Các phép toán trên tập hợp: HỢP, GIAO, HIỆU, PHẦN BÙ.

Chia sẻ nếu thấy hay:

Giao của hai tập hợp

Cho trước hai tập hợp $A$ và $B.$

Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ chính là tập hợp các phần tử chung của hai tập hợp này (tức là các phần tử thuộc cả hai tập hợp $A$ và $B).$

Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ được ký hiệu là $A\cap B.$

Giao của hai tập hợp

Chú ý: Dựa vào mô tả của biểu đồ Ven, ta thấy rằng giao của hai tập hợp là phần chung của hai tập hợp này.

🤔 Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp $A$ và $B$ được gọi là giao của hai tập hợp $A$ và $B,$ ký hiệu $A\cap B.$

Ví dụ 1: Xét hai tập hợp $A=\left\{1; 2; 3; 4\right\}$ và $B=\left\{3; 4; 5\right\}.$

Ta thấy rằng $3; 4$ thuộc cả hai tập hợp $A$ và $B$ nên giao của hai tập hợp này là: $A\cap B=\left\{3; 4\right\}.$

Câu hỏi 1: Cho hai tập hợp: $X=\left\{ 2; 5; a; b\right\}$ và $Y = \left\{1; 2; b; c\right\}.$

Tìm giao của hai tập hợp $X$ và $Y.$

Hướng dẫn

Muốn tìm giao của hai tập hợp, ta xác định các phần tử chung của hai tập hợp này.

Phần tử chung chính là các phần tử vừa thuộc tập hợp này vừa thuộc tập hợp kia. $\rightarrow$ Phần tử chung của $X$ và $Y$ chính là $2; b.$

Vậy $X\cap Y=\left\{2; b\right\}.$

Giải

Giao của hai tập hợp $X$ và $Y$ là $X\cap Y=\left\{2; b\right\}.$

Câu hỏi 2: Gọi $A$ là tập hợp các hình thoi, và $B$ là tập hợp các hình chữ nhật.

a) Hình gì vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật?

b) Xác định $A\cap B.$

Giải

a) Hình vuông là một hình thoi (vì hình vuông có 4 cạnh bằng nhau.) Mặt khác, hình vuông là một hình chữ nhật (vì hình vuông có 4 góc vuông). Vậy hình vuông vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.

b) Gọi $C$ là tập hợp các hình vuông. Dựa vào kết quả của câu a), ta có: $A\cap B = C.$

Câu hỏi 3: Cho hai tập hợp $A$ và $B.$

a) Nếu $A \subset B$ thì $A\cap B$ là tập hợp nào?

b) Tìm $\varnothing \cap B.$

Hướng dẫn

a) Dùng biểu đồ Ven để mô tả trường hợp $A\subset B:$

Phép giao hai tập hợp.

Ta thấy tập hợp $A$ nằm hoàn toàn trong tập hợp $B$. Phần chung của hai tập hợp $A$ và $B$ chính là tập hợp $A,$ nên $A$ là giao của hai tập hợp $A$ và $B.$ Tức là $A\cap B = A.$

b) Ta đã biết $\varnothing$ là tập con của mọi tập hợp. Vậy $\varnothing \subset B.$

Từ đó, dựa vào kết quả ở câu a), ta có: $\varnothing \cap B = \varnothing.$

Giải

a) Nếu $A\subset B$ thì $A\cap B = A.$

b) $\varnothing \cap B = \varnothing.$

Hợp của hai tập hợp

Cho trước hai tập hợp $A$ và $B.$

Hợp của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp này (tức là các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B).$

Hợp của hai tập hợp $A$ và $B$ được ký hiệu là $A\cup B.$

Hợp của hai tập hợp.

Chú ý: Dựa vào mô tả của biểu đồ Ven, ta thấy rằng hợp của hai tập hợp là toàn bộ hai tập hợp này ghép lại. Nhưng cần lưu ý rằng, các phần tử trùng nhau chỉ được ghi một lần (không được phép lặp lại, theo nguyên tắc viết tập hợp).

