Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 7 – CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Giải

$\overrightarrow{AB},$ $\overrightarrow{AC},$

$\overrightarrow{BA},$ $\overrightarrow{BC},$

$\overrightarrow{CA},$ $\overrightarrow{CB},$

Giải

+) Hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ có cùng độ dài nhưng không cùng phương nên không cùng hướng. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ không bằng nhau.

+) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ không cùng độ dài, có cùng phương nhưng ngược hướng. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ không bằng nhau.

+) Hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ có cùng độ dài nhưng không cùng phương nên không cùng hướng. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ không bằng nhau.

Giải

Chọn d).

Hướng dẫn

Đề bài nói tới hai loại vận tốc (của ca nô) là: vận tốc riêng và vận tốc thực tế. Trong đó:

• Vận tốc riêng của ca nô là vận tốc của ca nô khi dòng nước đứng im;
• Vận tốc thực tế của ca nô là vận tốc của ca nô khi kết hợp với dòng nước (đang chảy).

Độ lớn vận tốc dòng nước là $|\vec{v}| = 3\;km/h.$ Hai ca nô A và B đều có vận tốc riêng với độ lớn là $15\;km/h,$ nhưng:

• ca nô A chạy xuông dòng nước, được dòng nước đẩy nhanh thêm, nên vận tốc thực tế của ca nô A có độ lớn là $|\vec{v_a}| = 15+3 = 18\;(km/h);$
• ca nô B chạy ngược dòng nước, bị dòng nước cản trở, nên vận tốc thực tế của ca nô B có độ lớn là $|\vec{v_b}| = 15 – 3 = 12\;(km/h).$

Vậy tỷ lệ độ lớn vận tốc (độ dài vectơ) là: $\vert\vec{v}\vert : \vert\vec{v_a}\vert : \vert\vec{v_b}\vert = 3 : 18 : 12 = 1 : 6 : 4.$

Do đó, khi vẽ, chọn độ dài vectơ $\vec{v}$ là $1$ đơn vị (1 ô vuông), thì độ dài vectơ $\vec{v_a}$ là $6$ đơn vị (6 ô vuông), độ dài vectơ $\vec{v_b}$ là $4$ đơn vị (4 ô vuông).

Về hướng, vì ca nô A chạy xuôi dòng nước nên $\vec{v_a}$ và $\vec{v}$ cùng hướng; ca nô B chạy ngược dòng nước nên $\vec{v_b}$ và $\vec{v}$ ngược hướng.

Giải

a) Vì ca nô A chạy xuôi dòng nước nên vận tốc thực tế của ca nô A có độ lớn là $|\vec{v_a}| = 15+3 = 18\;(km/h).$

Vì ca nô B chạy ngược dòng nước nên vận tốc thực tế của ca nô B có độ lớn là $|\vec{v_b}| = 15 – 3 = 12\;(km/h).$

Tỷ lệ độ dài các vectơ cần vẽ là: $\vert\vec{v}\vert : \vert\vec{v_a}\vert : \vert\vec{v_b}\vert = 3 : 18 : 12 = 1 : 6 : 4.$

b) Các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng phương với nhau.

Có hai cặp vectơ ngược hướng là: $\vec{a}$ và $\vec{b};$ $\vec{v}$ và $\vec{b}.$

Giải

a) ĐÚNG.

(Vì $\vec{0}$ cùng hướng với mọi vectơ.)

b) SAI.

(Vì nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương thì chúng không cùng hướng, cũng không ngược hướng.)

c) ĐÚNG.

(Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì giá của $\vec{a}$ và giá của $\vec{b}$ đều song song (hoặc trùng) với giá của $\vec{c}.$ Do đó, giá của $\vec{a}$ song song (hoặc trùng) với giá của $\vec{b}$ $\Rightarrow$ $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{b}.$

d) ĐÚNG.

