Giải Toán 10 (t1) [Chương 3] Bài 6 – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Giải

$$cosA = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}.$$

$$cosB = \frac{c^2 + a^2 – b^2}{2ca}.$$

$$cosC = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}.$$

Giải

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC,$ ta được:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2AB\cdot AC \cdot cosA$$

$$\;\;\; = 5^2 + 8^2 – 2\cdot 5 \cdot 8 \cdot cos\;45^o$$

$$\;\;\; = 89 – 40\sqrt{2}.$$

Vậy $BC^2 = 89-40\sqrt{2}.$

Suy ra: $BC = \sqrt{89 – 40\sqrt{2}} \approx 5,6949$

$$cosB = \frac{BA^2 + BC^2 – CA^2}{2BA\cdot BC} \approx -0,1153$$

$$\;\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{B} \approx 96^o 37\\’$$

$$cosC = \frac{CA^2 + CB^2 – BA^2}{2CA\cdot CB} \approx 0,7839$$

$$\;\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{C} \approx 38^o 23\\’$$

Giải

Trong hình vẽ trên, điểm $O$ là cảng Vân Phong.

Sau khi đi 1 giờ (theo hướng Đông với vận tốc 20 km/h), tàu đến vị trí $A.$ Quãng đường $OA$ là: $OA = 20\cdot 1 = 20 \; km.$

Đi tiếp 0,5 giờ (theo hướng Đông Nam với vận tốc như cũ là 20 km/h), tàu đến vị trí $B.$ Quãng đường $AB$ là: $AB = 20 \cdot 0,5 = 10\;km.$

Vì hướng Đông và hướng Đông Nam tạo với nhau một góc $45^o$ nên $\widehat{OAB} = 180^o – 45^o = 135^o.$

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $OAB,$ ta được:

$$OB^2 = AO^2 + AB^2 – 2AO\cdot AB \cdot cos\widehat{OAB}$$

$$\;\;\; = 20^2 + 10^2 – 2\cdot 20 \cdot 10 \cdot cos\;135^o$$

$$\;\;\; = 500 + 200\sqrt{2}$$

Vậy $OB^2 = 500+200\sqrt{2}$

Suy ra: $OB = \sqrt{500+200\sqrt{2}} \approx 27,98$

Vậy sau 1,5 giờ, tàu cách cảng Vân Phong khoảng 27,98 km.

Giải

Áp dụng định lý sin, ta có:

$$\frac{b}{sinB} = 2R$$

Suy ra:

$$R = \frac{b}{2sinB} = \frac{8}{2sin\;80^o} \approx 4,062.$$

Cũng theo định lý sin, ta có:

$$\frac{c}{sinC} = \frac{b}{sinB}$$

Suy ra:

$$sinC = \frac{c\cdot sinB}{b} = \frac{5\cdot sin\;80^o}{8} \approx 0,6155$$

Do đó: $\widehat{C} \approx 38^o.$

Suy ra: $\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C} \approx 62^o.$

Lại áp dụng định lý sin, ta có:

$$\frac{a}{sinA} = 2R$$

Suy ra:

$$a = 2R\cdot sinA \approx 7,1723.$$

Giải

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC,$ ta được:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cdot cosA$$

$$\;\;\; = 32^2 + 45^2 – 2\cdot 32 \cdot 45 \cdot cos\;87^o$$

Do đó: $a = \sqrt{ 32^2 + 45^2 – 2\cdot 32 \cdot 45 \cdot cos\;87^o } \approx 53,8356.$

Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC,$ ta được:

$$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$$

$$\Leftrightarrow \frac{ 53,8356 }{sin\;87^o} = \frac{32}{sinB}$$

Do đó:

$$sinB = \frac{32\cdot sin\;87^o}{53,8356}$$

$$\;\;\;\;\; \Rightarrow \widehat{B} \approx 36^o.$$

Suy ra: $\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B} \approx 57^o.$

Kết luận: Tam giác $ABC$ có $a \approx 53,8356; b = 32; c = 45$ và $\widehat{A} = 87^o; \widehat{B} \approx 36^o; \widehat{C} \approx 57^o.$

Giải

Giả sử hai đỉnh núi là hai điểm $B, C.$ Ta cần xác định khoảng cách (độ dài) $BC.$

Bước 1:

Ở khu vực quan sát, chọn cắm cọc tiêu tại vị trí $A.$

Ngắm hai đỉnh núi $B, C$ và xác định độ lớn góc $BAC.$

Bước 2: (Tính các khoảng cách $AB, AC)$

Chọn cắm cọc tiêu tại vị trí $D$ gần $A.$ Đo độ dài $AD.$

+) Tính khoảng cách $AB:$

• Ngắm và xác định độ lớn các góc $BAD$ và $BDA.$
• Tính góc $DBA$ bằng công thức: $\widehat{DBA} = 180^o – \widehat{BAD} – \widehat{BDA}.$
• Áp dụng định lý sin, tính được $AB = \frac{DA}{sin\widehat{DBA}} \cdot sin\widehat{BDA}.$

