Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Chia sẻ nếu thấy hay:

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 10 – Chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.

Luyện tập 1 (Trang 61 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Tìm tọa độ của $\vec{0}.$

Giải

Vì $\vec{0} = 0\vec{i} + 0\vec{j}$ nên $\vec{0}$ có tọa độ là $(0; 0).$

Luyện tập 2 (Trang 63 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $A(2; 1),$ $B(3; 3).$

a) Các điểm $A, O, B$ có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm $M(x; y)$ để $OABM$ là một hình bình hành.

Giải

a) Ta có: $\overrightarrow{OA} = (2; 1)$ và $\overrightarrow{OB} = (3; 3).$

Vì $\dfrac{2}{3}\neq \dfrac{1}{3}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ không cùng phương. Do đó, ba điểm $A, O, B$ không thẳng hàng.

b) Các điểm $O, A, B$ không thẳng hàng nên $OABM$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{MB}.$

Mà: $\overrightarrow{OA}=(2; 1)$ và $\overrightarrow{MB} = (3-x; 3-y).$

Do đó:

$$ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \begin{cases} 3-x=2 \\3-y=1 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$$

Vậy điểm cần tìm là $M(1; 2).$

Vận dụng (Trang 64 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí $M$ của tâm bão tại thời điểm $9$ giờ trong khoảng thời gian $12$ giờ của dự báo.

Vận dụng - Trang 64 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

Trong $12$ giờ, tâm bão chuyển động thẳng đều từ điểm $A(13,8; 108,3)$ đến điểm $B(14,1; 106,3).$ Suy ra $\overrightarrow{AB} = (0,3; -2)\;\;(1)$

Gọi $M(x; y)$ là điểm ứng với vị trí tâm bão tại thời điểm $9$ giờ. Khi đó, $\overrightarrow{AM} = (x-13,8; y-108,3)\;\;(2)$

Mặt khác, tâm bão chuyển động thẳng đều từ $A$ đến $B$ nên điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AB.$ Hơn nữa, gọi $v$ là vận tốc của chuyển động này thì $AM = 9v$ và $AB = 12v;$ do đó, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{9v}{12v} = \dfrac{3}{4}.$

Từ đó suy ra: $\overrightarrow{AM} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ hay $4\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}\;\;(3)$

Từ $(1), (2), (3),$ ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} 4(x-13,8) = 3\cdot 0,3 \\ 4(y-108,3) = 3\cdot (-2) \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases}x = 108,525 \\ y = 106,8 \end{cases}$$

Vậy tọa độ của điểm $M$ là $(108,525; 106,8).$

Bài tập 4.16 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho các điểm $M(1; 3),$ $N(4; 2).$

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng $OM,$ $ON,$ $MN.$

b) Chứng minh rằng tam giác $OMN$ vuông cân.

Giải

a) $\overrightarrow{OM} = (1; 3)$ $\Rightarrow OM = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}.$

$\overrightarrow{ON} = (4; 2)$ $\Rightarrow ON = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}.$

$\overrightarrow{MN} = (3; -1)$ $\Rightarrow MN = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}.$

b) Ta có: $OM^2 + MN^2 = ON^2 = 20.$ Suy ra tam giác $OMN$ vuông tại $M.$

Tam giác $OMN$ vuông tại $M$, có $OM = MN = \sqrt{10}$ nên là tam giác vuông cân (tại đỉnh $M).$

Bài tập 4.17 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho các vectơ $\vec{a} = 3\vec{i} – 2\vec{j},$ $\vec{b} = (4; -1)$ và các điểm $M(-3; 6),$ $N(3; -3).$

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $2\vec{a}-\vec{b}.$

b) Các điểm $O, M, N$ có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm $P(x; y)$ để $OMNP$ là một hình bình hành.

