Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 1 – Chuyên đề 1, trong sách Chuyên đề học tập Toán lớp 10, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.
Luyện tập 1 (Trang 7 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số $(-3; 2; -1)$ có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.
$$\mathbf{a)} \left\{\begin{matrix} x + 2y – 3z = 1\\ 2x – 3y + 7z = 15 \\ 3x^2 – 4y + z = -3; \end{matrix}\right.$$
$$\mathbf{b)} \left\{\begin{matrix} -x + y + z = 4 \\ 2x + y – 3z = -1 \\ 3x – 2z = -7. \end{matrix} \right.$$
Giải
Hệ a) không phải là hệ phương trình bậc nhất. Hệ b) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
Bộ ba số $(-3; 2; -1)$ là một nghiệm của hệ b) (Vì nó thỏa mãn cả ba phương trình trong hệ b)).
Luyện tập 2 (Trang 8 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} 2x = 3 \\ x + y = 2 \\ 2x – 2y + z = -1. \end{matrix} \right.$$
Giải
Từ phương trình đầu tiên, ta có: $x = \frac{3}{2}$
Thay vào phương trình thứ hai, ta được: $\frac{3}{2} + y = 2$ hay $y = 2 – \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.$
Thay $x = \frac{3}{2}$ và $y = \frac{1}{2}$ vào phương trình thứ ba, ta được: $2 \cdot \frac{3}{2} – 2 \cdot \frac{1}{2} + z = -1$ hay $z = -3.$
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: $(x; y; z) = \left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; -3\right)$
Luyện tập 3 (Trang 11 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Giải các hệ phương trình sau:
$$\mathbf{a)} \left\{ \begin{matrix} 2x + y – 3z = 3 \\ x + y + 3z = 2 \\ 3x – 2y + z = -1; \end{matrix} \right.$$
$$\mathbf{b)} \left\{ \begin{matrix} 4x + y + 3z = -3 \\ 2x + y – z = 1 \\ 5x + 2y = 1; \end{matrix} \right.$$
$$\mathbf{c)} \left\{ \begin{matrix} x + 2z = -2 \\ 2x + y – z = 1 \\ 4x + y + 3z = -3. \end{matrix} \right.$$
Giải
$$\mathbf{a)} \left\{ \begin{matrix} 2x + y – 3z = 3 \\ x + y + 3z = 2 \\ 3x – 2y + z = -1 \end{matrix} \right.$$
Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai để được hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x + y + 3z = 2 \\ 2x + y – 3z = 3 \\ 3x – 2y + z = -1; \end{matrix} \right.$$
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ này với $-2$ rồi cộng theo vế với phương trình thứ hai (để khử ẩn $x$ ở phương trình thứ hai), ta được hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x + y + 3z = 2 \\ -y – 9z = -1 \\ 3x – 2y + z = -1; \end{matrix} \right.$$
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ này với $-3$ rồi cộng theo vế với phương trình thứ ba (để khử ẩn $x$ ở phương trình thứ ba), ta được hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x + y + 3z = 2 \\ -y – 9z = -1 \\ -5y – 8z = -7; \end{matrix} \right.$$
Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ này với $-5$ rồi cộng theo vế với phương trình thứ ba (để khử ẩn $y$ ở phương trình thứ ba), ta được hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x + y + 3z = 2 \\ -y – 9z = -1 \\ 37z = -2; \end{matrix} \right.$$
Từ phương trình thứ ba, ta có $z = \frac{-2}{37}.$ Thế vào phương trình thứ hai, ta được $y =\frac{55}{37}.$ Thay $y, z$ vừa tìm được vào phương trình đầu, ta được $x = \frac{25}{37}.$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là $(x; y; z) = \left( \frac{25}{37}; \frac{55}{37}; \frac{-2}{37}\right).$
$$\mathbf{b)} \left\{ \begin{matrix} 4x + y + 3z = -3 \\ 2x + y – z = 1 \\ 5x + 2y = 1 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4x + y + 3z = -3 \\ 6x + 3y – 3z = 3 \\ 5x + 2y = 1; \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4x + y + 3z = -3 \\ 10x + 4y = 0 \\ 5x + 2y = 1; \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4x + y + 3z = -3 \\ 5x + 2y = 0 \\ 5x + 2y = 1; \end{matrix} \right.$$
Từ hai phương trình cuối ta suy ra $0 = 1.$ Điều này vô lý!
