Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 7 – CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 7 – Chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống. Luyện tập 1 (Trang 47 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri […]

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 7 – Chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.

Luyện tập 1 (Trang 47 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho tam giác đều $ABC$ với cạnh có độ dài bằng $a.$ Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng $a$ và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác $ABC.$

Luyện tập 1 - Trang 47 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

$\overrightarrow{AB},$ $\overrightarrow{AC},$

$\overrightarrow{BA},$ $\overrightarrow{BC},$

$\overrightarrow{CA},$ $\overrightarrow{CB},$

Luyện tập 2 (Trang 49 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho hình thang cân $ABCD$ với hai đáy $AB, CD, AB < CD$ (H.4.10). Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC},$ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD},$ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}.$ Có cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên bằng nhau hay không?

Luyện tập 2 - Trang 49 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

+) Hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ có cùng độ dài nhưng không cùng phương nên không cùng hướng. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ không bằng nhau.

+) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ không cùng độ dài, có cùng phương nhưng ngược hướng. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ không bằng nhau.

+) Hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ có cùng độ dài nhưng không cùng phương nên không cùng hướng. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ không bằng nhau.

Luyện tập 3 (Trang 49 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm $M$ nằm giữa hai điểm phân biệt $A$ và $B.$

a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ ngược hướng.

b) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng phương.

c) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng.

d) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

Giải

Luyện tập 3 - trang 49 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Chọn d).

Vận dụng (Trang 50 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Hai ca nô A và B chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là $15\;km/h.$ Tuy vậy, ca nô A chạy xuôi dòng, còn ca nô B chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là $3\;km/h.$

a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc $\vec{v}$ của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế $\vec{v_a}, \vec{v_b}$ của các ca nô A, B.

b) Trong các vectơ $\vec{v}, \vec{v_a}, \vec{v_b},$ những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng.

Hướng dẫn

Đề bài nói tới hai loại vận tốc (của ca nô) là: vận tốc riêng và vận tốc thực tế. Trong đó:

  • Vận tốc riêng của ca nô là vận tốc của ca nô khi dòng nước đứng im;
  • Vận tốc thực tế của ca nô là vận tốc của ca nô khi kết hợp với dòng nước (đang chảy).

Độ lớn vận tốc dòng nước là $|\vec{v}| = 3\;km/h.$ Hai ca nô A và B đều có vận tốc riêng với độ lớn là $15\;km/h,$ nhưng:

  • ca nô A chạy xuông dòng nước, được dòng nước đẩy nhanh thêm, nên vận tốc thực tế của ca nô A có độ lớn là $|\vec{v_a}| = 15+3 = 18\;(km/h);$
  • ca nô B chạy ngược dòng nước, bị dòng nước cản trở, nên vận tốc thực tế của ca nô B có độ lớn là $|\vec{v_b}| = 15 – 3 = 12\;(km/h).$

Vậy tỷ lệ độ lớn vận tốc (độ dài vectơ) là: $\vert\vec{v}\vert : \vert\vec{v_a}\vert : \vert\vec{v_b}\vert = 3 : 18 : 12 = 1 : 6 : 4.$

Do đó, khi vẽ, chọn độ dài vectơ $\vec{v}$ là $1$ đơn vị (1 ô vuông), thì độ dài vectơ $\vec{v_a}$ là $6$ đơn vị (6 ô vuông), độ dài vectơ $\vec{v_b}$ là $4$ đơn vị (4 ô vuông).

Về hướng, vì ca nô A chạy xuôi dòng nước nên $\vec{v_a}$ và $\vec{v}$ cùng hướng; ca nô B chạy ngược dòng nước nên $\vec{v_b}$ và $\vec{v}$ ngược hướng.

Giải

a) Vì ca nô A chạy xuôi dòng nước nên vận tốc thực tế của ca nô A có độ lớn là $|\vec{v_a}| = 15+3 = 18\;(km/h).$

ca nô B chạy ngược dòng nước nên vận tốc thực tế của ca nô B có độ lớn là $|\vec{v_b}| = 15 – 3 = 12\;(km/h).$

Tỷ lệ độ dài các vectơ cần vẽ là: $\vert\vec{v}\vert : \vert\vec{v_a}\vert : \vert\vec{v_b}\vert = 3 : 18 : 12 = 1 : 6 : 4.$

Vận dụng - Trang 50 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

b) Các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng phương với nhau.

