Giải Toán 10 (t1) [Chương 2] BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 2. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Chia sẻ nếu thấy hay:

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 2, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.

A – Trắc nghiệm

Bài tập 2.7: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $x+y>3;$

B. $x^2+y^2 \leq 4;$

C. $(x-y)(3x+y) \geq 1;$

D. $y^3-2\leq 0.$

Chọn câu A.

Giải thích: Các câu B, D không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa $x^2, y^2, y^3.$ Trong câu C, ta có: $(x-y)(3x+y) = 3x^2 + …$ có chứa $x^2$ nên cũng không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài tập 2.8: Cho bất phương trình $2x+y>3.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.

D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $[3; +\infty ).$

Chọn câu C.

Bài tập 2.9: Hình nào sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x-y<3?$

A.

Bài tập 2.9 - Trang 31 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

B.

Bài tập 2.9 - Trang 31 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

C.

Bài tập 2.9 - Trang 31 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

D.

Bài tập 2.9 - Trang 31 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Chọn câu D.

Giải thích: Xét đường thẳng $d: x-y=3.$ Ta thấy khi $x=0$ thì $y = -3.$ Do đó, ta loại các câu AB, vì đường màu đỏ không đi qua điểm $(0; -3).$

Xét gốc tọa độ $O(0; 0).$ Thay $x=0$ và $y=0$ vào biểu thức $x-y,$ ta được: $0 – 0 = 0 <3.$ Do đó, điểm $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy ta chọn đáp án D.

Bài tập 2.10: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

$$\mathbf{A.}\; \begin{cases} x-y<0 \\ 2y\geq 0. \end{cases}$$

$$\mathbf{B.}\; \begin{cases} 3x+y^3 <0 \\ x+y > 3. \end{cases}$$

$$\mathbf{C.}\; \begin{cases} x+2y<0 \\ y^2+3<0. \end{cases}$$

$$\mathbf{D.}\; \begin{cases} -x^3 + y <4 \\ x+2y<1. \end{cases}$$

Chọn câu A.

Bài tập 2.11: Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x-y<-3 \\ 2y\geq -4 \end{cases}.$ Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. $(0; 0).$

B. $(-2; 1).$

C. $(3; -1).$

D. $(-3; 1).$

Chọn câu D.

Giải thích: Điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình thì tọa độ của nó phải thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. (Do đó điểm nào có tọa độ không thỏa mãn một trong hai bất phương trình trong hệ thì ta loại.)

+) Vì $0 – 0 =0 > -3$ nên điểm $(0; 0)$ không thuộc miền nghiệm. $\rightarrow$ Loại đáp án A.

+) Vì $(-2) -1 = -3$ nên điểm $(-2; 1)$ không thuộc miền nghiệm. $\rightarrow$ Loại đáp án B.

+) Vì $3 – (-1) = 4>-3$ nên điểm $(3; -1)$ không thuộc miền nghiệm. $\rightarrow$ Loại đáp án C.

+) Ta có $(-3)- 1 = -4 <-3$ và $2\cdot 1 = 2 \geq -4$ nên điểm $(-3; 1)$ thuộc miền nghiệm. $\rightarrow$ Chọn đáp án D.

Lưu ý là vì làm trắc nghiệm nên ta không cần vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình.

B – Tự luận

Bài tập 2.12 (Trang 32 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $\dfrac{x+y}{2} \geq \dfrac{2x-y+1}{3}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Giải

Ta có:

$$\frac{x+y}{2} \geq \frac{2x-y+1}{3}$$

$$\Leftrightarrow 3(x+y) \geq 2(2x-y+1)$$

$$\Leftrightarrow -x+5y\geq 2.$$

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d: -x+5y = 2$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

Bước 2: Lấy điểm $O(0; 0)$ không thuộc $d$ và thay $x=0, y = 0$ vào biểu thức $-x+5y$ ta được: $-0 + 5\cdot 0 = 0 < 2.$

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa điểm $O(0; 0)$ (miền không bị gạch).

Bài tập 2.12 - Trang 32 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Bài tập 2.13 (Trang 32 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x+y<1 \\ 2x-y\geq 3 \end{cases}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Giải

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d_1 : x+y=1.$ Lấy điểm $O(0; 0)$ không thuộc $d_1$ và thay $x=0, y=0$ vào biểu thức $x+y$ ta được: $0+0 = 0 < 1.$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x+y<1$ là nửa mặt phẳng bờ $d_1$ chứa điểm $O(0; 0)$ và không tính bờ $d_1$ (miền không bị gạch).

Bước 2: Vẽ đường thẳng $d_2: 2x-y=3.$ Lấy điểm $O(0; 0)$ không thuộc $d_2$ và thay $x=0, y=0$ vào biểu thức $2x-y$ ta được: $2\cdot 0 – 0 = 0 < 3.$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $2x-y\geq 3$ là nửa mặt phẳng bờ $d_2$ không chứa điểm $O(0; 0)$ (miền không bị gạch).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không bị gạch.

Bài tập 2.13 - trang 32 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Bài tập 2.14 (Trang 32 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} y-2x\leq 2 \\ y\leq 4 \\ x\leq 5 \\ x+y\geq -1 \end{cases}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y) = -x – y$ với $(x; y)$ thỏa mãn hệ trên.