Vậy hệ ban đầu vô nghiệm.
$$\mathbf{c)} \left\{ \begin{matrix} x + 2z = -2 \\ 2x + y – z = 1 \\ 4x + y + 3z = -3 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2z = -2 \\ y – 5z = 5 \\ y -5z = 5 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2z = -2 \\ y – 5z = 5 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = -2z – 2 \\ y = 5z + 5 \end{matrix} \right.$$
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của nó là:
$$S = \left\{ (-2z – 2; 5z + 5; z) \;|\; z \in \mathbb{R}\right\}$$
Vận dụng 1 (Trang 11 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Hà mua văn phòng phẩm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh hết tổng cộng $820$ nghìn đồng. Hà quên lưu hóa đơn của mỗi bạn, nhưng nhớ được rằng số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là $5$ nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là $210$ nghìn đồng. Hỏi mỗi bạn Lan và Minh phải trả cho Hà bao nhiêu tiền?
Giải
Gọi số tiền mua văn phòng phẩm của Hà, Lan và Minh lần lượt là $x, y, z$ (nghìn đồng), với $x, y, z \geq 0.$
Tổng số tiền là $820$ nghìn đồng nên: $x + y + z = 820.$
Số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là $5$ nghìn đồng nên: $y = \frac{1}{2}x – 5.$
Số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là $210$ nghìn đồng nên: $z = y + 210.$
Vậy ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x+y+z = 820 \\ y = \frac{1}{2}x – 5 \\ z = y + 210 \end{matrix} \right.$$
Giải hệ phương trình này ta được: $x = 310; y = 150; z = 360.$
Vậy Hà mua cho mình hết $310$ nghìn đồng; Lan và Minh phải trả cho Hà số tiền lần lượt là $150$ nghìn đồng và $360$ nghìn đồng.
Luyện tập 4 (Trang 13 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các phương trình trong Ví dụ 3, Ví dụ 4, Ví dụ 5 và Luyện tập 3.
HS tự làm.
Vận dụng 2 (Trang 13 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Tại một quốc gia, khoảng 400 loài động vật nằm trong danh sách các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm $55\%$ các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Nhóm chim chiếm nhiều hơn $0,7\%$ so với nhóm cá, nhóm cá chiếm nhiều hơn $1,5\%$ so với động vật có vú. Hỏi mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm bao nhiêu phần trăm trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng?
Giải
Gọi $x, y, z$ là theo thứ tự là số phần trăm nhóm động vật có vú, chim và cá có nguy cơ tuyệt chủng $(x, y, z \geq 0).$
Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm $55\%$ các loài có nguy cơ tuyệt chủng nên: $x + y + z = 55.$
Nhóm chim chiếm nhiều hơn $0,7\%$ so với nhóm cá nên: $y = z + 0,7.$
Nhóm cá chiếm nhiều hơn $1,5\%$ so với động vật có vú nên: $z = x + 1,5.$
Vậy ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x+y+z = 55 \\ y = z + 0,7 \\ z = x + 1,5 \end{matrix} \right.$$
Giải hệ này ta được: $x = 17,1; y = 19,3; z = 18,6.$
Vậy nhóm động vật có vú chiếm $17,1\%;$ nhóm chim chiếm $19,3\%$ và nhóm cá chiếm $18,6\%$ các loài có nguy cơ tuyệt chủng.
Bài tập 1.1 (Trang 14 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số $(2; 0; -1)$ có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.
$$\mathbf{a)} \left\{ \begin{matrix} x – 2z = 4 \\ 2x + y – z = 5 \\ -3x + 2y = -6; \end{matrix} \right.$$
$$\mathbf{b)} \left\{ \begin{matrix} x – 2y + 3z = 7 \\ 2x – y^2 + z = 2 \\ x + 2y = -1. \end{matrix} \right.$$
Giải
Hệ a) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Bộ ba số $(2; 0; -1)$ là một nghiệm của hệ a).
