Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 7 – Chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.
Luyện tập 1 (Trang 47 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho tam giác đều $ABC$ với cạnh có độ dài bằng $a.$ Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng $a$ và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác $ABC.$
Giải
$\overrightarrow{AB},$ $\overrightarrow{AC},$
$\overrightarrow{BA},$ $\overrightarrow{BC},$
$\overrightarrow{CA},$ $\overrightarrow{CB},$
Luyện tập 2 (Trang 49 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho hình thang cân $ABCD$ với hai đáy $AB, CD, AB < CD$ (H.4.10). Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC},$ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD},$ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}.$ Có cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên bằng nhau hay không?
Giải
+) Hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ có cùng độ dài nhưng không cùng phương nên không cùng hướng. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ không bằng nhau.
+) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ không cùng độ dài, có cùng phương nhưng ngược hướng. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ không bằng nhau.
+) Hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ có cùng độ dài nhưng không cùng phương nên không cùng hướng. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ không bằng nhau.
Luyện tập 3 (Trang 49 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm $M$ nằm giữa hai điểm phân biệt $A$ và $B.$
a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ ngược hướng.
b) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng phương.
c) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng.
d) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.
Giải
Chọn d).
Vận dụng (Trang 50 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Hai ca nô A và B chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là $15\;km/h.$ Tuy vậy, ca nô A chạy xuôi dòng, còn ca nô B chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là $3\;km/h.$
a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc $\vec{v}$ của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế $\vec{v_a}, \vec{v_b}$ của các ca nô A, B.
b) Trong các vectơ $\vec{v}, \vec{v_a}, \vec{v_b},$ những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng.
Hướng dẫn
Đề bài nói tới hai loại vận tốc (của ca nô) là: vận tốc riêng và vận tốc thực tế. Trong đó:
- Vận tốc riêng của ca nô là vận tốc của ca nô khi dòng nước đứng im;
- Vận tốc thực tế của ca nô là vận tốc của ca nô khi kết hợp với dòng nước (đang chảy).
Độ lớn vận tốc dòng nước là $|\vec{v}| = 3\;km/h.$ Hai ca nô A và B đều có vận tốc riêng với độ lớn là $15\;km/h,$ nhưng:
- ca nô A chạy xuông dòng nước, được dòng nước đẩy nhanh thêm, nên vận tốc thực tế của ca nô A có độ lớn là $|\vec{v_a}| = 15+3 = 18\;(km/h);$
- ca nô B chạy ngược dòng nước, bị dòng nước cản trở, nên vận tốc thực tế của ca nô B có độ lớn là $|\vec{v_b}| = 15 – 3 = 12\;(km/h).$
Vậy tỷ lệ độ lớn vận tốc (độ dài vectơ) là: $\vert\vec{v}\vert : \vert\vec{v_a}\vert : \vert\vec{v_b}\vert = 3 : 18 : 12 = 1 : 6 : 4.$
Do đó, khi vẽ, chọn độ dài vectơ $\vec{v}$ là $1$ đơn vị (1 ô vuông), thì độ dài vectơ $\vec{v_a}$ là $6$ đơn vị (6 ô vuông), độ dài vectơ $\vec{v_b}$ là $4$ đơn vị (4 ô vuông).
Về hướng, vì ca nô A chạy xuôi dòng nước nên $\vec{v_a}$ và $\vec{v}$ cùng hướng; ca nô B chạy ngược dòng nước nên $\vec{v_b}$ và $\vec{v}$ ngược hướng.
Giải
a) Vì ca nô A chạy xuôi dòng nước nên vận tốc thực tế của ca nô A có độ lớn là $|\vec{v_a}| = 15+3 = 18\;(km/h).$
Vì ca nô B chạy ngược dòng nước nên vận tốc thực tế của ca nô B có độ lớn là $|\vec{v_b}| = 15 – 3 = 12\;(km/h).$
Tỷ lệ độ dài các vectơ cần vẽ là: $\vert\vec{v}\vert : \vert\vec{v_a}\vert : \vert\vec{v_b}\vert = 3 : 18 : 12 = 1 : 6 : 4.$
b) Các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng phương với nhau.
Có hai cặp vectơ ngược hướng là: $\vec{a}$ và $\vec{b};$ $\vec{v}$ và $\vec{b}.$
Bài tập 4.1 (Trang 50 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho ba vectơ $\vec{a},$ $\vec{b},$ $\vec{c}$ đều khác $\vec{0}.$ Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}.$
b) Nếu $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ thì $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}.$
c) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
d) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.
Giải
a) ĐÚNG.
(Vì $\vec{0}$ cùng hướng với mọi vectơ.)
b) SAI.
(Vì nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương thì chúng không cùng hướng, cũng không ngược hướng.)
c) ĐÚNG.
(Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì giá của $\vec{a}$ và giá của $\vec{b}$ đều song song (hoặc trùng) với giá của $\vec{c}.$ Do đó, giá của $\vec{a}$ song song (hoặc trùng) với giá của $\vec{b}$ $\Rightarrow$ $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{b}.$
d) ĐÚNG.
Bài tập 4.2 (Trang 50 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.
Giải
+) Các cặp vectơ cùng phương là: $\vec{a}$ và $\vec{b};$ $\vec{b}$ và $\vec{c};$ $\vec{c}$ và $\vec{a}.$
(Do lập luận ở bài tập 4.1-c, ta còn nói rằng ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ cùng phương.)
+) Các cặp vectơ ngược hướng là: $\vec{a}$ và $\vec{b};$ $\vec{b}$ và $\vec{c}.$
+) Cặp vectơ bằng nhau là: $\vec{a}$ và $\vec{c}.$
Bài tập 4.3 (Trang 50 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.$
Giải
Chứng minh chiều thuận $(\Rightarrow ):$ Cho $ABCD$ là một hình bình hành. Chứng minh: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.$
Vì $ABCD$ là một hình bình hành nên $BC // AD.$ Suy ra, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng.
Ngoài ra, cũng vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC = AD.$ Do đó, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ có cùng độ dài.
Vì $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau (đpcm).
Chứng minh chiều nghịch $(\Leftarrow ):$ Cho tứ giác $ABCD$ có $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.$ Chứng minh $ABCD$ là hình bình hành.
Vì $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra: $BC = AD \;\; (1)$ và hai đường thẳng $BC, AD$ song song hoặc trùng nhau.
Tuy nhiên, nếu $BC$ và $AD$ trùng nhau thì bốn điểm $B,C,A,D$ nằm trên một đường thẳng nên bốn điểm này không thể tạo thành một tứ giác (như đề cho) được. Vậy $BC // AD\;\; (2).$
Từ (1) và (2) suy ra $ABCD$ là hình bình hành (đpcm).
Bài tập 4.4 (Trang 50 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O.$ Hãy chỉ ra tập hợp $S$ gồm tất cả các vectơ khác $\vec{0},$ có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp $\left\{ A, B, C, D, O\right\}.$ Hãy chia tập $S$ thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.
Giải
$S = \left\{ \overrightarrow{AB},\right.$ $\overrightarrow{AC},$ $\overrightarrow{AD},$ $\overrightarrow{AO},$ $\overrightarrow{BA},$ $\overrightarrow{BC},$ $\overrightarrow{BD},$ $\overrightarrow{BO},$ $\overrightarrow{CA},$ $\overrightarrow{CB},$ $\overrightarrow{CD},$ $\overrightarrow{CO},$ $\overrightarrow{DA},$ $\overrightarrow{DB},$ $\overrightarrow{DC},$ $\overrightarrow{DO},$ $\overrightarrow{OA},$ $\overrightarrow{OB},$ $\overrightarrow{OC},$ $\left. \overrightarrow{OD}\right\}.$
Các nhóm gồm các vectơ bằng nhau là: $\left\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{CB}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{AO}, \overrightarrow{OC}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{CO}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{BO}\right\}.$
Bài tập 4.5 (Trang 50 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ hãy vẽ các vectơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{MN}$ với $A(1; 2), M(0; -1), N(3; 5).$
a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.
b) Một vật thể khởi hành từ $M$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ $\vec{v} = \overrightarrow{OA}.$ Hỏi vật thể đó có đi qua $N$ hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới $N?$
Giải
a) Dựng các điểm $P(0; 5)$ và $B(0; 2).$ Khi đó, $OB = 2,$ $BA = 1;$ $MP = 6,$ $PN = 3.$
Suy ra: $\dfrac{BA}{PN} = \dfrac{OB}{MP} = \dfrac{1}{3}.$
Do đó, $\triangle OAB$ và $\triangle MNP$ là hai tam giác vuông đồng dạng (c-g-c).
$\Rightarrow \widehat{AOB} = \widehat{NMP}.$
Do đó: $OA//MN$ và $\dfrac{OA}{MN} = \dfrac{BA}{PN} = \dfrac{1}{3}.$
Như vậy, $\overrightarrow{OA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$ và $|\overrightarrow{OA}| = \dfrac{1}{3}|\overrightarrow{MN}|.$
b) Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OA}$ nên vật đó sẽ đi qua điểm $N.$
Độ lớn vận tốc của vật đó là $|\vec{v}| = |\overrightarrow{OA}|.$
Quãng đường vật đó di chuyển từ $M$ đến $N$ chính là độ lớn của vectơ $\overrightarrow{MN}$, đó là: $|\overrightarrow{MN}|.$
Vậy thời gian vật đó di chuyển từ $M$ đến $N$ là: $\dfrac{ |\overrightarrow{MN}| }{ |\overrightarrow{OA}| } = 3.$
Tức là sau $3$ giờ, vật đó sẽ tới $N.$