Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Giải

Vì $\vec{0} = 0\vec{i} + 0\vec{j}$ nên $\vec{0}$ có tọa độ là $(0; 0).$

Giải

a) Ta có: $\overrightarrow{OA} = (2; 1)$ và $\overrightarrow{OB} = (3; 3).$

Vì $\dfrac{2}{3}\neq \dfrac{1}{3}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ không cùng phương. Do đó, ba điểm $A, O, B$ không thẳng hàng.

b) Các điểm $O, A, B$ không thẳng hàng nên $OABM$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{MB}.$

Mà: $\overrightarrow{OA}=(2; 1)$ và $\overrightarrow{MB} = (3-x; 3-y).$

Do đó:

$$ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \begin{cases} 3-x=2 \\3-y=1 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$$

Vậy điểm cần tìm là $M(1; 2).$

Giải

Trong $12$ giờ, tâm bão chuyển động thẳng đều từ điểm $A(13,8; 108,3)$ đến điểm $B(14,1; 106,3).$ Suy ra $\overrightarrow{AB} = (0,3; -2)\;\;(1)$

Gọi $M(x; y)$ là điểm ứng với vị trí tâm bão tại thời điểm $9$ giờ. Khi đó, $\overrightarrow{AM} = (x-13,8; y-108,3)\;\;(2)$

Mặt khác, tâm bão chuyển động thẳng đều từ $A$ đến $B$ nên điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AB.$ Hơn nữa, gọi $v$ là vận tốc của chuyển động này thì $AM = 9v$ và $AB = 12v;$ do đó, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{9v}{12v} = \dfrac{3}{4}.$

Từ đó suy ra: $\overrightarrow{AM} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ hay $4\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}\;\;(3)$

Từ $(1), (2), (3),$ ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} 4(x-13,8) = 3\cdot 0,3 \\ 4(y-108,3) = 3\cdot (-2) \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases}x = 108,525 \\ y = 106,8 \end{cases}$$

Vậy tọa độ của điểm $M$ là $(108,525; 106,8).$

Giải

a) $\overrightarrow{OM} = (1; 3)$ $\Rightarrow OM = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}.$

$\overrightarrow{ON} = (4; 2)$ $\Rightarrow ON = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}.$

$\overrightarrow{MN} = (3; -1)$ $\Rightarrow MN = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}.$

b) Ta có: $OM^2 + MN^2 = ON^2 = 20.$ Suy ra tam giác $OMN$ vuông tại $M.$

Tam giác $OMN$ vuông tại $M$, có $OM = MN = \sqrt{10}$ nên là tam giác vuông cân (tại đỉnh $M).$

Giải

a) Ta có: $M(-3; 6),$ $N(3; -3).$ nên $\overrightarrow{MN} = (6; -9).$

Ta có: $ \vec{a} = 3\vec{i} – 2\vec{j} = (3; -2)$ và $\vec{b} = (4; -1)$ nên $ 2\vec{a}-\vec{b} = \left(2\cdot 3 – 4; 2\cdot (-2) -(-1)\right) = (2; -3).$

Vì $\dfrac{6}{2} = \dfrac{-9}{-3} = 3$ nên $\overrightarrow{MN} = 3( 2\vec{a}-\vec{b} ).$

b) Ta có: $\overrightarrow{OM} = (-3; 6),$ $\overrightarrow{ON} = (3; -3).$

Vì $\dfrac{-3}{3} \neq \dfrac{6}{-3}$ nên các điểm $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ không cùng phương. Do đó, $O, M, N$ không thẳng hàng.

c) $OMNP$ là hình bình hành

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{MN}$$

$$\Leftrightarrow (x; y) = (6; -9)$$

Vậy $x = 6$ và $y = -9$ nên điểm cần tìm là $P(6; -9).$

Giải

a) Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1; 1),$ $\overrightarrow{AC} = (-4; -1).$

Vì $\dfrac{1}{-4} \neq \dfrac{1}{-1}$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Do đó, $A, B, C$ không thẳng hàng.

Suy ra, $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Gọi $M(x_M; y_M)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$ Khi đó:

$$\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A +x_B}{2} \\ y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}\end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x_M = \dfrac{1+2}{2} = \dfrac{3}{2} \\ y_M = \dfrac{3+4}{2} = \dfrac{7}{2} \end{cases}$$

Vậy $M \left(\dfrac{3}{2}; \dfrac{7}{2} \right).$

c) Gọi $G(x_G; y_G)$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Khi đó:

$$\begin{cases} x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}\\ y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x_G = \dfrac{1+2-3}{3} = 0 \\ y_G = \dfrac{3+4+2}{3} = 3 \end{cases}$$

Vậy $G(0; 3).$

d) $O(0; 0)$ là trọng tâm của tam giác $ABD$

$$\begin{cases} x_O = \dfrac{x_A + x_B + x_D}{3}\\ y_O = \dfrac{y_A + y_B + y_D}{3} \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} 0 = \dfrac{1 + 2 + x}{3} \\ 0 = \dfrac{3+4+y}{3} \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x = -3 \\ y = -7 \end{cases} $$

Vậy $D(-3; -7).$

Giải

Gọi $B(x; y)$ là vị trí của tàu tại thời điểm sau khi khởi hành $1,5$ giờ. Khi đó, $\overrightarrow{AB} = 1,5\vec{v}.$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (x-1; y – 2)$ và $1,5\vec{v} = (1,5\cdot 3; 1,5\cdot 4) = (4,5; 6).$

Suy ra: $\begin{cases} x-1 = 4,5 \\ y – 2 = 6 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x = 5,5 \\ y = 8 \end{cases}$

Vậy sau $1,5$ giờ, tàu đến vị trí điểm $B(5,5; 8).$

Giải

Quy tắc đi của quân mã là:

• Quân mã đi theo hình chữ L: hoặc tiến 1 ô rồi sang trái (hoặc phải) 2 ô; hoặc tiến 2 ô rồi sang trái (hoặc phải) 1 ô.
• Quân mã không bị cản bởi bất cứ quân nào trên đường đi (tức là có thể nhảy qua đầu các quân khác trên đường đi của nó); chỉ bị cản khi ô đích đến là quân cờ cùng màu.

Vậy quân mã ở ô $(1; 2)$ trên bàn cờ được phép di chuyển tới những ô $(0; 0),$ $(2; 0),$ $(3; 1),$ $(3; 3),$ $(2; 4)$ và $(0; 4).$