Hệ b) không phải là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
Bài tập 1.2 (Trang 14 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Giải các hệ phương trình sau:
$$\mathbf{a)} \left\{ \begin{matrix} 2x – y – z = 20 \\ x + y = -5 \\ x = 10; \end{matrix} \right.$$
$$\mathbf{b)} \left\{ \begin{matrix} x – y – 3z = 20 \\ x – z = 3 \\ x + 3z = -7. \end{matrix} \right.$$
Giải
$$\mathbf{a)} \left\{ \begin{matrix} 2x – y – z = 20 \\ x + y = -5 \\ x = 10 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x – y – z = 20 \\ 10 + y = -5 \\ x = 10 \end{matrix} \right. $$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x – y – z = 20 \\ y = -15 \\ x = 10 \end{matrix} \right. $$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2\cdot 10 – (-15) – z = 20 \\ y = -15 \\ x = 10 \end{matrix} \right. $$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 35 – z = 20 \\ y = -15 \\ x = 10 \end{matrix} \right. $$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} z = 15 \\ y = -15 \\ x = 10 \end{matrix} \right. $$
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y; z) = (10; -15; 15).$
$$\mathbf{b)} \left\{ \begin{matrix} x – y – 3z = 20 \\ x – z = 3 \\ x + 3z = -7 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x – y – 3z = 20 \\ x – z = 3 \\ 4z = -10 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x – y – 3z = 20 \\ x – z = 3 \\ z = \frac{-5}{2} \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x – y – 3z = 20 \\ x – \left(\frac{-5}{2}\right) = 3 \\ z = \frac{-5}{2} \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x – y – 3z = 20 \\ x = \frac{1}{2} \\ z = \frac{-5}{2} \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2} – y – 3\cdot \left(\frac{-5}{2}\right) = 20 \\ x = \frac{1}{2} \\ z = \frac{-5}{2} \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{1}{2} – 3\cdot \left(\frac{-5}{2}\right) – 20 \\ x = \frac{1}{2} \\ z = \frac{-5}{2} \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = -12 \\ x = \frac{1}{2} \\ z = \frac{-5}{2} \end{matrix} \right.$$
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y; z) = \left(\frac{1}{2}; -12; \frac{-5}{2}\right).$
Bài tập 1.3 (Trang 14 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
$$\mathbf{a)} \left\{ \begin{matrix} 2x – y – z = 2 \\ x + y = 3 \\ x – y + z = 2; \end{matrix} \right.$$
$$\mathbf{b)} \left\{ \begin{matrix} 3x – y – z = 2 \\ x + 2y + z = 5 \\ -x + y = 2; \end{matrix} \right.$$
$$\mathbf{c)} \left\{ \begin{matrix} x – 3y – z = -6 \\ 2x – y + 2z = 6 \\ 4x – 7y = -6; \end{matrix} \right.$$
$$\mathbf{d)} \left\{ \begin{matrix} x – 3y – z = -6 \\ 2x – y + 2z = 6 \\ 4x – 7y = 3; \end{matrix} \right.$$
$$\mathbf{e)} \left\{ \begin{matrix} 3x – y – 7z = 2 \\ 4x – y + z = 11 \\ -5x – y – 9z = -22; \end{matrix} \right.$$
$$\mathbf{f)} \left\{ \begin{matrix} 2x – 3y – 4z = -2 \\ 5x – y – 2z = 3 \\ 7x – 4y – 6z = 1. \end{matrix} \right.$$
Kiểm tra lại kết quả tìm được bằng cách sử dụng máy tính cầm tay.
Giải
$$\mathbf{a)} \left\{ \begin{matrix} 2x – y – z = 2 \\ x + y = 3 \\ x – y + z = 2 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = 3 \\ 2x – y – z = 2 \\ x – y + z = 2 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = 3 \\ -3y – z = -4 \\ x – y + z = 2 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = 3 \\ -3y – z = -4 \\ -2y + z = -1 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = 3 \\ 6y + 2z = 8 \\ -6y + 3z = -3 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = 3 \\ 6y + 2z = 8 \\ 5z = 5 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = 3 \\ 6y + 2z = 8 \\ z = 1 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = 3 \\ 6y + 2\cdot 1 = 8 \\ z = 1 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = 3 \\ y = 1 \\ z = 1 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 3 \\ y = 1 \\ z = 1 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ z = 1 \end{matrix} \right.$$
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y; z) = (2; 1; 1).$
$$\mathbf{b)} \left\{ \begin{matrix} 3x – y – z = 2 \\ x + 2y + z = 5 \\ -x + y = 2 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2y + z = 5 \\ 3x – y – z = 2 \\ -x + y = 2 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2y + z = 5 \\ -7y – 4z = -13 \\ -x + y = 2 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2y + z = 5 \\ -7y – 4z = -13 \\ 3y + z= 7 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2y + z = 5 \\ -21y – 12z = -39 \\ 21y + 7z= 49 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2y + z = 5 \\ -21y – 12z = -39 \\ -5z= 10 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2y + z = 5 \\ -21y – 12z = -39 \\ z= -2 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2y + z = 5 \\ 7y + 4z = 13 \\ z= -2 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2y + z = 5 \\ 7y + 4\cdot (-2) = 13 \\ z= -2 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2y + z = 5 \\ y =3 \\ z= -2 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2\cdot 3 + (-2) = 5 \\ y =3 \\ z= -2 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y =3 \\ z= -2 \end{matrix} \right.$$
