Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 4 – Chương 2, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.
Luyện tập 1 (Trang 27 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong Tình huống mở đầu, gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn $x, y$ và chỉ ra một nghiệm của hệ này.
Giải
Ta có hệ bất phương trình:
$$\begin{cases} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ x+y\leq 100 \\ 2x+y\leq 120 \end{cases}$$
Một nghiệm của hệ trên là: $(30; 20).$
Luyện tập 2 (Trang 28 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:
$$\begin{cases} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ x+y\leq 100 \\ 2x+y <120. \end{cases}$$
Giải
Vận dụng (Trang 30 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là $10$ triệu đồng và $20$ triệu đồng với số vốn ban đồng không vượt quá $4$ tỷ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận $2,5$ triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là $4$ triệu đồng cho mỗi máy bán được. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hằng tháng sẽ không vượt quá $250$ máy. Giả sử trong một tháng, cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là $x$ và số máy tính loại B là $y.$
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi $F$ (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán $x$ máy tính loại A và $y$ máy tính loại B. Hãy biểu diễn $F$ theo $x$ và $y.$
c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Giải
a) Cửa hàng nhập $x$ máy tính loại A và $y$ máy tính loại B nên tổng số tiền cần có là $10x+20y$ (triệu đồng). Vì số vốn ban đầu không vượt quá $4$ tỷ đồng $(=4\;000$ triệu đồng) nên $10x+20y \leq 4\;000$ $\Leftrightarrow x+2y\leq 400.$
Vì tổng nhu cầu hằng tháng không vượt quá $250$ máy nên $x+y\leq 250.$
Vì $x, y$ thể hiện số máy tính nên ta phải có $x\geq 0$ và $y\geq 0.$
Vậy ta có hệ bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán:
$$\begin{cases} x+2y\leq 400 \\ x+y\leq 250 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0. \end{cases}$$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$ với tọa độ các đỉnh là: $O(0; 0),$ $A(0; 200),$ $B(100; 150),$ $C(250; 0).$
b) Gọi $F$ (triệu đồng) là lợi nhuận cửa hàng thu được trong tháng thì $F = 2,5x + 4y.$
c) Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh của miền nghiệm (của hệ bất phương trình), ta thấy $F$ đạt giá trị lớn nhất là $850$ tại đỉnh $B(100; 150).$
Vậy cửa hàng cần nhập về $100$ máy loại A và $150$ máy loại B để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Bài tập 2.4 (Trang 30 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
$$\mathbf{a)}\; \begin{cases} x<0 \\ y\geq 0; \end{cases}$$
$$\mathbf{b)}\; \begin{cases} x+y^2 < 0 \\ y-x > 1; \end{cases}$$
$$\mathbf{c)}\; \begin{cases} x+y+z < 0 \\ y<0; \end{cases}$$
$$\mathbf{d)}\; \begin{cases} -2x+y < 3^2 \\ 4^2x + 3y < 1. \end{cases}$$
Giải
Các hệ a) và d) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hệ b) không phải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa $y^2.$
Hệ c) không phải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa đến 3 ẩn $x, y, z.$
Bài tập 2.5 (Trang 30 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
$$\mathbf{a)}\; \begin{cases} y-x < -1 \\ x>0 \\ y< 0; \end{cases}$$
$$\mathbf{b)}\; \begin{cases} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ 2x+y\leq 4; \end{cases}$$
$$\mathbf{c)}\; \begin{cases} x\geq 0 \\ x+y>5 \\ x-y<0. \end{cases}$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \begin{cases} y-x < -1 \\ x>0 \\ y< 0 \end{cases}$$
$$\mathbf{b)}\; \begin{cases} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ 2x+y\leq 4 \end{cases}$$
$$\mathbf{c)}\; \begin{cases} x\geq 0 \\ x+y>5 \\ x-y<0 \end{cases}$$
Bài tập 2.6 (Trang 30 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Một gia đình cần ít nhất $900$ đơn vị protein và $400$ đơn vị lipid trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi ki-lô-gam thịt bò chứa $800$ đơn vị protein và $200$ đơn vị lipid. Mỗi ki-lô-gam thịt lợn chứa $600$ đơn vị protein và $400$ đơn vị lipid. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là $1,6\;kg$ thịt bò và $1,1\;kg$ thịt lợn; giá $1\;kg$ thịt bò là $250$ nghìn đồng; giá $1\;kg$ thịt lợn là $160$ nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua $x$ ki-lô-gam thịt bò và $y$ ki-lô-gam thịt lợn.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi $F$ (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho $x$ ki-lô-gam thịt bò và $y$ ki-lô-gam thịt lợn. Hãy biểu diễn $F$ theo $x$ và $y.$
c) Tìm số ki-lô-gam thịt mỗi loại mà gia đình đó cần mua để chi phí là ít nhất.
Giải
a) Mỗi ki-lô-gam thịt bò chứa $800$ đơn vị protein nên $x$ ki-lô-gam thịt bò chứa $800x$ đơn vị protein. Mỗi ki-lô-gam thịt lợn chứa $600$ đơn vị protein nên $y$ ki-lô-gam thịt lợn chứa $600y$ đơn vị protein. Vậy tổng cộng có $800x + 600y$ đơn vị protein. Vì gia đình cần ít nhất $900$ đơn vị protein nên $800x + 600y \geq 900$ $\Leftrightarrow 8x+6y\geq 9.$
Mỗi ki-lô-gam thịt bò chứa $200$ đơn vị lipid nên $x$ ki-lô-gam thịt bò chứa $200x$ đơn vị lipid. Mỗi ki-lô-gam thịt lợn chứa $400$ đơn vị lipid nên $y$ ki-lô-gam thịt lợn chứa $400y$ đơn vị lipid. Vậy tổng cộng có $200x + 400y$ đơn vị lipid. Vì gia đình cần ít nhất $400$ đơn vị lipid nên $200x + 400y \geq 400$ $\Leftrightarrow x+2y\geq 2.$
Vì gia đình này chỉ mua nhiều nhất là $1,6\;kg$ thịt bò và $1,1\;kg$ thịt lợn nên $x\leq 1,6$ và $y\leq 1,1.$
Vì $x,y$ biểu thị số ki-lô-gam thịt nên $x\geq 0$ và $y\geq 0.$
Vậy ta có hệ bất phương trình:
$$\begin{cases} 8x+6y\geq 9 \\ x+2y\geq 2 \\ x\leq 1,6 \\ y\leq 1,1 \\ x\geq 0\\ y\geq 0 \end{cases}$$
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $ABCD$ với tọa độ các đỉnh là $A(0,3; 1,1),$ $B(0,6; 0,7),$ $C(1,6; 0,2),$ $D(1,6; 1,1).$
b) Gọi $F$ (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho $x$ ki-lô-gam thịt bò và $y$ ki-lô-gam thịt lợn thì $F = 250x + 160y.$
c) Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $F$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a).
Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh của tứ giác $ABCD,$ ta thấy $F$ đạt giá trị nhỏ nhất là $251$ tại đỉnh $A(0,3; 1,1).$
Vậy gia đình đó cần mua $0,3\;kg$ thịt bò và $1,1\;kg$ thịt lợn để chi phí là ít nhất.