Giải Toán 10 (t1) [Chương 3] Bài 5 – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ $0^o$ ĐẾN $180^o.$ (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Giải

Ta có: $\widehat{MOP} = 120^o – 90^o = 30^o.$

Tam giác $MOP$ vuông tại $P$ nên:

$$MP = MO\cdot sin\widehat{MOP} = 1\cdot sin\;30^o = \frac{1}{2}.$$

$$OP = MO\cdot cos\widehat{MOP} = 1\cdot cos\;30^o = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Do đó tọa độ điểm $M$ là $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Từ đó ta được:

$$sin\;120^o = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

$$cos\;120^o = -\frac{1}{2};$$

$$tan\;120^o = \frac{sin\;120^o}{cos\;120^o} = -\sqrt{3};$$

$$cot\;120^o =\frac{cos\;120^o}{sin\;120^o} = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Giải

Ta thấy: $\widehat{NOQ} = \widehat{xOy} – \widehat{xON} = 90^o – (90^o – \alpha) = \alpha.$

Vậy $\widehat{NOQ} = \widehat{xOM} = \alpha.$

Xét hai tam giác vuông $\bigtriangleup MOP$ và $\bigtriangleup NOQ,$ ta có:

• $OM = ON$ (cùng bằng $1);$
• $\widehat{MOP} = \widehat{NOQ}$ (cùng bằng $\alpha).$

Do đó: $\bigtriangleup MOP = \bigtriangleup NOQ$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Từ đó suy ra: $OP = OQ$ (1)

Quan sát hình minh họa ta thấy rằng:

• $OP$ là hoành độ của điểm $M$, nên $cos\alpha = OP.$ (2)
• $OQ$ là tung độ của điểm $N$, nên $sin(90^o – \alpha) = OQ.$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $cos\alpha = sin(90^o – \alpha).$

Giải

Gọi $A$ là vị trí của cabin lúc xuất phát và $M$ là vị trí của cabin sau 20 phút quay. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như trong hình vẽ sau (với $O$ trùng với tâm của vòng quay, và $1$ đơn vị trên mặt phẳng tọa độ ứng với $75\;m$ ngoài thực tế):

Vì mỗi vòng quay mất $30$ phút nên sau $20$ phút thì đã quay được $\frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ vòng.

Suy ra: $\widehat{xOM} = \frac{2}{3}\cdot 360^o – 90^o = 150^o$ (vì quay hết một vòng tròn tương ứng với $360^o).$

Do đó, tung độ của điểm $M$ là: $sin\;150^o = \frac{1}{2}.$

Mặt khác, $1$ đơn vị trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ ứng với $75\;m$ trong thực tế, nên độ dài đoạn thẳng $OQ$ ứng với $\frac{75}{2} = 37,5$ mét trong thực tế.

Vậy sau $20$ phút, đu quay ở độ cao là:

$$37,5 + 90 = 127,5\; (m)$$

Giải

a) Ta có:

$$sin\;30^o = \frac{1}{2};$$

$$cos\;135^o = cos(180^o – 45^o) = -cos\;45^o = \frac{-\sqrt{2}}{2};$$

$$tan\;150^o = tan(180^o – 30^o) = -tan\;30^o = \frac{-1}{\sqrt{3}};$$

$$cos\;180^o = -1;$$

$$cot\;60^o = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Do đó:

$$(2sin\;30^o + cos\;135^o -3tan\;150^o) \cdot (cos\;180^o – cot\;60^o)$$

$$= \left(2\cdot \frac{1}{2} + \frac{-\sqrt{2}}{2} – 3\cdot \frac{-1}{\sqrt{3}}\right)\cdot \left(-1 – \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

$$= \left(1 – \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{3}\right) \cdot \left(\frac{-1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)$$

$$= \frac{\sqrt{2} – 1 + \sqrt{6}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{-(1+\sqrt{3})}{\sqrt{3}}$$

$$= \frac{-(1+\sqrt{3})\cdot (\sqrt{2} – 1 + \sqrt{6})}{\sqrt{6}}$$

b) Ta có:

$$sin^2\;90^o = (sin\;90^o)^2 = 1;$$

$$cos^2\;120^o = (cos\;120^o)^2 = (-cos\;60^o)^2 = (cos\;60^o)^2 = \frac{1}{4};$$

$$cos^2\;0^o = (cos\;0^0)^2 = 1;$$

$$tan^2\;60^o = (tan\;60^o)^2 = 3;$$

$$cot^2\;135^o = (cot\;135^o)^2 = (-cot\;45^o)^2 = (cot\;45^o)^2 = 1.$$

Do đó:

$$sin^2\;90^o + cos^2\;120^o + cos^2\;0^o – tan^2\;60^o + cot^2\;135^o$$

$$= 1 + \frac{1}{4} + 1 – 3 + 1$$

$$= \frac{1}{4}.$$

c) Ta có: $cos\;60^o = cos\;(90^o – 30^o) = sin\;30^o.$

Do đó:

$$cos\;60^o \cdot sin\;30^o + cos^2\;30^o$$

$$= sin\;30^o \cdot sin\;30^o + cos^2\;30^o$$

$$= sin^2\;30^o + cos^2\;30^o$$

$$= 1.$$

Giải

$$\mathbf{a)}\; sin\;100^o + sin\;80^o + cos\;16^o + cos\;164^o$$

Ta có:

