Giải Chuyên đề Toán 10 [CĐ 1] BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ . (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Giải

$$\mathbf{a)} \left\{ \begin{matrix} x+y+z=6 \\ x+2y+3z=14 \\ 3x-2y-z=-4 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+y+z=6 \\ y+2z=8 \\ -5y-4z=-22 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+y+z=6 \\ y+2z=8 \\ 6z=18 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+y+z=6 \\ y+2z=8 \\ z=3 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+y+z=6 \\ y+2\cdot 3=8 \\ z=3 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+y+z=6 \\ y=2 \\ z=3 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+2+3=6 \\ y=2 \\ z=3 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=1 \\ y=2 \\ z=3 \end{matrix} \right.$$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x; y; z) = (1; 2; 3).$

$$\mathbf{b)} \left\{ \begin{matrix} 2x-2y+z=6 \\ 3x+2y+5z=7 \\ 7x+3y-6z=1 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x-2y+z=6 \\ 10y+7z=-4 \\ 20y-19z=-40 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x-2y+z=6 \\ 10y+7z=-4 \\ -33z=-32 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x-2y+z=6 \\ 10y+7z=-4 \\ z=\frac{32}{33} \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x-2y+z=6 \\ 10y+7\cdot \frac{32}{33}=-4 \\ z=\frac{32}{33} \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x-2y+z=6 \\ y=\frac{-178}{165} \\ z=\frac{32}{33} \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x-2\cdot \frac{-178}{165}+\frac{32}{33}=6 \\ y=\frac{-178}{165} \\ z=\frac{32}{33} \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=\frac{79}{55} \\ y=\frac{-178}{165} \\ z=\frac{32}{33} \end{matrix} \right.$$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x; y; z) = \left(\frac{79}{55}; \frac{-178}{165}; \frac{32}{33} \right).$

$$\mathbf{c)} \left\{ \begin{matrix} 2x+y-6z=1 \\ 3x+2y-5z=5 \\ 7x+4y-17z=7 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x+y-6z=1 \\ y+8z=7 \\ y+8z=7 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x+y-6z=1 \\ y+8z=7 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x+y-6z=1 \\ y=7-8z \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x+(7-8z)-6z=1 \\ y=7-8z \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=7z-3 \\ y=7-8z \end{matrix} \right.$$

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm là: $S = \left\{ (7z-3; 7-8z; z) \;|\; z\in \mathbb{R}\right\}.$

$$\mathbf{d)} \left\{ \begin{matrix} 5x+2y-7z=6 \\ 2x+3y+2z=7 \\ 9x+8y-3z=1 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5x+2y-7z=6 \\ 11y+24z=23 \\ 22y+48z=-49 \end{matrix} \right.$$

$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5x+2y-7z=6 \\ 22y+48z=46 \\ 22y+48z=-49 \end{matrix} \right.$$

$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5x+2y-7z=6 \\ 22y+48z=46 \\ 46=-49 \end{matrix} \right.$$

Phương trình cuối cùng vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm.

Giải

Ta có:

$$\frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2 – x +1} = \frac{(A+B)x^2 + (-A+B+C)x +A+C}{(x+1)(x^2-x+1}$$

$$\;\;\; = \frac{(A+B)x^2 + (-A+B+C)x + A+C}{x^3+1}$$

Vậy:

$$\frac{1}{x^3+1} = \frac{(A+B)x^2 + (-A+B+C)x + A+C}{x^3+1}$$

Đồng nhất hệ số, ta được hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix} A+B=0 \\ -A+B+C = 0 \\ A+C = 1 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A=\frac{1}{3} \\ B=\frac{-1}{3} \\ C=\frac{2}{3} \end{matrix} \right.$$

Vậy:

$$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1}\right).$$

Giải

a) Parabol đi qua ba điểm $A(2;-1),$ $B(4; 3)$ và $C(-1;8)$ nên ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix} 4a+2b+c=-1 \\ 16a+4b+c=3 \\ a-b+c=8 \end{matrix} \right.$$