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y; z) = (1; 3; -2).$
$$\mathbf{c)} \left\{ \begin{matrix} x – 3y – z = -6 \\ 2x – y + 2z = 6 \\ 4x – 7y = -6 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x – 3y – z = -6 \\ 5y + 4z = 18 \\ 4x – 7y = -6 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x – 3y – z = -6 \\ 5y + 4z = 18 \\ 5y + 4z= 18 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x – 3y – z = -6 \\ 5y + 4z = 18 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x – 3y – z = -6 \\ y = \frac{18 – 4z}{5} \end{matrix} \right.$$
Đặt $z = 2 + 5t$ với $t$ là số thực bất kỳ. Ta được: $y = 2 – 4t$ và $x = 2 – 7t.$
Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm là:
$$S = \left\{ (2-7t; 2-4t; 2+5t) \;|\; t\in \mathbb{R}\right\}.$$
$$\mathbf{d)} \left\{ \begin{matrix} x – 3y – z = -6 \\ 2x – y + 2z = 6 \\ 4x – 7y = 3 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x – 3y – z = -6 \\ 5y + 4z = 18 \\ 5y +4z = 27 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x – 3y – z = -6 \\ 5y + 4z = 18 \\ 18 = 27 \end{matrix} \right.$$
Phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
$$\mathbf{e)} \left\{ \begin{matrix} 3x – y – 7z = 2 \\ 4x – y + z = 11 \\ -5x – y – 9z = -22 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x – y – 7z = 2 \\ y + 31z = 25 \\ -5x – y – 9z = -22 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x – y – 7z = 2 \\ y + 31z = 25 \\ -8y – 62z = -56 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x – y – 7z = 2 \\ y + 31z = 25 \\ 186z = 144 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x – y – 7z = 2 \\ y + 31z = 25 \\ z = \frac{24}{31} \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x – y – 7z = 2 \\ y + 31\cdot \frac{24}{31} = 25 \\ z = \frac{24}{31} \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x – y – 7z = 2 \\ y =1 \\ z = \frac{24}{31} \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x – 1 – 7\cdot \frac{24}{31} = 2 \\ y =1 \\ z = \frac{24}{31} \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{87}{31} \\ y =1 \\ z = \frac{24}{31} \end{matrix} \right.$$
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y; z) = \left(\frac{87}{31}; 1; \frac{24}{31}\right).$
$$\mathbf{f)} \left\{ \begin{matrix} 2x – 3y – 4z = -2 \\ 5x – y – 2z = 3 \\ 7x – 4y – 6z = 1 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x – 3y – 4z = -2 \\ 13y + 16z = 16 \\ 13y + 16z = 16 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x – 3y – 4z = -2 \\ 13y + 16z = 16 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x – 3y – 4z = -2 \\ y = \frac{16 – 16z}{13} \end{matrix} \right.$$
Đặt $z = 1+13t$ với $t$ là số thực, ta được: $y = -16t$ và $x = 1 + 2t.$
Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm là:
$$S = \left\{ (1+2t; -16t; 1+13t) \;|\; t\in \mathbb{R}\right\}.$$
Bài tập 1.4 (Trang 14 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lý kho, quản lý văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lý kho và người quản lý văn phòng là $164$ triệu đồng, còn của người quản lý kho và tài xế xe tải là $156$ triệu đồng. Mỗi năm, người quản lý kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải $8$ triệu đồng. Hỏi lương hằng năm của mỗi người là bao nhiêu?
Giải
Gọi lương hằng năm của người quản lý kho, quản lý văn phòng và tài xế xe tải lần lượt là $x, y, z$ (với $x, y, z \geq 0$ và có đơn vị là triệu đồng).
Tổng tiền lương hằng năm của người quản lý kho và người quản lý văn phòng là $164$ triệu đồng nên: $x + y = 164.$
Tổng tiền lương hằng năm của người quản lý kho và tài xế xe tải là $156$ triệu đồng nên: $x + z = 156.$
Mỗi năm, người quản lý kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải $8$ triệu đồng nên: $x – z = 8.$
Vậy ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x+y = 164 \\ x + z = 156 \\ x – z = 8 \end{matrix} \right.$$
Giải hệ này ta được $x = y = 82$ và $z = 74.$
Vậy lương hằng năm của người quản lý kho, quản lý văn phòng và tài xế xe tải lần lượt là $82$ triệu đồng, $82$ triệu đồng và $74$ triệu đồng.
