Giải Toán 10 (t1) [Chương 5] BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 5. (bộ Chân trời sáng tạo)

Giải

a) ĐÚNG.

b) ĐÚNG.

Giải

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (3a)^2} = a\sqrt{10}.$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên: $BD = AC = a\sqrt{10}.$

Do đó độ dài của các vectơ cần tính là: $|\overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{AC}| = a\sqrt{10}.$

b) Để ý rằng $\dfrac{a\sqrt{10}}{2} = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{AC}{2}.$

Ta có các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$ là:

$\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC};$

$\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{CO};$

$\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD};$

$\overrightarrow{BO}$ và $\overrightarrow{DO}.$

Giải

+) Tính độ dài của $\vec{p} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}:$

$ABCD$ là hình thoi nên cũng là hình bình hành.

Do đó: $\vec{p} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.$

Vậy độ dài vectơ $\vec{p}$ bằng với độ dài vectơ $\overrightarrow{AC}.$

Gọi $E$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ thì $E$ là trung điểm của $AC$ và $AC$ vuông góc với $BD$ tại $E.$

Tam giác $AEB$ vuông tại $E$ có $AB = a$ và $\widehat{BAE} = \dfrac{1}{2}\widehat{BAC} = 30^o,$ nên: $AE = AB\cdot cos\widehat{BAE} = a\cdot cos\;30^o = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$

Suy ra: $AC = 2AE = a\sqrt{3}.$

Vậy $|\vec{p}| = |\overrightarrow{AC}| = AC = a\sqrt{3}.$

+) Tính độ dài của $\vec{u} = \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}:$

Ta có: $\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$

Do đó:

$|\vec{u}|$ $= |\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD}|$ $= |\overrightarrow{DB}| = DB$ $= 2BE$ $= 2(AB\cdot sin\;30^o)$ $= 2(a\cdot \dfrac{1}{2}) = a.$

+) Tính độ dài của $\vec{v} = 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}:$

Ta có:

$\vec{v}$ $= 2\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC}$ $= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC}$ $= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ $= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA}$ $= \overrightarrow{DB}$

Suy ra: $|\vec{v}| = DB = a.$

Giải

Hai điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$ nên $MC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}AD = AN.$

Do đó, $AMCN$ là hình bình hành.

Ta có: $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{ND}$ nên $CEDN$ là hình bình hành.

Do $AMCN$ và $CEDN$ là hình bình hành nên ta dễ dàng chứng minh được $AMED$ cũng là hình bình hành.

a)

+) Tính $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}$

Do $AMCN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AN}\;\;(1)$

Do $N$ là trung điểm của $AD$ nên $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{ND}\;\;(2)$

Do $CEDN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{ND} = \overrightarrow{CE}\;\;(3)$

Từ $(1), (2), (3)$ suy ra: $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CE}$

Do đó: $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{NC} +\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{NE}.$

+) Tính $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD}$

Do $AMCN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{NC}.$

Suy ra: $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{ND}.$

+) Tính $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}$

Do $CEDN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{DE}.$

Suy ra: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE}.$

b) $\overrightarrow{NC} – \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{NC} – \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{DC}.$

$\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}.$

$\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$

c) $AMCN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC}.$

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.$

Vậy $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \;(= \overrightarrow{AC}).$

Giải

a) Khi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

b) Khi $\vec{a}\perp \vec{b}.$

Giải

Vì $|\vec{a}+\vec{b}| = 0$ nên $\vec{a}+\vec{b} = \vec{0}.$

Suy ra: $\vec{a} = -\vec{b}$

Do đó, $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ đối nhau.

Vậy $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài bằng nhau, cùng phương nhưng ngược hướng.

Giải

Ta cần chứng minh hai mệnh đề:

(1) Nếu $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ thì trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC$ trùng nhau.

(2) Nếu trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC$ trùng nhau thì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$

Chứng minh (1): Cho $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$ Lấy $I$ là trung điểm của $AD.$ Cần chứng minh $I$ là trung điểm của $BC.$

Ta đã có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{ID}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AI} – \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} – \overrightarrow{IB}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}\;\;(a)$

Vì $I$ là trung điểm của $AD$ nên $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{DI}=\vec{0}\;\;(b)$

Từ $(a), (b)$ suy ra: $\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \vec{0}.$

Do đó, $I$ là trung điểm của $BC.$

Chứng minh (2): Cho $AD$ và $BC$ có trung điểm trùng nhau. Cần chứng minh: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$

Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ thì $I$ cũng là trung điểm của $BC$ (vì $AD$ và $BC$ có trung điểm trùng nhau).

Ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID} = \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$ (cùng bằng $\vec{0})$

Suy ra: $\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{ID}-\overrightarrow{IC}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$

Kết luận: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC$ trùng nhau.