Giải hệ ta được: $a=1; b=-4; c=3.$

Vậy hàm số bậc hai cần tìm là: $y=x^2-4x+3.$

b) Parabol nhận đường thẳng $x=\frac{5}{2}$ làm trục đối xứng và đi qua hai điểm $M(1;0)$ và $N(5; -4)$ nên ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{-b}{2a} = \frac{5}{2} \\ a+b+c=0 \\ 25a+5b+c=-4 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5a+b=0 \\ a+b+c=0 \\ 25a+5b+c=-4 \end{matrix} \right.$$

Giải hệ ta được: $a=-1; b=5; c=-4.$

Vậy hàm số bậc hai cần tìm là: $y=-x^2+5x-4.$

Giải

Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng: $x^2+y^2 -2ax-2by+c=0.$

Đường tròn đi qua ba điểm $A(0;1),$ $B(2;3);$ và $C(4;1)$ nên ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix} 1 -2b+c=0 \\ 4+9-4a-6b+c=0 \\ 16+1-8a-2b+c=0 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} -2b+c=-1 \\ -4a-6b+c=-13 \\ -8a-2b+c=-17 \end{matrix} \right.$$

Giải hệ ta được: $a = 2; b=1; c=1$

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $x^2+y^2-4x-2y+1=0.$

Giải

Gọi $x, y, z$ theo thứ tự là số lượng xe loại 5 tấn, 7 tấn và 10 tấn (với $x,y,z$ nguyên dương).

Đoàn xe có 36 chiếc nên: $x+y+z=36.$

Cả đoàn xe chở 255 tấn gạo nên: $5x+7y+10z=255.$

Tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn gấp ba lần số xe chở 10 tấn nên: $x+y = 3z.$

Ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix} x+y+z=36 \\ 5x+7y+10z=255 \\ x+y=3z \end{matrix} \right.$$

Giải hệ ta được: $x=12; y=15; z=9.$

Vậy xe loại 5 tấn có 12 chiếc, xe loại 7 tấn có 15 chiếc và xe loại 10 tấn có 9 chiếc.

Giải

Gọi $x,y,z$ lần lượt là số kg cà phê Arabica, Robusta và Moka trong 1 kg cà phê hỗn hợp cần trộn.

Ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix} x+y+z=1 \\ 320x+280y+260z=300 \\ z=2y \end{matrix} \right.$$

Giải hệ ta được: $x=\frac{5}{8}; y=\frac{1}{8}; z=\frac{2}{8}.$

Vậy bác An cần pha chế cà phê theo tỷ lệ Arabica : Robusta : Moka là 5:1:2.

Giải

Gọi $x,y,z$ là diện tích đất bác Việt trồng ngô, khoai tây và đậu tương (với $x,y,z \geq 0$ và có đơn vị là ha).

Ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix} x+y+z=12 \\ 4x+3y+4,5z=45,25 \\ y=2x \end{matrix} \right.$$

Giải hệ ta được: $x=2,5; y=5; z=4,5.$

Vậy diện tích đất bác Việt trồng ngô là 2,5 ha, khoai tây là 5 ha, đậu tương là 4,5 ha.

Giải

Giả sử $x,y,z,t$ là bốn số nguyên dương thỏa mãn cân bằng phương trình phản ứng:

$$xFeS_{2} + yO_{2} \rightarrow zFe_{2}O_{3} + tSO_{2}.$$

Ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix} x = 2z \\ 2x = t \\ 2y = 3z+2t \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{x}{t} – 2\cdot \frac{z}{t} = 0 \\ 2\cdot \frac{x}{t} = 1 \\ 2\cdot \frac{y}{t} – 3\cdot \frac{z}{t} = 2\end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{x}{t} = \frac{1}{2} \\ \frac{y}{t} = \frac{11}{8} \\ \frac{z}{t} = \frac{1}{4} \end{matrix} \right.$$

Chọn $t=8,$ ta được $x=4; y= 11; z=2.$ Từ đó ta được phương trình cân bằng:

$$4FeS_{2} + 11O_{2} \rightarrow 2Fe_{2}O_{3} + 8SO_{2}.$$

Giải

Gọi $x,y,z$ theo thứ tự là số gam dung dịch lọ A, lọ B và lọ C mà bạn Mai cần lấy để pha chế (với $x,y,z \geq 0).$

Bạn Mai lấy từ mỗi lọ một lượng dung dịch và hòa với nhau để có 50 g hỗn hợp nên: $x+y+z=50.$