+) Tính khoảng cách $AC:$

• Ngắm và xác định độ lớn các góc $CAD$ và $CDA.$
• Tính góc $DCA$ bằng công thức: $\widehat{DCA} = 180^o – \widehat{CAD} – \widehat{CDA}.$
• Áp dụng định lý sin, tính được $AC = \frac{DA}{sin\widehat{DCA}} \cdot sin\widehat{CDA}.$

Bước 3: Dùng định lý cosin, tính được $BC:$

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2\cdot AB \cdot AC \cdot cos\widehat{BAC}.$$

Giải

Áp dụng định lý sin, ta có:

$$\frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$$

Suy ra:

$$c = \frac{b}{sinB} \cdot sinC$$

$$\;\;\; = \frac{2}{sin\;30^o} \cdot sin\;45^o$$

$$\;\;\; = \frac{2}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.$$

Lại có: $\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C} = 105^o.$

Do đó, diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2}bcsinA$$

$$\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot sin\;105^o$$

$$\;\;\; = 1 + \sqrt{3}.$$

Giải

Ta có công thức tính $cosA$ theo độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ là:

$$cos\;A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$

Mặt khác, $sinA$ và $cosA$ liên hệ với nhau qua công thức: $sin^2A + cos^2A = 1.$

Do đó:

$$sin^2A = 1 – cos^2A$$

$$\;\;\; = 1 – \left( \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right)^2$$

Vậy ta đã tính được $sin^2A$ theo độ dài các cạnh của tam giác $ABC.$ Dựa vào đó ta cũng tính được $sinA$ theo độ dài các cạnh của tam giác $ABC.$

Ta đã biết công thức tính diện tích tam giác:

$$S = \frac{1}{2}bcsinA$$

Do đó ta cũng tính được diện tích $S$ theo các cạnh của tam giác $ABC$ (vì $sinA$ đã tính được theo các cạnh của tam giác $ABC).$

Giải

Diện tích công viên Hòa Bình bằng tổng diện tích các tam giác $ABE,$ $BED,$ $BCD.$

Áp dụng công thức Heron, ta được:

$$S_{ABE} \approx 51\;328\;(m^2)$$

$$S_{BDE} \approx 51\;495\;(m^2)$$

$$S_{BCD} \approx 112\;268\;(m^2)$$

Suy ra diện tích công viên Hòa Bình bằng:

$$S = S_{ABE} + S_{BDE} + S_{BCD} \approx 215\;091\;(m^2).$$

Giải

$$cosA = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$

$$\;\;\; = \frac{5^2 + 8^2 – 6^2}{2\cdot 5 \cdot 8}$$

$$\;\;\; = \frac{53}{80}.$$

Ta có: $sin^2A + cos^2A = 1$

Nên: $sin^2A = 1 – cos^2A = 1- \left(\frac{53}{80}\right)^2 = \frac{3591}{6400}.$

Mà $0^o < \widehat{A} < 180^o$ nên $sinA > 0.$ Do đó:

$$sinA = \sqrt{\frac{3591}{6400}} = \frac{3\sqrt{399}}{80}.$$

Từ đó ta tính được:

$$S = \frac{1}{2}bcsinA$$

$$\;\;\; = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3\sqrt{399}}{80}$$

$$\;\;\; = \frac{3\sqrt{399}}{4} $$

Ta có: $S = pr$

Suy ra:

$$r = S : p = S : \frac{a+b+c}{2}$$

$$\;\;\; = S \cdot \frac{2}{a+b+c}$$

$$\;\;\; = \frac{3\sqrt{399}}{4} \cdot \frac{2}{6+5+8}$$

$$\;\;\; = \frac{3\sqrt{399}}{38}.$$

Giải

Áp dụng định lý sin, ta có:

$$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R.$$

+) Vì $\frac{a}{sinA} = 2R$ nên:

$$R = \frac{a}{2sinA}$$

$$\;\;\; = \frac{10}{2 sin\;45^o} = \frac{10}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$\;\;\; = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}.$$

+) Vì $\frac{b}{sinB} = 2R$ nên:

$$b = 2RsinB$$

$$\;\;\; = 2\cdot 5\sqrt{2} \cdot sin\;70^o \approx 13,2893.$$

+) Ta có: $\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B} = 65^o.$

Vì $\frac{c}{sinC} = 2R$ nên:

$$c = 2RsinC$$

$$\;\;\; = 2\cdot 5\sqrt{2} \cdot sin\;65^o \approx 12,8171.$$

Giải

$$\widehat{C} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{B}$$

$$\;\;\; = 180^o – 15^o – 130^o = 35^o.$$

Theo định lý sin, ta có:

$$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$$

Suy ra:

$$a = \frac{c}{sinC} \cdot sinA$$

$$\;\;\; = \frac{6}{sin\;35^o}\cdot sin\;15^o$$

$$\;\;\; \approx 2,7074.$$

$$b = \frac{c}{sinC} \cdot sinB$$

$$\;\;\; = \frac{6}{sin\;35^o} \cdot sin\;130^o$$

$$\;\;\; \approx 8,0133.$$

Diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2}acsinB \approx 6,222.$$

Giải

Sau $90$ phút, tàu chạy từ $A$ đến $B$ với vận tốc $70\;km/h,$ nên $AB = 70\cdot \frac{90}{60} = 105\;(km).$

