Giải Toán 10 (t1) [Chương 3] Bài 5 – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ $0^o$ ĐẾN $180^o.$ (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Chia sẻ nếu thấy hay:

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 5 – Chương 3, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.

Luyện tập 1 (Trang 35 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Tìm các giá trị lượng giác của góc $120^o$ (H.3.4).

Luyện tập 1 - Trang 35 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

Ta có: $\widehat{MOP} = 120^o – 90^o = 30^o.$

Tam giác $MOP$ vuông tại $P$ nên:

$$MP = MO\cdot sin\widehat{MOP} = 1\cdot sin\;30^o = \frac{1}{2}.$$

$$OP = MO\cdot cos\widehat{MOP} = 1\cdot cos\;30^o = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Do đó tọa độ điểm $M$ là $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Từ đó ta được:

$$sin\;120^o = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

$$cos\;120^o = -\frac{1}{2};$$

$$tan\;120^o = \frac{sin\;120^o}{cos\;120^o} = -\sqrt{3};$$

$$cot\;120^o =\frac{cos\;120^o}{sin\;120^o} = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Luyện tập 2 (Trang 36 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong Hình 3.6, hai điểm $M, N$ ứng với hai góc phụ nhau $\alpha$ và $90^o – \alpha$ $(\widehat{xOM} = \alpha, \widehat{xON} = 90^o – \alpha).$

Chứng minh rằng $\bigtriangleup MOP = \bigtriangleup NOQ.$ Từ đó nêu mối quan hệ giữa $cos\alpha$ và $sin(90^o – \alpha).$

Luyện tập 2 - Trang 36 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

Ta thấy: $\widehat{NOQ} = \widehat{xOy} – \widehat{xON} = 90^o – (90^o – \alpha) = \alpha.$

Vậy $\widehat{NOQ} = \widehat{xOM} = \alpha.$

Xét hai tam giác vuông $\bigtriangleup MOP$ và $\bigtriangleup NOQ,$ ta có:

  • $OM = ON$ (cùng bằng $1);$
  • $\widehat{MOP} = \widehat{NOQ}$ (cùng bằng $\alpha).$

Do đó: $\bigtriangleup MOP = \bigtriangleup NOQ$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Từ đó suy ra: $OP = OQ$ (1)

Quan sát hình minh họa ta thấy rằng:

  • $OP$ là hoành độ của điểm $M$, nên $cos\alpha = OP.$ (2)
  • $OQ$ là tung độ của điểm $N$, nên $sin(90^o – \alpha) = OQ.$ (3)

Từ (1), (2)(3) suy ra: $cos\alpha = sin(90^o – \alpha).$

Vận dụng (Trang 37 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Một chiếc đu quay có bán kính $75\;m,$ tâm của vòng quay ở độ cao $90\;m$ (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là $30$ phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau $20$ phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Vận dụng - Trang 37 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

Gọi $A$ là vị trí của cabin lúc xuất phát và $M$ là vị trí của cabin sau 20 phút quay. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như trong hình vẽ sau (với $O$ trùng với tâm của vòng quay, và $1$ đơn vị trên mặt phẳng tọa độ ứng với $75\;m$ ngoài thực tế):

Vận dụng - Trang 37 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Vì mỗi vòng quay mất $30$ phút nên sau $20$ phút thì đã quay được $\frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ vòng.

Suy ra: $\widehat{xOM} = \frac{2}{3}\cdot 360^o – 90^o = 150^o$ (vì quay hết một vòng tròn tương ứng với $360^o).$

Do đó, tung độ của điểm $M$ là: $sin\;150^o = \frac{1}{2}.$

Mặt khác, $1$ đơn vị trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ ứng với $75\;m$ trong thực tế, nên độ dài đoạn thẳng $OQ$ ứng với $\frac{75}{2} = 37,5$ mét trong thực tế.