🤔 Tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ hoặc $B$ được gọi là hợp của hai tập hợp $A$ và $B,$ ký hiệu $A\cup B.$

Ví dụ 2: Xét hai tập hợp $A=\left\{1; 2; 3; 4\right\}$ và $B=\left\{3; 4; 5\right\}.$

Hợp của hai tập hợp $A$ và $B$ là: $A\cup B = \left\{1; 2; 3; 4; 5\right\}.$

Câu hỏi 4: Cho hai tập hợp: $X=\left\{ 2; 5; a; b\right\}$ và $Y = \left\{1; 2; b; c\right\}.$

Tìm hợp của hai tập hợp $X$ và $Y.$

Hướng dẫn

Muốn tìm hợp của hai tập hợp, ta viết tất cả các phần tử của hai tập hợp này ra, sau đó, với những phần tử xuất hiện hai lần, ta chỉ giữ lại một (và bỏ bớt một phần tử còn lại đi).

Tất cả các phần tử của $X$ và $Y$ là: $2; 5; a; b; 1; 2; b; c.$ Trong đó, các phần tử $2; 5$ lặp lại hai lần nên ta chỉ giữ lại một phần tử. Ta còn lại: $2; 5; a; b; 1; c.$

Vậy $X\cup Y = \left\{2; 5;a; b; 1; c\right\}.$

Giải

Hợp của hai tập hợp $X$ và $Y$ là $X\cup Y = \left\{2; 5; a; b; 1; c\right\}.$

Câu hỏi 5: Cho hai tập hợp $A$ và $B.$

a) Nếu $A \subset B$ thì $A\cup B$ là tập hợp nào?

b) Tìm $\varnothing \cup B.$

Giải

a) Nếu $A \subset B$ thì $A\cup B = B.$

(Có thể dùng biểu đồ Ven để mô tả điều này.)

b) $\varnothing \cup B = B.$

Câu hỏi 6: Cho hai tập hợp $A=\left\{x\in\mathbb{R} \;|\; x\leq 0\right\}$ và $B = \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; x\geq 0\right\}.$

Tìm $A\cap B$ và $A\cup B.$

Giải

$A\cap B = \left\{0\right\}.$

$A\cup B = \mathbb{R}.$

Hiệu của hai tập hợp. Phần bù.

Cho hai tập hợp $A$ và $B.$

🤔 Tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ được gọi là hiệu của $A$ và $B,$ ký hiệu $A\setminus B.$

🤔 Đặc biệt: Khi $A$ là tập con của $E$ thì ta gọi $E\setminus A$ là phần bù của $A$ trong $E,$ ký hiệu là $C_E A.$

Hiệu và phần bù của hai tập hợp

Ví dụ 3: Xét hai tập hợp $A=\left\{1; 2; 3; 4\right\}$ và $B=\left\{3; 4; 5\right\}.$

Hiệu của $A$ và $B$ là: $A\setminus B = \left\{1; 2\right\}.$

Câu hỏi 7: Cho hai tập hợp: $X=\left\{ 2; 5; a; b\right\}$ và $Y = \left\{1; 2; b; c\right\}.$

Tìm $X\setminus Y.$

Hướng dẫn

Muốn tìm hiệu của $X$ và $Y$, ta xét từng phần tử của $X$, phần tử nào thuộc $Y$ thì loại bỏ, chỉ giữ lại những phần tử không thuộc $Y.$

Xét lần lượt từng phần tử của $X$ là: $2; 5; a; b.$ Ta thấy:

  • $2\in Y$ (loại bỏ)
  • $5\notin Y$ (giữ lại)
  • $a \notin Y$ (giữ lại)
  • $b \in Y$ (loại bỏ)

Vậy ta chỉ giữ lại hai phần tử $5; 2$ nên $X\setminus Y = \left\{5; 2\right\}.$

Giải

$X\setminus Y = \left\{5; a\right\}.$

Câu hỏi 8: Cho tập hợp $M.$ Hãy xác định $M\setminus \varnothing$ và $\varnothing \setminus M.$

Giải

$M\setminus \varnothing = M.$

$\varnothing \setminus M=\varnothing.$

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.