Sau $2$ giờ, tàu trôi từ $B$ đến $C$ với vận tốc $8\;km/h,$ nên $BC = 8\cdot 2 = 16\;(km).$

Từ $A$ đến $B$ tàu trôi theo hướng $S70^oE$ nên $\widehat{SAB} = 70^o.$

Từ $B$ đến $C$ tàu trôi theo hướng Nam nên $BC//AS.$

Do đó: $\widehat{SAB} + \widehat{ABC} =180^o$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra: $\widehat{ABC} = 180^o – \widehat{SAB} = 180^o – 70^o = 110^o.$

a) Theo định lý cosin, ta có:

$$AC^2 = BA^2 + BC^2 – 2BA\cdot BC \cdot cos\widehat{ABC}$$

$$\;\;\; = 105^2 + 16^2 – 2\cdot 105\cdot 16\cdot cos\;110^o$$

$$\;\;\; \approx 12430$$

Suy ra: $AC\approx \sqrt{12430} \approx 111,5\;(km)$

Vậy khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng $111,5\;km.$

b) Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC,$ ta có:

$$\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB}$$

Suy ra:

$$sinC = \frac{AB\cdot sinB}{AC}$$

$$\;\;\; \approx \frac{105\cdot sin\;110^o}{111,5} \approx 0,8849$$

Suy ra: $\widehat{C} \approx 62^o$

Vì $BC//AS$ nên $\widehat{SAC} = \widehat{C}$ (hai góc so le trong)

Vậy $\widehat{SAC} = 62^o.$ Tức là hướng từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu là $S62^oE.$

Giải

a) Kẻ $AH\perp BC$ thì $\widehat{AHB} = 90^o$ và $\widehat{BAH} =50^o.$

Do đó:

$$\widehat{B} = 180^o – \widehat{AHB} – \widehat{BAH}$$

$$\;\;\; = 180^o – 90^o – 50^o = 40^o.$$

$$\widehat{BAC} = \widehat{BAH} – \widehat{CAH}$$

$$\;\;\; = 50^o – 40^o = 10^o.$$

$$\widehat{BCA} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{BAC}$$

$$\;\;\; = 180^o – 40^o – 10^o = 130^o.$$

b) Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC,$ ta có:

$$\frac{AC}{sinB} = \frac{BC}{sinA}$$

Suy ra:

$$AC = \frac{BC}{sinA}\cdot sinB$$

$$\;\;\; = \frac{5}{sin\;10^o}\cdot sin\;40^o$$

$$\;\;\; \approx 18,5$$

Do đó:

$$CH = CA\cdot sin\widehat{CAH}$$

$$\;\;\; \approx 18,5 \cdot sin\;40^o \approx 11,9$$

Từ đó tính được chiều cao của tòa nhà là:

$$11,9 + 7 = 18,9 \;(m)$$

Giải

Giả sử từ điểm $A$ trên bãi biển Vũng Chùa, ta ngắm được bề rộng của Đảo Yến là khoảng cách $BC.$

Để tính được $BC,$ ta làm như sau:

Bước 1: Ngắm và xác định độ lớn góc $\widehat{BAC} = \alpha.$

Bước 2: Tính các khoảng cách $AB = c, AC = b$ (bằng cách làm tương tự như trong Ví dụ 4).

Bước 3: Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC$ (với $AB = c, AC = b$ và $\widehat{BAC} = \alpha)$ để tính $BC.$

Giải

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC,$ ta được:

$$AC^2 = BA^2 + BC^2 – 2BA\cdot BC \cdot cosB$$

$$\;\;\; = 8^2 + 6^2 – 2\cdot 8 \cdot 6 \cdot cos\;105^o$$

$$\;\;\; \approx 124,8466.$$

Suy ra: $AC \approx 11,1735\;(km)$

Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC,$ ta được:

$$sin\widehat{BCA} = \frac{AB}{AC}\cdot sin\widehat{ABC}$$

$$\;\;\; \approx \frac{8}{11,1735}\cdot sin\;105^o \approx 0,6916.$$

Suy ra: $\widehat{BCA} \approx 44^o.$

Do đó: $\widehat{ACD} \approx 135^o – 44^o = 91^o.$

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ACD,$ ta được:

$$AD^2 = CA^2 + CD^2 – 2CA\cdot CD \cdot cos\widehat{ACD}$$

$$\;\;\; \approx 11,1735^2 + 12^2 – 2\cdot 11,1735\cdot 12\cdot cos\;91^o $$

$$\;\;\; \approx 273,5272.$$

Suy ra: $AD \approx 16,5387\;(km).$

Bởi vậy đường mới sẽ giảm so với đường cũ $(12+6+8) – 16,5387 = 9,4613\;(km).$