Giải Toán 10 (t1) [Chương 1] Bài 1 – MỆNH ĐỀ. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Giải

Giải

+) Mệnh đề phủ định của $P$ là $\overline{P}:$ “2022 không chia hết cho 5.”

Mệnh đề $\overline{P}$ là một mệnh đề đúng.

+) Mệnh đề phủ định của $Q$ là $\overline{Q}:$ “Bất phương trình $2x + 1 > 0$ không có nghiệm.”

Mệnh đề $\overline{Q}$ là một mệnh đề sai.

Lưu ý

+) Nên xem lại bài Dấu hiệu chia hết nếu chưa hiểu bài giải này.

+) “Không có nghiệm” cũng có nghĩa là “vô nghiệm”. Do đó, mệnh đề $\overline{Q}$ có thể phát biểu bằng cách khác là $\overline{Q}:$ “Bất phương trình $2x+1>0$ vô nghiệm.”

Giải

Mệnh đề phủ định của $Q$ là $\overline{Q}:$ “Châu Á không phải là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới”.

$Q$ là mệnh đề đúng.

$\overline{Q}$ là mệnh đề sai.

Giải

a) $P \Rightarrow Q:$ “Nếu $a$ và $b$ chia hết cho $c$ thì $a+b$ chia hết cho $c.$”

Giả thiết: $a$ và $b$ chia hết cho $c$

Kết luận: $a+b$ chia hết cho $c$

Phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ:

• “$a$ và $b$ chia hết cho $c$ là điều kiện đủ để $a+b$ chia hết cho $c$”
• “$a+b$ chia hết cho $c$ là điều kiện cần để $a$ và $b$ chia hết cho $c$”

b) Mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề $Q \Rightarrow P:$ “Nếu $a+b$ chia hết cho $c$ thì $a$ và $b$ chia hết cho $c$”.

Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ là mệnh đề sai.

Giải

Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên $n$ chia hết cho $2$ là chữ số tận cùng của $n$ là số chẵn (0; 2; 4; 6; 8).

Chú ý

Nếu viết bằng ký hiệu, ta có:

“Số tự nhiên $n$ chia hết cho 2” $\Leftrightarrow$ “chữ số tận cùng của $n$ là số chẵn”.

Giải

Phát biểu: “Mọi số thực đều có bình phương cộng với 1 lớn hơn hoặc bằng 0.”

Đây là một mệnh đề đúng.

Giải

a) Phát biểu của Mai là đúng. Phát biểu của Nam là sai.

b) Viết dưới dạng mệnh đề với ký hiệu $\forall , \exists :$

• phát biểu của Nam: $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \neq 1$
• phát biểu của Mai: $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 1$

Giải

Câu a) là mệnh đề.

Câu b) không phải là mệnh đề (vì nó là câu hỏi).

Câu c) không phải là mệnh đề (vì nó là câu cầu khiến).

Câu d) không phải là mệnh đề (vì không xác định được tính đúng sai của nó).

Giải

a) Mệnh đề sai.

b) Mệnh đề đúng.

c) Mệnh đề đúng.

d) Mệnh đề đúng.

Giải thích

a) $\pi \approx 3,14$ và $\frac{10}{3} \approx 3,3$ nên $\pi < \frac{10}{3}.$

b) Phương trình $3x + 7 = 0$ có nghiệm là $x = \frac{-7}{3}.$

c) Số $0$ cộng với chính nó (tức là số $0)$ thì bằng $0.$

d) $2\;022 \vdots 2$ nên $2\;022$ là hợp số.

Giải

Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q:$ “Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.

Đây là mệnh đề đúng.

Chú ý

Ta có thể diễn đạt mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ bằng cách khác là: “Tam giác ABC là tam giác vuông tương đương với tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại.”

Hoặc: “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác vuông.”

Giải thích

Gọi số đo ba góc của tam giác ABC lần lượt là $x, y, z$ (với $x \leq y \leq z).$

Khi đó: $x + y + z = 180^o$ (1)

$(\Rightarrow):$ Nếu tam giác ABC là tam giác vuông thì $z = 90^o$ và $x + y = 180^o – 90^o = 90^o.$ Vậy $z = x+y.$ Tức là ta đã chứng tỏ rằng tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

$(\Leftarrow):$ Nếu tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại (tức là $z = x + y)$ thì khi thay vào (1) ta có: $z + z = 180^o.$ Suy ra $2z = 180^o$ hay $z = 90^o.$ Do đó, ABC là tam giác vuông.

Giải

Mệnh đề đảo của $P:$ “Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho 5 thì $n$ có chữ số tận cùng là 5”. Mệnh đề này sai.

Mệnh đề đảo của $Q:$ “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”. Mệnh đề này sai.

Giải

a) $P \Rightarrow Q:$ “Nếu $a^2 < b^2$ thì $0<a<b$”.

b) Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P:$ “Nếu $0<a<b$ thì $a^2 < b^2$”.

c) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ sai. Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ đúng.

Giải

Mệnh đề $Q$ đúng.

Mệnh đề phủ định của $Q$ là: “$\forall n\in \mathbb{N},$ $n$ không chia hết cho $n+1$”. Đây là mệnh đề sai.

Giải

$$P: \forall n \in \mathbb{N}, n^2 \geq n.$$

$$Q: \exists x \in \mathbb{R}, x + x = 0.$$