Bài tập 1.5 (Trang 14 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ô tô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là $2,8$ tỷ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần $3,018$ tỷ đồng. Giá xe ô tô của hãng X tăng $8\%,$ của hãng Y tăng $5\%,$ của hãng Z tăng $12\%.$ Nếu trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn $200$ triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X thì giá của mỗi chiếc xe trong năm ngoái là bao nhiêu?
Giải
Gọi giá xe ô tô của ba hãng X, Y, Z năm ngoái là $x, y, z$ (với $x, y, z \geq 0$ và có đơn vị là tỷ đồng).
Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ô tô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là $2,8$ tỷ đồng nên: $x + y + z = 2,8.$
Năm nay, giá xe ô tô của hãng X tăng $8\%,$ của hãng Y tăng $5\%,$ của hãng Z tăng $12\%$ nên giá mới của ba hãng X, Y, Z lần lượt là: $1,08x$ ; $1,05y$ ; $1,12z$
Năm nay, để mua ba chiếc xe đó cần $3,018$ tỷ đồng nên: $1,08x + 1,05y + 1,12z = 3,018.$
Trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn $200$ triệu đồng (= 0,2 tỷ đồng) so với giá chiếc xe của hãng X nên: $x – y = 0,2.$
Vậy ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x + y + z = 2,8 \\ 1,08x + 1,05y + 1,12z = 3,018 \\ x – y = 0,2 \end{matrix} \right.$$
Giải hệ này ta được: $x = 1,2$ ; $y = 1$ và $z = 0,6.$
Vậy giá xe ô tô của ba hãng X, Y, Z năm ngoái lần lượt là $1,2$ tỷ đồng, $1$ tỷ đồng và $0,6$ tỷ đồng.
Bài tập 1.6 (Trang 14 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau:
$$\left\{ \begin{matrix} a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} \\ a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3}. \end{matrix} \right.$$
a) Giả sử $\left(x_{0}; y_{0}; z_{0}\right)$ và $\left(x_{1}; y_{1}; z_{1}\right)$ là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên.
Chứng minh rằng $\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2}; \frac{y_{0} + y_{1}}{2}; \frac{z_{0} + z_{1}}{2} \right)$ cũng là một nghiệm của hệ.
b) Sử dụng kết quả của câu a) để chứng minh rằng: nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.
Giải
a) Vì $\left(x_{0}; y_{0}; z_{0}\right)$ và $\left(x_{1}; y_{1}; z_{1}\right)$ là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên nên:
$$\left\{ \begin{matrix} a_{1}x_{0} + b_{1}y_{0} + c_{1}z_{0} = d_{1} \\ a_{2}x_{0} + b_{2}y_{0} + c_{2}z_{0} = d_{2} \\ a_{3}x_{0} + b_{3}y_{0} + c_{3}z_{0} = d_{3}. \end{matrix} \right.$$
$$\left\{ \begin{matrix} a_{1}x_{1} + b_{1}y_{1} + c_{1}z_{1} = d_{1} \\ a_{2}x_{1} + b_{2}y_{1} + c_{2}z_{1} = d_{2} \\ a_{3}x_{1} + b_{3}y_{1} + c_{3}z_{1} = d_{3}. \end{matrix} \right.$$
Cộng vế với vế các phương trình tương ứng trong hệ sau đó chia cả hai vế cho 2, ta được:
$$\left\{ \begin{matrix} a_{1}\frac{x_{0} + x_{1}}{2} + b_{1} \frac{y_{0} + y_{1}}{2} + c_{1} \frac{z_{0} + z_{1}}{2} = d_{1} \\ a_{2} \frac{x_{0} + x_{1}}{2} + b_{2} \frac{y_{0} + y_{1}}{2} + c_{2} \frac{z_{0} + z_{1}}{2} = d_{2} \\ a_{3} \frac{x_{0} + x_{1}}{2} + b_{3} \frac{y_{0} + y_{1}}{2} + c_{3} \frac{z_{0} + z_{1}}{2} = d_{3}. \end{matrix} \right.$$
Vậy $\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2}; \frac{y_{0} + y_{1}}{2}; \frac{z_{0} + z_{1}}{2} \right)$ cũng là một nghiệm của hệ đã cho.
b) Sử dụng kết quả câu a), nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có 2 nghiệm phân biệt thì ta sẽ tìm được một nghiệm thứ ba dựa vào hai nghiệm đó. Tương tự vậy, từ ba nghiệm đã biết, bằng cách ghép thành 2 cặp, ta sẽ tìm thêm được 2 nghiệm nữa từ hai cặp này, vậy là đã được 5 nghiệm… Bằng cách tương tự, quá trình này có thể kéo dài mãi mãi, và ta sẽ có vô số nghiệm của hệ phương trình này.