Giải Toán 10 (t1) [Chương 3] Bài 5 – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ $0^o$ ĐẾN $180^o.$ (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)
Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 5 – Chương 3, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.
Luyện tập 1 (Trang 35 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Tìm các giá trị lượng giác của góc $120^o$ (H.3.4).

Giải
Ta có: $\widehat{MOP} = 120^o – 90^o = 30^o.$
Tam giác $MOP$ vuông tại $P$ nên:
$$MP = MO\cdot sin\widehat{MOP} = 1\cdot sin\;30^o = \frac{1}{2}.$$
$$OP = MO\cdot cos\widehat{MOP} = 1\cdot cos\;30^o = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Do đó tọa độ điểm $M$ là $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$
Từ đó ta được:
$$sin\;120^o = \frac{\sqrt{3}}{2};$$
$$cos\;120^o = -\frac{1}{2};$$
$$tan\;120^o = \frac{sin\;120^o}{cos\;120^o} = -\sqrt{3};$$
$$cot\;120^o =\frac{cos\;120^o}{sin\;120^o} = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Luyện tập 2 (Trang 36 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong Hình 3.6, hai điểm $M, N$ ứng với hai góc phụ nhau $\alpha$ và $90^o – \alpha$ $(\widehat{xOM} = \alpha, \widehat{xON} = 90^o – \alpha).$
Chứng minh rằng $\bigtriangleup MOP = \bigtriangleup NOQ.$ Từ đó nêu mối quan hệ giữa $cos\alpha$ và $sin(90^o – \alpha).$

Giải
Ta thấy: $\widehat{NOQ} = \widehat{xOy} – \widehat{xON} = 90^o – (90^o – \alpha) = \alpha.$
Vậy $\widehat{NOQ} = \widehat{xOM} = \alpha.$
Xét hai tam giác vuông $\bigtriangleup MOP$ và $\bigtriangleup NOQ,$ ta có:
- $OM = ON$ (cùng bằng $1);$
- $\widehat{MOP} = \widehat{NOQ}$ (cùng bằng $\alpha).$
Do đó: $\bigtriangleup MOP = \bigtriangleup NOQ$ (cạnh huyền – góc nhọn)
Từ đó suy ra: $OP = OQ$ (1)
Quan sát hình minh họa ta thấy rằng:
- $OP$ là hoành độ của điểm $M$, nên $cos\alpha = OP.$ (2)
- $OQ$ là tung độ của điểm $N$, nên $sin(90^o – \alpha) = OQ.$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: $cos\alpha = sin(90^o – \alpha).$
Vận dụng (Trang 37 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Một chiếc đu quay có bán kính $75\;m,$ tâm của vòng quay ở độ cao $90\;m$ (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là $30$ phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau $20$ phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Giải
Gọi $A$ là vị trí của cabin lúc xuất phát và $M$ là vị trí của cabin sau 20 phút quay. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như trong hình vẽ sau (với $O$ trùng với tâm của vòng quay, và $1$ đơn vị trên mặt phẳng tọa độ ứng với $75\;m$ ngoài thực tế):

Vì mỗi vòng quay mất $30$ phút nên sau $20$ phút thì đã quay được $\frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ vòng.
Suy ra: $\widehat{xOM} = \frac{2}{3}\cdot 360^o – 90^o = 150^o$ (vì quay hết một vòng tròn tương ứng với $360^o).$
Do đó, tung độ của điểm $M$ là: $sin\;150^o = \frac{1}{2}.$
Mặt khác, $1$ đơn vị trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ ứng với $75\;m$ trong thực tế, nên độ dài đoạn thẳng $OQ$ ứng với $\frac{75}{2} = 37,5$ mét trong thực tế.