Giải

+) Các cặp vectơ cùng phương là: $\vec{a}$ và $\vec{b};$ $\vec{b}$ và $\vec{c};$ $\vec{c}$ và $\vec{a}.$

(Do lập luận ở bài tập 4.1-c, ta còn nói rằng ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ cùng phương.)

+) Các cặp vectơ ngược hướng là: $\vec{a}$ và $\vec{b};$ $\vec{b}$ và $\vec{c}.$

+) Cặp vectơ bằng nhau là: $\vec{a}$ và $\vec{c}.$

Giải

Chứng minh chiều thuận $(\Rightarrow ):$ Cho $ABCD$ là một hình bình hành. Chứng minh: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.$

Vì $ABCD$ là một hình bình hành nên $BC // AD.$ Suy ra, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng.

Ngoài ra, cũng vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC = AD.$ Do đó, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ có cùng độ dài.

Vì $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau (đpcm).

Chứng minh chiều nghịch $(\Leftarrow ):$ Cho tứ giác $ABCD$ có $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.$ Chứng minh $ABCD$ là hình bình hành.

Vì $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra: $BC = AD \;\; (1)$ và hai đường thẳng $BC, AD$ song song hoặc trùng nhau.

Tuy nhiên, nếu $BC$ và $AD$ trùng nhau thì bốn điểm $B,C,A,D$ nằm trên một đường thẳng nên bốn điểm này không thể tạo thành một tứ giác (như đề cho) được. Vậy $BC // AD\;\; (2).$

Từ (1) và (2) suy ra $ABCD$ là hình bình hành (đpcm).

Giải

$S = \left\{ \overrightarrow{AB},\right.$ $\overrightarrow{AC},$ $\overrightarrow{AD},$ $\overrightarrow{AO},$ $\overrightarrow{BA},$ $\overrightarrow{BC},$ $\overrightarrow{BD},$ $\overrightarrow{BO},$ $\overrightarrow{CA},$ $\overrightarrow{CB},$ $\overrightarrow{CD},$ $\overrightarrow{CO},$ $\overrightarrow{DA},$ $\overrightarrow{DB},$ $\overrightarrow{DC},$ $\overrightarrow{DO},$ $\overrightarrow{OA},$ $\overrightarrow{OB},$ $\overrightarrow{OC},$ $\left. \overrightarrow{OD}\right\}.$

Các nhóm gồm các vectơ bằng nhau là: $\left\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{CB}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{AO}, \overrightarrow{OC}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{CO}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{BO}\right\}.$

Giải

a) Dựng các điểm $P(0; 5)$ và $B(0; 2).$ Khi đó, $OB = 2,$ $BA = 1;$ $MP = 6,$ $PN = 3.$

Suy ra: $\dfrac{BA}{PN} = \dfrac{OB}{MP} = \dfrac{1}{3}.$

Do đó, $\triangle OAB$ và $\triangle MNP$ là hai tam giác vuông đồng dạng (c-g-c).

$\Rightarrow \widehat{AOB} = \widehat{NMP}.$

Do đó: $OA//MN$ và $\dfrac{OA}{MN} = \dfrac{BA}{PN} = \dfrac{1}{3}.$

Như vậy, $\overrightarrow{OA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$ và $|\overrightarrow{OA}| = \dfrac{1}{3}|\overrightarrow{MN}|.$

b) Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OA}$ nên vật đó sẽ đi qua điểm $N.$

Độ lớn vận tốc của vật đó là $|\vec{v}| = |\overrightarrow{OA}|.$

Quãng đường vật đó di chuyển từ $M$ đến $N$ chính là độ lớn của vectơ $\overrightarrow{MN}$, đó là: $|\overrightarrow{MN}|.$

Vậy thời gian vật đó di chuyển từ $M$ đến $N$ là: $\dfrac{ |\overrightarrow{MN}| }{ |\overrightarrow{OA}| } = 3.$

Tức là sau $3$ giờ, vật đó sẽ tới $N.$