Giải Toán 10 (t1) [Chương 2] BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 2. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Chọn câu A.

Giải thích: Các câu B, D không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa $x^2, y^2, y^3.$ Trong câu C, ta có: $(x-y)(3x+y) = 3x^2 + …$ có chứa $x^2$ nên cũng không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn câu C.

Chọn câu D.

Giải thích: Xét đường thẳng $d: x-y=3.$ Ta thấy khi $x=0$ thì $y = -3.$ Do đó, ta loại các câu A và B, vì đường màu đỏ không đi qua điểm $(0; -3).$

Xét gốc tọa độ $O(0; 0).$ Thay $x=0$ và $y=0$ vào biểu thức $x-y,$ ta được: $0 – 0 = 0 <3.$ Do đó, điểm $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy ta chọn đáp án D.

Chọn câu A.

Chọn câu D.

Giải thích: Điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình thì tọa độ của nó phải thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. (Do đó điểm nào có tọa độ không thỏa mãn một trong hai bất phương trình trong hệ thì ta loại.)

+) Vì $0 – 0 =0 > -3$ nên điểm $(0; 0)$ không thuộc miền nghiệm. $\rightarrow$ Loại đáp án A.

+) Vì $(-2) -1 = -3$ nên điểm $(-2; 1)$ không thuộc miền nghiệm. $\rightarrow$ Loại đáp án B.

+) Vì $3 – (-1) = 4>-3$ nên điểm $(3; -1)$ không thuộc miền nghiệm. $\rightarrow$ Loại đáp án C.

+) Ta có $(-3)- 1 = -4 <-3$ và $2\cdot 1 = 2 \geq -4$ nên điểm $(-3; 1)$ thuộc miền nghiệm. $\rightarrow$ Chọn đáp án D.

Lưu ý là vì làm trắc nghiệm nên ta không cần vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Giải

Ta có:

$$\frac{x+y}{2} \geq \frac{2x-y+1}{3}$$

$$\Leftrightarrow 3(x+y) \geq 2(2x-y+1)$$

$$\Leftrightarrow -x+5y\geq 2.$$

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d: -x+5y = 2$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

Bước 2: Lấy điểm $O(0; 0)$ không thuộc $d$ và thay $x=0, y = 0$ vào biểu thức $-x+5y$ ta được: $-0 + 5\cdot 0 = 0 < 2.$

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa điểm $O(0; 0)$ (miền không bị gạch).

Giải

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d_1 : x+y=1.$ Lấy điểm $O(0; 0)$ không thuộc $d_1$ và thay $x=0, y=0$ vào biểu thức $x+y$ ta được: $0+0 = 0 < 1.$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x+y<1$ là nửa mặt phẳng bờ $d_1$ chứa điểm $O(0; 0)$ và không tính bờ $d_1$ (miền không bị gạch).

Bước 2: Vẽ đường thẳng $d_2: 2x-y=3.$ Lấy điểm $O(0; 0)$ không thuộc $d_2$ và thay $x=0, y=0$ vào biểu thức $2x-y$ ta được: $2\cdot 0 – 0 = 0 < 3.$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $2x-y\geq 3$ là nửa mặt phẳng bờ $d_2$ không chứa điểm $O(0; 0)$ (miền không bị gạch).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không bị gạch.

Giải

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $ABCD$ (miền không bị gạch) với tọa độ các đỉnh là $A(-1; 0),$ $B(1; 4),$ $C(5; 4),$ $D(5; -6).$

Tính giá trị của $F(x; y)$ tại các đỉnh, ta có: $F(-1; 0) = -(-1) – 0 = 1;$ $F(1; 4) = -1-4 = -5;$ $F(5; 4) = -5-4 = -9;$ $F(5; -6) = -5-(-6) = 1.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $1,$ đạt được tại điểm $(-1; 0)$ và điểm $(5; -6).$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $-9,$ đạt được tại điểm $(5; 4).$

Giải

Gọi $x,y$ (tỷ đồng) lần lượt là số tiền bác An đầu tư vào trái phiếu chính phủ, trái phiếu ngân hàng. Vì tổng số tiền đầu tư là $1,2$ tỷ đồng nên số tiền đầu tư vào trái phiếu doanh nghiệp là: $1,2 – x – y$ (tỷ đồng).

Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình (lưu ý rằng 200 triệu = 0,2 tỷ):

$\begin{cases} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ 1,2-x-y\geq 0 \\ x\geq 3y \\ 1,2-x-y\leq 0,2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ x+y\leq 1,2 \\ x-3y\geq 0 \\ x+y\geq 1. \end{cases}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $ABCD$ (miền không bị gạch) có tọa độ các đỉnh là $A(0,75; 0,25),$ $B(0,9; 0,3),$ $C(1,2; 0),$ $D(1; 0).$

Gọi $F(x; y)$ là lợi nhuận bác An thu được sau một năm. Ta có:

$$F(x; y) = 0,07x +0,08y + 0,12(1,2 – x-y)$$

$$\Leftrightarrow F(x; y) = 0,144 – 0,05x – 0,04y.$$

Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh, ta có: $F(0,75; 0,25) = 0,0965;$ $F(0,9; 0,3) = 0,087;$ $F(1,2; 0) = 0,084;$ $F(1; 0) = 0,094.$

$\Rightarrow$ $F$ đạt giá trị lớn nhất là $0,0965$ tại điểm $A(0,75; 0,25).$

Vậy bác An nên đầu tư $0,75$ tỷ đồng (= 750 triệu đồng) vào trái phiếu chính phủ, $0,25$ tỷ đồng (= 250 triệu đồng) vào trái phiếu ngân hàng, và $1,2 – 0,75 – 0,25 = 0,2$ tỷ đồng (= 200 triệu đồng) vào trái phiếu doanh nghiệp.

Giải

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là thời lượng quảng cáo (đơn vị: giây) trên đài phát thanh và trên đài truyền hình trong một tháng.

Công ty dự định chi tối đa $160$ triệu đồng cho quảng cáo nên: $80\;000x+400\;000y\leq 160\;000\;000$ $\Leftrightarrow x + 5y \leq 2\;000.$

Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là $900$ giây nên: $x\leq 900.$

Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là $360$ giây nên: $y\leq 360.$

Vì $x, y$ biểu thị thời gian nên: $x\geq 0$ và $y\geq 0.$

Vậy ta có hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x + 5y \leq 2\;000 \\ x\leq 900 \\ y\leq 360 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}$$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác $OABCD$ (miền không bị gạch) với tọa độ các đỉnh là: $O(0; 0),$ $A(0; 360),$ $B(200; 360),$ $C(900; 220),$ $D(900; 0).$

Giả sử hiệu quả quảng cáo trong $1$ giây trên đài phát thanh là $1$ (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo trong $1$ giây trên đài truyền hình là $8$ (đơn vị). Vì vậy, hiệu quả khi quảng cáo $x$ giây trên đài phát thanh và $y$ giây trên đài truyền hình là: $F(x; y) = x+8y.$

Tính giá trị của $F(x; y)$ tại các đỉnh, ta có: $F(0; 0) = 0;$ $F(0; 360) = 2\;880;$ $F(200; 360) = 3\;080;$ $F(900; 220) = 2\;660;$ $F(900; 0) = 900.$

Vậy $F(x; y)$ đạt giá trị lớn nhất là $3\;080$ tại đỉnh $B(200; 360).$

Do đó, công ty nên quảng cáo trên đài phát thanh $200$ giây và trên đài truyền hình $360$ giây.