Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 2 – Chuyên đề 1, trong sách Chuyên đề học tập Toán lớp 10, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.
Luyện tập 1 (Trang 18 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cân bằng phương trình phản ứng hóa học đốt cháy octane trong oxygen.
$$C_{8}H_{18} + O_{2} \rightarrow CO_{2} + H_{2}O.$$
Giải
Giả sử $x, y, z, t$ là bốn số nguyên dương thỏa mãn cân bằng phản ứng
$$xC_{8}H_{18} + yO_{2} \rightarrow zCO_{2} + tH_{2}O.$$
Vì số nguyên tử C, H và O ở hai vế phải bằng nhau nên ta có hệ:
$$\left\{ \begin{matrix} 8x = z \\ 18x = 2t \\ 2y = 2z + t \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} z = 8x \\ t = 9x \\ 2y = 2\cdot (8x) + 9x \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} z = 8x \\ t = 9x \\ y = \frac{25}{2}x \end{matrix} \right.$$
Chọn $x = 2$ ta được cân bằng:
$$2C_{8}H_{18} + 25O_{2} \rightarrow 16CO_{2} + 18H_{2}O.$$
Luyện tập 2 (Trang 20 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Xét thị trường hải sản gồm ba mặt hàng là cua, tôm và cá. Ký hiệu $x, y, z$ lần lượt là giá 1 kg cua, 1 kg tôm và 1 kg cá (đơn vị nghìn đồng). Ký hiệu $Q_{S_{1}},$ $Q_{S_{2}}$ và $Q_{S_{3}}$ là lượng cua, tôm và cá mà người bán bằng lòng bán với giá $x, y$ và $z.$ Ký hiệu $Q_{D_{1}},$ $Q_{D_{2}}$ và $Q_{D_{3}}$ tương ứng là lượng cua, tôm và cá mà người mua bằng lòng mua với giá $x, y$ và $z.$ Cụ thể các hàm này được cho bởi:
$$Q_{S_{1}} = -300 +x; Q_{D_{1}} = 1300 -3x + 4y – z;$$
$$Q_{S_{2}} = -450 + 3y; Q_{D_{2}} = 1150 +2x -5y – z;$$
$$Q_{S_{3}} = -400 + 2z; Q_{D_{3}} = 900 -2x -3y + 4z.$$
Tìm mức giá cua, tôm và cá mà người bán và người mua cùng hài lòng.
Giải
Hệ phương trình cân bằng cung – cầu là:
$$\left\{ \begin{matrix} -300 + x = 1300-3x+4y-z \\ -450+3y = 1150+2x-5y-z \\ -400+2z = 900-2x-3y+4z \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4x -4y + z = 1600 \\ 2x-8y-z = -1600 \\ 2x+3y-2z= 1300 \end{matrix} \right.$$
Giải hệ ta được: $x = 600; y = 300; z = 400.$
Vậy mức giá (trên mỗi kg) cua, tôm và cá mà người bán và người mua cùng hài lòng lần lượt là $600$ nghìn đồng, $300$ nghìn đồng và $400$ nghìn đồng.
Bài tập 1.7 (Trang 20 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho hàm cung và hàm cầu của ba mặt hàng như sau:
$$Q_{S_{1}} = -4+x; Q_{D_{1}} = 70-x-2y-6z;$$
$$Q_{S_{2}} =-3+y; Q_{D_{2}} = 76-3x-y-4z;$$
$$Q_{S_{3}} = -6+3z; Q_{D_{3}} = 70-2x-3y-2z.$$
Hãy xác định giá cân bằng cung – cầu của ba mặt hàng đó.
Giải
Hệ phương trình cân bằng cung – cầu là:
$$\left\{ \begin{matrix} -4 + x = 70 – x-2y-6z \\ -3+y = 76-3x-y-4z \\ -6+3z = 70-2x-3y-2z \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x +2y+6z = 74 \\ 3x+2y+4z = 79 \\ 2x+3y+5z = 76 \end{matrix} \right.$$
Giải hệ ta được: $x = 15; y = 7; z = 5.$
Bài tập 1.8 (Trang 20 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Em Hà so sánh tuổi của mình với chị Mai và anh Nam. Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà. Cách đây bảy năm, tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam. Ba năm nữa, tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà. Hỏi tuổi của mỗi người là bao nhiêu?
Giải
Gọi $x, y, z$ lần lượt là tuổi của em Hà, chị Mai và anh Nam.
Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà nên: $z = 3x.$
Cách đây bảy năm, tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam nên: $y – 7 = \frac{1}{2} (z-7).$
Ba năm nữa, tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà nên: $z + 3 = (y+3) + (x + 3).$
Vậy ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} z = 3x \\ y-7 = \frac{1}{2}(z-7) \\ z+3 = (y+3) + (x+3) \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x – z = 0 \\ 2y-z = 7 \\ x+y-z = -3 \end{matrix} \right.$$
Giải hệ ta được: $x = 13; y=23; z=39.$
Vậy Hà $13$ tuổi, chị Mai $23$ tuổi, anh Nam $39$ tuổi.
Bài tập 1.9 (Trang 20 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Bác Việt có $330\;740$ nghìn đồng, bác chia số tiền này thành ba phần và đem đầu tư vào ba hình thức: Phần thứ nhất bác đầu tư vào chứng khoán với lãi thu được $4\%$ một năm; phần thứ hai bác mua vàng thu lãi $5\%$ một năm và phần thứ ba bác gửi tiết kiệm với lãi suất $6\%$ một năm. Sau một năm, kể cả gốc và lãi, bác thu được ba món tiền bằng nhau. Hỏi tổng số tiền cả gốc và lãi bác thu được sau một năm là bao nhiêu?
Giải
Gọi $x, y, z$ theo thứ tự là số tiền bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng và gửi tiết kiệm (với $x, y, z \geq 0$ và có đơn vị là nghìn đồng).
Bác Việt có $330\;740$ nghìn đồng nên: $x+y+z = 330\;740.$
Bác đầu tư vào chứng khoán với lãi thu được $4\%$ một năm nên số tiền cả gốc và lãi sau một năm do đầu tư chứng khoán là: $x + \frac{4}{100}x.$
Bác mua vàng thu lãi $5\%$ một năm nên số tiền cả gốc và lãi sau một năm do mua vàng là: $y + \frac{5}{100}y.$
Bác gửi tiết kiệm với lãi suất $6\%$ một năm nên số tiền cả gốc và lãi sau một năm do gửi tiết kiệm là: $z + \frac{6}{100}z.$
Sau một năm, kể cả gốc và lãi, bác thu được ba món tiền bằng nhau nên: $x+\frac{4}{100}x = y +\frac{5}{100}y = z+\frac{6}{100}z.$
Vậy ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x+y+z = 330\;740 \\ x+\frac{4}{100}x = y +\frac{5}{100}y = z+\frac{6}{100}z \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+y+z = 330\;740 \\ 104x – 105y = 0 \\ 104x – 106z = 0 \end{matrix} \right.$$
Giải hệ ta được: $x = 111\;300; y = 110\;240; z = 109\;200.$
Vậy số tiền bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng và gửi tiết kiệm lần lượt là 111,3 triệu đồng; 110,24 triệu đồng và 109,2 triệu đồng.
Tổng số tiền bác Việt thu được cả gốc và lãi sau một năm là: $330,74 + 111,3 \cdot 4\% + 110,24 \cdot 5\% + 109,2 \cdot 6\% = 347,256$ (triệu đồng).
Bài tập 1.10 (Trang 20 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Một tuyến cáp treo có ba loại vé sau đây: vé đi lên giá 250 nghìn đồng; vé đi xuống giá 200 nghìn đồng và vé hai chiều giá 400 nghìn đồng. Một ngày nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng. Tìm số vé bán ra mỗi loại, biết rằng nhân viên quản lý cáp treo đếm được 680 lượt người đi lên và 520 lượt người đi xuống.
Giải
Gọi $x, y, z$ lần lượt là số vé đi lên, số vé đi xuống và số vé hai chiều bán ra trong ngày (với $x, y, z$ nguyên dương).
Nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng nên: $250x + 200y + 400z = 251\;000$
Có 680 lượt người đi lên nên: $x + z = 680$
Có 520 lượt người đi xuống nên: $y+z=520$
Vậy ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} 250x + 200y + 400z = 251\;000 \\ x + z = 680 \\ y+z=520 \end{matrix} \right.$$
Giải hệ ta được: $x = 220; y=60; z = 460$
Vậy tổng cộng có 220 vé lên, 60 vé xuống và 460 vé hai chiều đã được bán ra trong ngày.
Bài tập 1.11 (Trang 20 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Ba lớp 10A, 10B, 10C của một trường trung học phổ thông gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Tính trung bình, mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây xoan và 4 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây xoan và 5 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây xoan. Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây xoan và 375 cây bạch đàn. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu em?