Giải

a) Ta có: $M(-3; 6),$ $N(3; -3).$ nên $\overrightarrow{MN} = (6; -9).$

Ta có: $ \vec{a} = 3\vec{i} – 2\vec{j} = (3; -2)$ và $\vec{b} = (4; -1)$ nên $ 2\vec{a}-\vec{b} = \left(2\cdot 3 – 4; 2\cdot (-2) -(-1)\right) = (2; -3).$

Vì $\dfrac{6}{2} = \dfrac{-9}{-3} = 3$ nên $\overrightarrow{MN} = 3( 2\vec{a}-\vec{b} ).$

b) Ta có: $\overrightarrow{OM} = (-3; 6),$ $\overrightarrow{ON} = (3; -3).$

Vì $\dfrac{-3}{3} \neq \dfrac{6}{-3}$ nên các điểm $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ không cùng phương. Do đó, $O, M, N$ không thẳng hàng.

c) $OMNP$ là hình bình hành

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{MN}$$

$$\Leftrightarrow (x; y) = (6; -9)$$

Vậy $x = 6$ và $y = -9$ nên điểm cần tìm là $P(6; -9).$

Bài tập 4.18 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho các điểm $A(1; 3),$ $B(2; 4),$ $C(-3; 2).$

a) Chứng minh rằng $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB.$

c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC.$

d) Tìm điểm $D(x; y)$ để $O(0; 0)$ là trọng tâm của tam giác $ABD.$

Giải

a) Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1; 1),$ $\overrightarrow{AC} = (-4; -1).$

Vì $\dfrac{1}{-4} \neq \dfrac{1}{-1}$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Do đó, $A, B, C$ không thẳng hàng.

Suy ra, $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Gọi $M(x_M; y_M)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$ Khi đó:

$$\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A +x_B}{2} \\ y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}\end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x_M = \dfrac{1+2}{2} = \dfrac{3}{2} \\ y_M = \dfrac{3+4}{2} = \dfrac{7}{2} \end{cases}$$

Vậy $M \left(\dfrac{3}{2}; \dfrac{7}{2} \right).$

c) Gọi $G(x_G; y_G)$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Khi đó:

$$\begin{cases} x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}\\ y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x_G = \dfrac{1+2-3}{3} = 0 \\ y_G = \dfrac{3+4+2}{3} = 3 \end{cases}$$

Vậy $G(0; 3).$

d) $O(0; 0)$ là trọng tâm của tam giác $ABD$

$$\begin{cases} x_O = \dfrac{x_A + x_B + x_D}{3}\\ y_O = \dfrac{y_A + y_B + y_D}{3} \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} 0 = \dfrac{1 + 2 + x}{3} \\ 0 = \dfrac{3+4+y}{3} \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x = -3 \\ y = -7 \end{cases} $$

Vậy $D(-3; -7).$

Bài tập 4.19 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí $A(1; 2)$ chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\vec{v} = (3; 4).$

Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành $1,5$ giờ.

Giải

Gọi $B(x; y)$ là vị trí của tàu tại thời điểm sau khi khởi hành $1,5$ giờ. Khi đó, $\overrightarrow{AB} = 1,5\vec{v}.$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (x-1; y – 2)$ và $1,5\vec{v} = (1,5\cdot 3; 1,5\cdot 4) = (4,5; 6).$

Suy ra: $\begin{cases} x-1 = 4,5 \\ y – 2 = 6 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x = 5,5 \\ y = 8 \end{cases}$

Vậy sau $1,5$ giờ, tàu đến vị trí điểm $B(5,5; 8).$

Bài tập 4.20 (Trang 65 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có tọa độ $(1; 2).$ Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Bài tập 4.20 - Trang 65 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

Quy tắc đi của quân mã là:

  • Quân mã đi theo hình chữ L: hoặc tiến 1 ô rồi sang trái (hoặc phải) 2 ô; hoặc tiến 2 ô rồi sang trái (hoặc phải) 1 ô.
  • Quân mã không bị cản bởi bất cứ quân nào trên đường đi (tức là có thể nhảy qua đầu các quân khác trên đường đi của nó); chỉ bị cản khi ô đích đến là quân cờ cùng màu.

Vậy quân mã ở ô $(1; 2)$ trên bàn cờ được phép di chuyển tới những ô $(0; 0),$ $(2; 0),$ $(3; 1),$ $(3; 3),$ $(2; 4)$ và $(0; 4).$

Bài tập 4.20 - Trang 65 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.
Chia sẻ nếu thấy hay:
0 0 đánh giá
Đánh giá bài viết
Theo dõi
Thông báo của
guest

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

0 Góp ý
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Rất thích suy nghĩ của bạn, hãy bình luận.x