Vậy sau $20$ phút, đu quay ở độ cao là:
$$37,5 + 90 = 127,5\; (m)$$
Bài tập 3.1 (Trang 37 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
$$\mathbf{a)}\; (2sin\;30^o + cos\;135^o -3tan\;150^o) \cdot (cos\;180^o – cot\;60^o);$$
$$\mathbf{b)}\; sin^2\;90^o + cos^2\;120^o + cos^2\;0^o – tan^2\;60^o + cot^2\;135^o;$$
$$\mathbf{c)}\; cos\;60^o \cdot sin\;30^o + cos^2\;30^o.$$
Giải
a) Ta có:
$$sin\;30^o = \frac{1}{2};$$
$$cos\;135^o = cos(180^o – 45^o) = -cos\;45^o = \frac{-\sqrt{2}}{2};$$
$$tan\;150^o = tan(180^o – 30^o) = -tan\;30^o = \frac{-1}{\sqrt{3}};$$
$$cos\;180^o = -1;$$
$$cot\;60^o = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Do đó:
$$(2sin\;30^o + cos\;135^o -3tan\;150^o) \cdot (cos\;180^o – cot\;60^o)$$
$$= \left(2\cdot \frac{1}{2} + \frac{-\sqrt{2}}{2} – 3\cdot \frac{-1}{\sqrt{3}}\right)\cdot \left(-1 – \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$
$$= \left(1 – \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{3}\right) \cdot \left(\frac{-1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)$$
$$= \frac{\sqrt{2} – 1 + \sqrt{6}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{-(1+\sqrt{3})}{\sqrt{3}}$$
$$= \frac{-(1+\sqrt{3})\cdot (\sqrt{2} – 1 + \sqrt{6})}{\sqrt{6}}$$
b) Ta có:
$$sin^2\;90^o = (sin\;90^o)^2 = 1;$$
$$cos^2\;120^o = (cos\;120^o)^2 = (-cos\;60^o)^2 = (cos\;60^o)^2 = \frac{1}{4};$$
$$cos^2\;0^o = (cos\;0^0)^2 = 1;$$
$$tan^2\;60^o = (tan\;60^o)^2 = 3;$$
$$cot^2\;135^o = (cot\;135^o)^2 = (-cot\;45^o)^2 = (cot\;45^o)^2 = 1.$$
Do đó:
$$sin^2\;90^o + cos^2\;120^o + cos^2\;0^o – tan^2\;60^o + cot^2\;135^o$$
$$= 1 + \frac{1}{4} + 1 – 3 + 1$$
$$= \frac{1}{4}.$$
c) Ta có: $cos\;60^o = cos\;(90^o – 30^o) = sin\;30^o.$
Do đó:
$$cos\;60^o \cdot sin\;30^o + cos^2\;30^o$$
$$= sin\;30^o \cdot sin\;30^o + cos^2\;30^o$$
$$= sin^2\;30^o + cos^2\;30^o$$
$$= 1.$$
Bài tập 3.2 (Trang 37 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Đơn giản các biểu thức sau:
$$\mathbf{a)}\; sin\;100^o + sin\;80^o + cos\;16^o + cos\;164^o;$$
$\mathbf{b)}\; 2sin(180^o – \alpha) \cot\;\alpha – cos(180^o – \alpha) \cdot tan\;\alpha \cdot cot(180^o – \alpha),$ với $0^o < \alpha < 90^o.$
Giải
$$\mathbf{a)}\; sin\;100^o + sin\;80^o + cos\;16^o + cos\;164^o$$
Ta có:
$sin\;100^o = sin\;80^o$ (vì hai góc bù nhau: $100^o + 80^o = 180^o)$
$cos\;16^o = -cos\;164^o$ (vì hai góc bù nhau: $16^o + 164^0 =180^o)$
Do đó:
$$sin\;100^o + sin\;80^o + cos\;16^o + cos\;164^o$$
$$= sin\;80^o + sin\;80^o – cos\;164^o + cos\;164^o$$
$$= 2sin\;80^o.$$
$\mathbf{b)}\; 2sin(180^o – \alpha) \cdot cot\;\alpha – cos(180^o – \alpha) \cdot tan\;\alpha \cdot cot(180^o – \alpha),$ với $0^o < \alpha < 90^o$
Ta có:
$$sin(180^o – \alpha) = sin\;\alpha;$$
$$cos(180^o – \alpha) = -cos\;\alpha;$$
$$cot(180^o – \alpha) = -cot\;\alpha.$$
Do đó:
$$ 2sin(180^o – \alpha) \cdot cot\;\alpha – cos(180^o – \alpha) \cdot tan\;\alpha \cdot cot(180^o – \alpha) $$
$$= 2sin\;\alpha \cdot cot\;\alpha + cos\;\alpha \cdot tan\;\alpha \cdot (-cot\;\alpha)$$
$$= 2sin\;\alpha \cdot \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha} – cos\;\alpha \tan\;\alpha \cdot cot\;\alpha$$