Giải
Gọi $x, y, z$ theo thứ tự là số học sinh của lớp 10A, 10B và 10C (với $x, y, z$ nguyên dương).
Có 128 em cùng tham gia lao động trồng cây nên: $x+y+z = 128$
Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây xoan, mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây xoan, mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây xoan nên số cây xoan cả ba lớp trồng được là: $3x+2y+6z.$ Vậy $3x+2y+6z = 476.$
Mỗi em lớp 10A trồng được 4 cây bạch đàn, mỗi em lớp 10B trồng được 5 cây bạch đàn nên số cây bạch đàn cả ba lớp trồng được là: $4x+5y.$ Vậy $4x+5y=375.$
Vậy ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x+y+z = 128 \\ 3x+2y+6z = 476 \\ 4x+5y=375 \end{matrix} \right.$$
Giải hệ ta được: $x = 40; y=43; z=45.$
Vậy lớp 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em và lớp 10C có 45 em.
Bài tập 1.12 (Trang 20 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cân bằng phương trình phản ứng hóa học đốt cháy methane trong oxygen
$$CH_{4} +O_{2} \rightarrow CO_{2} + H_{2}O.$$
Giải
Gọi $x, y, z, t$ là bốn số nguyên dương thỏa mãn cân bằng
$$xCH_{4} +yO_{2} \rightarrow zCO_{2} + tH_{2}O.$$
Ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} x=z \\ 4x = 2t \\ 2y = 2z + t \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{x}{t} – \frac{z}{t} = 0 \\ 2\cdot \frac{x}{t} = 1 \\ 2\cdot \frac{y}{t} -2\cdot \frac{z}{t} = 1 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{x}{t} = \frac{1}{2} \\ \frac{y}{t} = 1 \\ \frac{z}{t} = \frac{1}{2} \end{matrix} \right.$$
Chọn $t=2$ ta được $x = 1; y = 2; z = 1.$ Từ đó ta được phương trình cân bằng:
$$CH_{4} +2O_{2} \rightarrow CO_{2} + 2H_{2}O.$$
Bài tập 1.13 (Trang 20 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho đoạn mạch như Hình 1.2. Gọi $I$ là cường độ dòng điện của mạch chính, $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ là cường độ dòng điện mạch rẽ. Cho biết $R_{1} = 6 \Omega ,$ $R_{2} = 8 \Omega ,$ $I = 3A,$ và $I_{3} = 2A.$ Tính điện trở $R_{3}$ và hiệu điện thế $U$ giữa hai đầu đoạn mạch.
Giải
Ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} I = I_{1} + I_{3} \\ I_{1} = I_{2} \\ I_{1}R_{1} +I_{2}R_{2} = I_{3}R_{3} \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 = I_{1} + 2 \\ I_{1} = I_{2} \\ 6I_{1} +8I_{2} = 2R_{3} \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} I_{1} = I_{2} = 1 \\ R_{3} = 7 \end{matrix} \right.$$
Vậy điện trở $R_{3} = 7\Omega$
Hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch là:
$$U = U_{3} = I_{3} \cdot R_{3} = 2 \cdot 7 = 14 (V)$$
Bài tập 1.14 (Trang 21 / CĐ Toán 10 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Mỗi giai đoạn phát triển của thực vật cần phân bón với tỷ lệ $N, P, K$ nhất định. Bác An làm vườn muốn bón phân cho một cây cảnh có tỷ lệ $N:P:K$ cân bằng nhau. Bác An có ba bao phân bón:
- Bao 1 có tỷ lệ $N:P:K$ là $12:7:12.$
- Bao 2 có tỷ lệ $N:P:K$ là $6:30:25.$
- Bao 3 có tỷ lệ $N:P:K$ là $30:16:11.$
Hỏi phải trộn ba loại phân bón trên với tỷ lệ bao nhiêu để có hỗn hợp phân bón với tỷ lệ $N:P:K$ là $15:15:15?$
Giải
Gọi $x, y, z$ theo thứ tự là tỷ lệ bao 1, bao 2, bao 3 mà bác An cần pha trộn.
Ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{matrix} 12x + 6y + 30z = 15 \\ 7x + 30y + 16z = 15 \\ 12x + 25y + 11z = 15 \end{matrix} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ y = z = \frac{1}{4} \end{matrix} \right.$$
Vậy tỷ lệ phân bón lấy từ bao 1, bao 2, bao 3 là $2:1:1.$