Vậy sau $20$ phút, đu quay ở độ cao là:

$$37,5 + 90 = 127,5\; (m)$$

Bài tập 3.1 (Trang 37 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

$$\mathbf{a)}\; (2sin\;30^o + cos\;135^o -3tan\;150^o) \cdot (cos\;180^o – cot\;60^o);$$

$$\mathbf{b)}\; sin^2\;90^o + cos^2\;120^o + cos^2\;0^o – tan^2\;60^o + cot^2\;135^o;$$

$$\mathbf{c)}\; cos\;60^o \cdot sin\;30^o + cos^2\;30^o.$$

Giải

a) Ta có:

$$sin\;30^o = \frac{1}{2};$$

$$cos\;135^o = cos(180^o – 45^o) = -cos\;45^o = \frac{-\sqrt{2}}{2};$$

$$tan\;150^o = tan(180^o – 30^o) = -tan\;30^o = \frac{-1}{\sqrt{3}};$$

$$cos\;180^o = -1;$$

$$cot\;60^o = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Do đó:

$$(2sin\;30^o + cos\;135^o -3tan\;150^o) \cdot (cos\;180^o – cot\;60^o)$$

$$= \left(2\cdot \frac{1}{2} + \frac{-\sqrt{2}}{2} – 3\cdot \frac{-1}{\sqrt{3}}\right)\cdot \left(-1 – \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

$$= \left(1 – \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{3}\right) \cdot \left(\frac{-1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)$$

$$= \frac{\sqrt{2} – 1 + \sqrt{6}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{-(1+\sqrt{3})}{\sqrt{3}}$$

$$= \frac{-(1+\sqrt{3})\cdot (\sqrt{2} – 1 + \sqrt{6})}{\sqrt{6}}$$

b) Ta có:

$$sin^2\;90^o = (sin\;90^o)^2 = 1;$$

$$cos^2\;120^o = (cos\;120^o)^2 = (-cos\;60^o)^2 = (cos\;60^o)^2 = \frac{1}{4};$$

$$cos^2\;0^o = (cos\;0^0)^2 = 1;$$

$$tan^2\;60^o = (tan\;60^o)^2 = 3;$$

$$cot^2\;135^o = (cot\;135^o)^2 = (-cot\;45^o)^2 = (cot\;45^o)^2 = 1.$$

Do đó:

$$sin^2\;90^o + cos^2\;120^o + cos^2\;0^o – tan^2\;60^o + cot^2\;135^o$$

$$= 1 + \frac{1}{4} + 1 – 3 + 1$$

$$= \frac{1}{4}.$$

c) Ta có: $cos\;60^o = cos\;(90^o – 30^o) = sin\;30^o.$

Do đó:

$$cos\;60^o \cdot sin\;30^o + cos^2\;30^o$$

$$= sin\;30^o \cdot sin\;30^o + cos^2\;30^o$$

$$= sin^2\;30^o + cos^2\;30^o$$

$$= 1.$$

Bài tập 3.2 (Trang 37 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Đơn giản các biểu thức sau:

$$\mathbf{a)}\; sin\;100^o + sin\;80^o + cos\;16^o + cos\;164^o;$$

$\mathbf{b)}\; 2sin(180^o – \alpha) \cot\;\alpha – cos(180^o – \alpha) \cdot tan\;\alpha \cdot cot(180^o – \alpha),$ với $0^o < \alpha < 90^o.$

Giải

$$\mathbf{a)}\; sin\;100^o + sin\;80^o + cos\;16^o + cos\;164^o$$

Ta có:

$sin\;100^o = sin\;80^o$ (vì hai góc bù nhau: $100^o + 80^o = 180^o)$

$cos\;16^o = -cos\;164^o$ (vì hai góc bù nhau: $16^o + 164^0 =180^o)$

Do đó:

$$sin\;100^o + sin\;80^o + cos\;16^o + cos\;164^o$$

$$= sin\;80^o + sin\;80^o – cos\;164^o + cos\;164^o$$

$$= 2sin\;80^o.$$

$\mathbf{b)}\; 2sin(180^o – \alpha) \cdot cot\;\alpha – cos(180^o – \alpha) \cdot tan\;\alpha \cdot cot(180^o – \alpha),$ với $0^o < \alpha < 90^o$