Dung dịch A chứa 10%, dung dịch B chứa 30% và dung dịch C chứa 50% acid nên khối lượng acid có trong 50 g hỗn hợp là: $\frac{10}{100}x + \frac{30}{100}y + \frac{50}{100}z.$

Do 50 g hỗn hợp chứa 32% acid này nên: $\frac{10}{100}x + \frac{30}{100}y + \frac{50}{100}z = \frac{32}{100} \cdot 50 = 16.$

Lượng dung dịch loại C lấy nhiều gấp đôi dung dịch loại A nên: $z = 2x.$

Vậy ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix} x+y+z=50 \\ \frac{10}{100}x + \frac{30}{100}y + \frac{50}{100}z = 16 \\ z = 2x \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+y+z=50 \\ x + 3y + 5z = 160 \\ 2x-z=0 \end{matrix} \right.$$

Giải hệ ta được: $x=5; y=35; z=10.$

Vậy Mai cần lấy 5 g dung dịch từ lọ A, 35 g dung dịch từ lọ B và 10 g dung dịch từ lọ C.

Giải

Ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix} I_{1}R_{1} = I_{2}R_{2} \\ I_{1}+I_{2}=I_{3} \\ I_{1}R_{1}+I_{3}R_{3}=U \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 36I_{1} = 45I_{2} \\ I_{1}+I_{2}=1,5 \\ 36I_{1}+1,5R_{3}=6 \end{matrix} \right.$$

Giải hệ ta được:

$$I_{1}=\frac{5}{6}; I_{2}=\frac{2}{3}; R_{3}=20.$$

Hướng dẫn

$R_{1}\;//\;R_{2}$ nên $U_{1}=U_{2}$ Suy ra: $I_{1}R_{1} = I_{2}R_{2}.$

$R_{1}\;//\;R_{2}$ nên $I_{12}=I_{1}+I_{2}.$ Mà $R_{12} \;nt\; R_{3}$ nên $I_{12}=I_{3}.$ Suy ra: $I_{1}+I_{2} =I_{3}.$

$R_{12} \;nt\; R_{3}$ nên $U_{12}+U_{3}=U.$ Mà $U_{1}=U_{2}=U_{12}$ nên $U_{1}+U_{3}=U.$ Suy ra: $I_{1}R_{1} +I_{3}R_{3}=U.$

Toàn bộ bài giải này sử dụng rất nhiều đến công thức của định luật Ohm: $U=IR.$

Giải

Gọi $x,y,z$ theo thứ tự là số trái cam, quýt và thanh yên đã mua. Điều kiện: $x,y,z$ nguyên dương và nhỏ hơn 100 (vì chỉ “mua đủ một trăm”).

“Mua đủ một trăm” nên $x+y+z=100.$

Cam ba đồng một (trái), quýt một đồng năm (trái), thanh yên năm đồng một (trái) nên tổng số tiền để mua chúng là: $3x+\frac{1}{5}y+5z.$

Mà theo đề bài thì “Anh gửi một tiền” (tức là mua hết 1 tiền = 60 đồng) nên ta có: $3x+\frac{1}{5}y+5z=60.$

Vậy ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix} x+y+z=100 \\ 3x+\frac{1}{5}y+5z=60 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=16-12t \\ y=85+5t \\ z=-1+7t \end{matrix} \right. (t\in \mathbb{R}).$$

Dựa vào điều kiện $x,y,z$ nguyên dương nhỏ hơn 100, ta chỉ chọn được $t=1.$ Khi đó, $x=4; y=90; z=6.$

Vậy đã mua 4 trái cam, 90 trái quýt và 6 trái thanh yên.

Giải

Gọi $x,y,z$ (đồng) lần lượt là số tiền của người thứ nhất, thứ hai và thứ ba $(x,y,z > 0).$

Ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{matrix} x+\frac{y+z}{2} = 204 \\ y+\frac{z+x}{3}=204 \\ z+\frac{x+y}{4}=204 \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x+y+z=408 \\ x+3y+z=612 \\ x+y+4z=816 \end{matrix} \right.$$

Giải hệ ta được: $x=60; y=132; z=156.$

Vậy người thứ nhất có 60 đồng, người thứ hai có 132 đồng, người thứ ba có 156 đồng.