Giải

Ta có:

$\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}$

$=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ} + \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ} + \overrightarrow{PC} +\overrightarrow{CS}$

$= (\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{CS}) + (\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{PC})$

$=\vec{0} + \vec{0}+\vec{0} = \vec{0}.$ (Vì $ABIJ,$ $BCPQ,$ $CARS$ là các hình bình hành).

Vậy $\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS} = \vec{0}.$

Giải

Áp dụng định lý cosin, ta tính được tốc độ của gió là:

$v_2 = \sqrt{v^2 + v_1^2 – 2v\cdot v_1\cdot cos\;20^o}$ $= \sqrt{38^2 + 45^2 – 2\cdot 38\cdot 45\cdot cos\;20^o}$ $\approx 15,98\;(m/s).$

Giải

Qua $M$ kẻ các đường thẳng: $K_1K_4 // AB,$ $K_2K_5 //AC,$ $K_3K_6 // BC$

$(K_1, K_2 \in BC,$ $K_3, K_4 \in AC,$ $K_5, K_6 \in AB).$

Khi đó: $MK_5AK_4,$ $MK_3CK_2,$ $MK_1BK_6$ là các hình bình hành (do có các cặp cạnh đối song song).

Suy ra: $MK_5 = AK_4,$ $MK_6 = BK_1,$ $MK_4 = AK_5,$ $MK_3=CK_2,$ $MK_1 = BK_6,$ $MK_2 = CK_3.$

Mặt khác, vì $ABC$ là tam giác đều và $K_1K_4 // AB,$ $K_2K_5 //AC,$ $K_3K_6 // BC$ nên: $AK_4 = BK_1,$ $AK_5 = CK_2,$ $BK_6 = CK_3.$

Do đó: $MK_5 = MK_6,$ $MK_4 = MK_3,$ $MK_1 = MK_2.$

Vậy $MK_5K_6,$ $MK_3K_4,$ $MK_1K_2$ là các tam giác cân.

Suy ra: $F, E, D$ lần lượt là trung điểm của $K_5K_6,$ $K_3K_4,$ $K_1K_2.$

Từ đó suy ra: $\overrightarrow{MD} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MK_1}+\overrightarrow{MK_2}),$ $\overrightarrow{ME} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MK_3}+\overrightarrow{MK_4}),$ $\overrightarrow{MF} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MK_5}+\overrightarrow{MK_6}.$

Vậy ta có:

$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$

$= \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MK_1}+\overrightarrow{MK_2}+ \overrightarrow{MK_3}+\overrightarrow{MK_4}+ \overrightarrow{MK_5}+\overrightarrow{MK_6})$

$= \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MK_1}+\overrightarrow{MK_6}+ \overrightarrow{MK_2}+\overrightarrow{MK_3}+ \overrightarrow{MK_4}+\overrightarrow{MK_5})$

$= \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}+ \overrightarrow{MA})$ (vì $MK_5AK_4,$ $MK_3CK_2,$ $MK_1BK_6$ là các hình bình hành)

$= \dfrac{1}{2}\cdot 3\overrightarrow{MO}$ (vì $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC)$

$= \dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$

Giải

Ta có: $(\overrightarrow{F}, \overrightarrow{AB}) = 30^o,$ $(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{AB}) = 90^o,$ $(\overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{AB}) = 0^o$

Do đó:

$A_{\overrightarrow{F}} = |\overrightarrow{F}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot cos(\overrightarrow{F}, \overrightarrow{AB})$ $= 50\cdot 200\cdot cos\;30^o = 5000\sqrt{3}\;(J).$

$A_{\overrightarrow{F_1}} = |\overrightarrow{F_1}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot cos(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{AB})$ $= |\overrightarrow{F_1}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot cos\;90^o = 0\;(J). $

$A_{\overrightarrow{F_2}} = |\overrightarrow{F_2}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot cos(\overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{AB})$ $= (|\overrightarrow{F}|cos\;30^o)\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot cos\;0^o$ $= (50\dfrac{\sqrt{3}}{2})\cdot 200\cdot 1$ $= 5000\sqrt{3}\;(J).$

Giải

a) $|\vec{v_1}| = 0,75\;m/s;$ $|\vec{v_2}| = 1,20\;m/s.$

Vì $\vec{v_1} \perp \vec{v_2}$ nên:

$|\vec{v}| = \sqrt{|\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2}$ $= \sqrt{0,75^2 + 1,2^2} \approx 1,415\;(m/s).$

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là khoảng $1,415\;m/s.$

c) $sin\;\theta = \dfrac{|\vec{v_1}|}{|\vec{v}|}$ $\approx \dfrac{0,75}{1,415} \approx 0,53$

Suy ra: $\theta \approx 32^o.$