Giải

Bài tập 2.14 - Trang 32 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $ABCD$ (miền không bị gạch) với tọa độ các đỉnh là $A(-1; 0),$ $B(1; 4),$ $C(5; 4),$ $D(5; -6).$

Tính giá trị của $F(x; y)$ tại các đỉnh, ta có: $F(-1; 0) = -(-1) – 0 = 1;$ $F(1; 4) = -1-4 = -5;$ $F(5; 4) = -5-4 = -9;$ $F(5; -6) = -5-(-6) = 1.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $1,$ đạt được tại điểm $(-1; 0)$ và điểm $(5; -6).$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $-9,$ đạt được tại điểm $(5; 4).$

Bài tập 2.15 (Trang 32 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Bác An đầu tư $1,2$ tỷ đồng vào ba loại trái phiếu: trái phiếu chính phủ với lãi suất $7\%$ một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất $8\;%$ một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất $12\%$ một năm. Vì lý do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất $3$ lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá $200$ triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?

Giải

Gọi $x,y$ (tỷ đồng) lần lượt là số tiền bác An đầu tư vào trái phiếu chính phủ, trái phiếu ngân hàng. Vì tổng số tiền đầu tư là $1,2$ tỷ đồng nên số tiền đầu tư vào trái phiếu doanh nghiệp là: $1,2 – x – y$ (tỷ đồng).

Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình (lưu ý rằng 200 triệu = 0,2 tỷ):

$\begin{cases} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ 1,2-x-y\geq 0 \\ x\geq 3y \\ 1,2-x-y\leq 0,2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ x+y\leq 1,2 \\ x-3y\geq 0 \\ x+y\geq 1. \end{cases}$

Bài tập 2.15 - Trang 32 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $ABCD$ (miền không bị gạch) có tọa độ các đỉnh là $A(0,75; 0,25),$ $B(0,9; 0,3),$ $C(1,2; 0),$ $D(1; 0).$

Gọi $F(x; y)$ là lợi nhuận bác An thu được sau một năm. Ta có:

$$F(x; y) = 0,07x +0,08y + 0,12(1,2 – x-y)$$

$$\Leftrightarrow F(x; y) = 0,144 – 0,05x – 0,04y.$$

Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh, ta có: $F(0,75; 0,25) = 0,0965;$ $F(0,9; 0,3) = 0,087;$ $F(1,2; 0) = 0,084;$ $F(1; 0) = 0,094.$

$\Rightarrow$ $F$ đạt giá trị lớn nhất là $0,0965$ tại điểm $A(0,75; 0,25).$

Vậy bác An nên đầu tư $0,75$ tỷ đồng (= 750 triệu đồng) vào trái phiếu chính phủ, $0,25$ tỷ đồng (= 250 triệu đồng) vào trái phiếu ngân hàng, và $1,2 – 0,75 – 0,25 = 0,2$ tỷ đồng (= 200 triệu đồng) vào trái phiếu doanh nghiệp.

Bài tập 2.16 (Trang 32 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Một công ty dự định chi tối đa $160$ triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp $8$ lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp $8$ lần trên đài phát thanh.

Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là $900$ giây với chi phí là $80$ nghìn đồng/giây. Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là $360$ giây với chi phí là $400$ nghìn đồng/giây.

Công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Giải

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là thời lượng quảng cáo (đơn vị: giây) trên đài phát thanh và trên đài truyền hình trong một tháng.

Công ty dự định chi tối đa $160$ triệu đồng cho quảng cáo nên: $80\;000x+400\;000y\leq 160\;000\;000$ $\Leftrightarrow x + 5y \leq 2\;000.$

Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là $900$ giây nên: $x\leq 900.$

Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là $360$ giây nên: $y\leq 360.$

Vì $x, y$ biểu thị thời gian nên: $x\geq 0$ và $y\geq 0.$

Vậy ta có hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x + 5y \leq 2\;000 \\ x\leq 900 \\ y\leq 360 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}$$

Bài tập 2.16 - Trang 32 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác $OABCD$ (miền không bị gạch) với tọa độ các đỉnh là: $O(0; 0),$ $A(0; 360),$ $B(200; 360),$ $C(900; 220),$ $D(900; 0).$

Giả sử hiệu quả quảng cáo trong $1$ giây trên đài phát thanh là $1$ (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo trong $1$ giây trên đài truyền hình là $8$ (đơn vị). Vì vậy, hiệu quả khi quảng cáo $x$ giây trên đài phát thanh và $y$ giây trên đài truyền hình là: $F(x; y) = x+8y.$

Tính giá trị của $F(x; y)$ tại các đỉnh, ta có: $F(0; 0) = 0;$ $F(0; 360) = 2\;880;$ $F(200; 360) = 3\;080;$ $F(900; 220) = 2\;660;$ $F(900; 0) = 900.$

Vậy $F(x; y)$ đạt giá trị lớn nhất là $3\;080$ tại đỉnh $B(200; 360).$

Do đó, công ty nên quảng cáo trên đài phát thanh $200$ giây và trên đài truyền hình $360$ giây.

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.