$sin\;100^o = sin\;80^o$ (vì hai góc bù nhau: $100^o + 80^o = 180^o)$

$cos\;16^o = -cos\;164^o$ (vì hai góc bù nhau: $16^o + 164^0 =180^o)$

Do đó:

$$sin\;100^o + sin\;80^o + cos\;16^o + cos\;164^o$$

$$= sin\;80^o + sin\;80^o – cos\;164^o + cos\;164^o$$

$$= 2sin\;80^o.$$

$\mathbf{b)}\; 2sin(180^o – \alpha) \cdot cot\;\alpha – cos(180^o – \alpha) \cdot tan\;\alpha \cdot cot(180^o – \alpha),$ với $0^o < \alpha < 90^o$

Ta có:

$$sin(180^o – \alpha) = sin\;\alpha;$$

$$cos(180^o – \alpha) = -cos\;\alpha;$$

$$cot(180^o – \alpha) = -cot\;\alpha.$$

Do đó:

$$ 2sin(180^o – \alpha) \cdot cot\;\alpha – cos(180^o – \alpha) \cdot tan\;\alpha \cdot cot(180^o – \alpha) $$

$$= 2sin\;\alpha \cdot cot\;\alpha + cos\;\alpha \cdot tan\;\alpha \cdot (-cot\;\alpha)$$

$$= 2sin\;\alpha \cdot \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha} – cos\;\alpha \tan\;\alpha \cdot cot\;\alpha$$

$$= 2cos\;\alpha – cos\;\alpha \cdot 1$$

$$= cos\;\alpha.$$

Lưu ý

$$tan\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}.$$

$$cot\;\alpha = \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha}.$$

Suy ra:

$$cot\;\alpha = \frac{1}{tan\;\alpha}; tan\;\alpha = \frac{1}{cot\;\alpha}.$$

$$tan\;\alpha \cdot cot\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha} \cdot \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha} = 1.$$

Giải

$$\mathbf{a)}\; sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$

Lấy điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha.$

Gọi $N, P$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $Ox, Oy.$

Khi đó: $N(cos\;\alpha ; 0)$ và $P(0; sin\;\alpha).$

Suy ra: $ON = |cos\;\alpha |$ và $OP = |sin\;\alpha |.$

Hơn nữa, tứ giác $ONMP$ là hình chữ nhật có đường chéo $OM = 1.$

Dựa vào định lý Pythagore, ta được: $OM^2 = ON^2 + OP^2.$

Suy ra: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.$

$$\mathbf{b)}\; 1 + tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha} \;\; (\alpha \neq 90^o)$$

Ta có:

$tan\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}.$

Do đó:

$$1 + tan^2\alpha = 1 + \left(\frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}\right)^2$$

$$\;\;\; = 1 + \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$$

$$\;\;\; = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{cos^2\alpha}$$

$$\;\;\; = \frac{1}{cos^2\alpha}.$$

$$\mathbf{c)}\; 1 + cot^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} \;\; (0^o < \alpha < 180^o)$$

Ta có:

$$cot\;\alpha = \frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha}$$

Do đó:

$$1 + cot^2\alpha = 1 + \left(\frac{cos\;\alpha}{sin\;\alpha}\right)^2$$

$$\;\;\; = 1 + \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$$

$$\;\;\; = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$$

$$\;\;\; = \frac{1}{sin^2\alpha}.$$

Giải

Do $tan\;\alpha = 3$ (xác định) nên $cos\;\alpha \neq 0.$

(Vì nếu $cos\;\alpha = 0$ thì ta không thể tính được $tan\;\alpha = \frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha}.)$

Chia cả tử và mẫu của phân thức cần tính cho $cos\;\alpha,$ ta được:

$$P = \frac{2\frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha} – 3}{3\frac{sin\;\alpha}{cos\;\alpha} + 2}$$

$$\;\;\; = \frac{2tan\;\alpha – 3}{3tan\;\alpha + 2}$$

$$\;\;\; = \frac{2\cdot 3 – 3}{3\cdot 3 + 2}$$

$$\;\;\; = \frac{3}{11}.$$