$$= 2cos\;\alpha – cos\;\alpha \cdot 1$$
$$= cos\;\alpha.$$
Lưu ý
$$tan\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}.$$
$$cot\;\alpha = \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha}.$$
Suy ra:
$$cot\;\alpha = \frac{1}{tan\;\alpha}; tan\;\alpha = \frac{1}{cot\;\alpha}.$$
$$tan\;\alpha \cdot cot\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha} \cdot \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha} = 1.$$
Bài tập 3.3 (Trang 37 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Chứng minh các hệ thức sau:
$$\mathbf{a)}\; sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1;$$
$$\mathbf{b)}\; 1 + tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha} \;\; (\alpha \neq 90^o);$$
$$\mathbf{c)}\; 1 + cot^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} \;\; (0^o < \alpha < 180^o).$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$

Lấy điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha.$
Gọi $N, P$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $Ox, Oy.$
Khi đó: $N(cos\;\alpha ; 0)$ và $P(0; sin\;\alpha).$
Suy ra: $ON = |cos\;\alpha |$ và $OP = |sin\;\alpha |.$
Hơn nữa, tứ giác $ONMP$ là hình chữ nhật có đường chéo $OM = 1.$
Dựa vào định lý Pythagore, ta được: $OM^2 = ON^2 + OP^2.$
Suy ra: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$
$$\mathbf{b)}\; 1 + tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha} \;\; (\alpha \neq 90^o)$$
Ta có:
$tan\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}.$
Do đó:
$$1 + tan^2\alpha = 1 + \left(\frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}\right)^2$$
$$\;\;\; = 1 + \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$$
$$\;\;\; = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{cos^2\alpha}$$
$$\;\;\; = \frac{1}{cos^2\alpha}.$$
$$\mathbf{c)}\; 1 + cot^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} \;\; (0^o < \alpha < 180^o)$$
Ta có:
$$cot\;\alpha = \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha}$$
Do đó:
$$1 + cot^2\alpha = 1 + \left(\frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha}\right)^2$$
$$\;\;\; = 1 + \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$$
$$\;\;\; = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$$
$$\;\;\; = \frac{1}{sin^2\alpha}.$$
Bài tập 3.4 (Trang 37 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho góc $\alpha \;\; (0^o < \alpha < 180^o)$ thỏa mãn $tan\;\alpha = 3.$ Tính giá trị của biểu thức:
$$P = \frac{2sin\;\alpha – 3cos\;\alpha}{3sin\;\alpha + 2cos\;\alpha}.$$
Giải
Do $tan\;\alpha = 3$ (xác định) nên $cos\;\alpha \neq 0.$
(Vì nếu $cos\;\alpha = 0$ thì ta không thể tính được $tan\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}.)$
Chia cả tử và mẫu của phân thức cần tính cho $cos\;\alpha,$ ta được:
$$P = \frac{2\frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha} – 3}{3\frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha} + 2}$$
$$\;\;\; = \frac{2tan\;\alpha – 3}{3tan\;\alpha + 2}$$
$$\;\;\; = \frac{2\cdot 3 – 3}{3\cdot 3 + 2}$$
$$\;\;\; = \frac{3}{11}.$$