Ta có:

$$sin(180^o – \alpha) = sin\;\alpha;$$

$$cos(180^o – \alpha) = -cos\;\alpha;$$

$$cot(180^o – \alpha) = -cot\;\alpha.$$

Do đó:

$$ 2sin(180^o – \alpha) \cdot cot\;\alpha – cos(180^o – \alpha) \cdot tan\;\alpha \cdot cot(180^o – \alpha) $$

$$= 2sin\;\alpha \cdot cot\;\alpha + cos\;\alpha \cdot tan\;\alpha \cdot (-cot\;\alpha)$$

$$= 2sin\;\alpha \cdot \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha} – cos\;\alpha \tan\;\alpha \cdot cot\;\alpha$$

$$= 2cos\;\alpha – cos\;\alpha \cdot 1$$

$$= cos\;\alpha.$$

Lưu ý

$$tan\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}.$$

$$cot\;\alpha = \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha}.$$

Suy ra:

$$cot\;\alpha = \frac{1}{tan\;\alpha}; tan\;\alpha = \frac{1}{cot\;\alpha}.$$

$$tan\;\alpha \cdot cot\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha} \cdot \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha} = 1.$$

Bài tập 3.3 (Trang 37 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Chứng minh các hệ thức sau:

$$\mathbf{a)}\; sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1;$$

$$\mathbf{b)}\; 1 + tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha} \;\; (\alpha \neq 90^o);$$

$$\mathbf{c)}\; 1 + cot^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} \;\; (0^o < \alpha < 180^o).$$

Giải

$$\mathbf{a)}\; sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$

Bài tập 3.3 - Trang 37 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Lấy điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha.$

Gọi $N, P$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $Ox, Oy.$

Khi đó: $N(cos\;\alpha ; 0)$ và $P(0; sin\;\alpha).$

Suy ra: $ON = |cos\;\alpha |$ và $OP = |sin\;\alpha |.$

Hơn nữa, tứ giác $ONMP$ là hình chữ nhật có đường chéo $OM = 1.$

Dựa vào định lý Pythagore, ta được: $OM^2 = ON^2 + OP^2.$

Suy ra: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$

$$\mathbf{b)}\; 1 + tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha} \;\; (\alpha \neq 90^o)$$

Ta có:

$tan\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}.$

Do đó:

$$1 + tan^2\alpha = 1 + \left(\frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}\right)^2$$

$$\;\;\; = 1 + \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$$

$$\;\;\; = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{cos^2\alpha}$$

$$\;\;\; = \frac{1}{cos^2\alpha}.$$

$$\mathbf{c)}\; 1 + cot^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} \;\; (0^o < \alpha < 180^o)$$

Ta có:

$$cot\;\alpha = \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha}$$

Do đó:

$$1 + cot^2\alpha = 1 + \left(\frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha}\right)^2$$

$$\;\;\; = 1 + \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$$

$$\;\;\; = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$$

$$\;\;\; = \frac{1}{sin^2\alpha}.$$

Bài tập 3.4 (Trang 37 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho góc $\alpha \;\; (0^o < \alpha < 180^o)$ thỏa mãn $tan\;\alpha = 3.$ Tính giá trị của biểu thức:

$$P = \frac{2sin\;\alpha – 3cos\;\alpha}{3sin\;\alpha + 2cos\;\alpha}.$$

Giải

Do $tan\;\alpha = 3$ (xác định) nên $cos\;\alpha \neq 0.$

(Vì nếu $cos\;\alpha = 0$ thì ta không thể tính được $tan\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}.)$

Chia cả tử và mẫu của phân thức cần tính cho $cos\;\alpha,$ ta được:

$$P = \frac{2\frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha} – 3}{3\frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha} + 2}$$

$$\;\;\; = \frac{2tan\;\alpha – 3}{3tan\;\alpha + 2}$$

$$\;\;\; = \frac{2\cdot 3 – 3}{3\cdot 3 + 2}$$

$$\;\;\; = \frac{3}{11}.$$

Chia sẻ nếu thấy hay:
0 0 đánh giá
Đánh giá bài viết
Theo dõi
Thông báo của
guest

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

0 Góp ý
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Rất thích suy nghĩ của bạn, hãy bình luận.x