thẳng: $K_1K_4 // AB,$ $K_2K_5 //AC,$ $K_3K_6 // BC$

$(K_1, K_2 \in BC,$ $K_3, K_4 \in AC,$ $K_5, K_6 \in AB).$

Khi đó: $MK_5AK_4,$ $MK_3CK_2,$ $MK_1BK_6$ là các hình bình hành (do có các cặp cạnh đối song song).

Suy ra: $MK_5 = AK_4,$ $MK_6 = BK_1,$ $MK_4 = AK_5,$ $MK_3=CK_2,$ $MK_1 = BK_6,$ $MK_2 = CK_3.$

Mặt khác, vì $ABC$ là tam giác đều và $K_1K_4 // AB,$ $K_2K_5 //AC,$ $K_3K_6 // BC$ nên: $AK_4 = BK_1,$ $AK_5 = CK_2,$ $BK_6 = CK_3.$

Do đó: $MK_5 = MK_6,$ $MK_4 = MK_3,$ $MK_1 = MK_2.$

Vậy $MK_5K_6,$ $MK_3K_4,$ $MK_1K_2$ là các tam giác cân.

Suy ra: $F, E, D$ lần lượt là trung điểm của $K_5K_6,$ $K_3K_4,$ $K_1K_2.$

Từ đó suy ra: $\overrightarrow{MD} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MK_1}+\overrightarrow{MK_2}),$ $\overrightarrow{ME} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MK_3}+\overrightarrow{MK_4}),$ $\overrightarrow{MF} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MK_5}+\overrightarrow{MK_6}.$

Vậy ta có:

$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$

$= \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MK_1}+\overrightarrow{MK_2}+ \overrightarrow{MK_3}+\overrightarrow{MK_4}+ \overrightarrow{MK_5}+\overrightarrow{MK_6})$

$= \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MK_1}+\overrightarrow{MK_6}+ \overrightarrow{MK_2}+\overrightarrow{MK_3}+ \overrightarrow{MK_4}+\overrightarrow{MK_5})$

$= \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}+ \overrightarrow{MA})$ (vì $MK_5AK_4,$ $MK_3CK_2,$ $MK_1BK_6$ là các hình bình hành)

$= \dfrac{1}{2}\cdot 3\overrightarrow{MO}$ (vì $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC)$

$= \dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$

Bài tập 11 (Trang 103 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một xe goòng được kéo bởi một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là $50\;N,$ di chuyển theo quãng đường từ $A$ đến $B$ có chiều dài $200\;m.$ Cho biết góc giữa $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{AB}$ là $30^o$ và $\overrightarrow{F}$ được phân tích thành hai lực $\overrightarrow{F_1},$ $\overrightarrow{F_2}$ (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F},$ $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}.$

Bài tập 11 - Trang 103 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Giải

Ta có: $(\overrightarrow{F}, \overrightarrow{AB}) = 30^o,$ $(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{AB}) = 90^o,$ $(\overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{AB}) = 0^o$

Do đó:

$A_{\overrightarrow{F}} = |\overrightarrow{F}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot cos(\overrightarrow{F}, \overrightarrow{AB})$ $= 50\cdot 200\cdot cos\;30^o = 5000\sqrt{3}\;(J).$

$A_{\overrightarrow{F_1}} = |\overrightarrow{F_1}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot cos(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{AB})$ $= |\overrightarrow{F_1}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot cos\;90^o = 0\;(J). $

$A_{\overrightarrow{F_2}} = |\overrightarrow{F_2}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot cos(\overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{AB})$ $= (|\overrightarrow{F}|cos\;30^o)\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot cos\;0^o$ $= (50\dfrac{\sqrt{3}}{2})\cdot 200\cdot 1$ $= 5000\sqrt{3}\;(J).$

Bài tập 12 (Trang 103 / Toán 10 – tập 1 / Chân trời sáng tạo) Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ $0,75\;m/s.$ Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ $1,20\;m/s$ về hướng bên phải. Gọi $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v}$ lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.

a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v}.$

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Bài tập 12 - Trang 103 - Toán 10 tập 1 - bộ Chân trời sáng tạo.

Giải

a) $|\vec{v_1}| = 0,75\;m/s;$ $|\vec{v_2}| = 1,20\;m/s.$

Vì $\vec{v_1} \perp \vec{v_2}$ nên:

$|\vec{v}| = \sqrt{|\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2}$ $= \sqrt{0,75^2 + 1,2^2} \approx 1,415\;(m/s).$

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là khoảng $1,415\;m/s.$

c) $sin\;\theta = \dfrac{|\vec{v_1}|}{|\vec{v}|}$ $\approx \dfrac{0,75}{1,415} \approx 0,53$

Suy ra: $\theta \approx 32^o.$

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.