Có hai cặp vectơ ngược hướng là: $\vec{a}$ và $\vec{b};$ $\vec{v}$ và $\vec{b}.$

Bài tập 4.1 (Trang 50 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho ba vectơ $\vec{a},$ $\vec{b},$ $\vec{c}$ đều khác $\vec{0}.$ Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}.$

b) Nếu $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ thì $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}.$

c) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

d) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Giải

a) ĐÚNG.

(Vì $\vec{0}$ cùng hướng với mọi vectơ.)

b) SAI.

(Vì nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương thì chúng không cùng hướng, cũng không ngược hướng.)

c) ĐÚNG.

(Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì giá của $\vec{a}$ và giá của $\vec{b}$ đều song song (hoặc trùng) với giá của $\vec{c}.$ Do đó, giá của $\vec{a}$ song song (hoặc trùng) với giá của $\vec{b}$ $\Rightarrow$ $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{b}.$

d) ĐÚNG.

Bài tập 4.2 (Trang 50 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.

Bài tập 4.2 - Trang 50 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

+) Các cặp vectơ cùng phương là: $\vec{a}$ và $\vec{b};$ $\vec{b}$ và $\vec{c};$ $\vec{c}$ và $\vec{a}.$

(Do lập luận ở bài tập 4.1-c, ta còn nói rằng ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ cùng phương.)

+) Các cặp vectơ ngược hướng là: $\vec{a}$ và $\vec{b};$ $\vec{b}$ và $\vec{c}.$

+) Cặp vectơ bằng nhau là: $\vec{a}$ và $\vec{c}.$

Bài tập 4.3 (Trang 50 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.$

Giải

Chứng minh chiều thuận $(\Rightarrow ):$ Cho $ABCD$ là một hình bình hành. Chứng minh: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.$

Bài tập 4.3 - Trang 50 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Vì $ABCD$ là một hình bình hành nên $BC // AD.$ Suy ra, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng.

Ngoài ra, cũng vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC = AD.$ Do đó, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ có cùng độ dài.

Vì $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau (đpcm).

Chứng minh chiều nghịch $(\Leftarrow ):$ Cho tứ giác $ABCD$ có $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.$ Chứng minh $ABCD$ là hình bình hành.

Vì $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra: $BC = AD \;\; (1)$ và hai đường thẳng $BC, AD$ song song hoặc trùng nhau.

Tuy nhiên, nếu $BC$ và $AD$ trùng nhau thì bốn điểm $B,C,A,D$ nằm trên một đường thẳng nên bốn điểm này không thể tạo thành một tứ giác (như đề cho) được. Vậy $BC // AD\;\; (2).$

Từ (1) và (2) suy ra $ABCD$ là hình bình hành (đpcm).

Bài tập 4.4 (Trang 50 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O.$ Hãy chỉ ra tập hợp $S$ gồm tất cả các vectơ khác $\vec{0},$ có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp $\left\{ A, B, C, D, O\right\}.$ Hãy chia tập $S$ thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

Giải

Bài tập 4.4 - Trang 50 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

$S = \left\{ \overrightarrow{AB},\right.$ $\overrightarrow{AC},$ $\overrightarrow{AD},$ $\overrightarrow{AO},$ $\overrightarrow{BA},$ $\overrightarrow{BC},$ $\overrightarrow{BD},$ $\overrightarrow{BO},$ $\overrightarrow{CA},$ $\overrightarrow{CB},$ $\overrightarrow{CD},$ $\overrightarrow{CO},$ $\overrightarrow{DA},$ $\overrightarrow{DB},$ $\overrightarrow{DC},$ $\overrightarrow{DO},$ $\overrightarrow{OA},$ $\overrightarrow{OB},$ $\overrightarrow{OC},$ $\left. \overrightarrow{OD}\right\}.$

Các nhóm gồm các vectơ bằng nhau là: $\left\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{CB}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{AO}, \overrightarrow{OC}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{CO}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}\right\},$ $\left\{\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{BO}\right\}.$

Bài tập 4.5 (Trang 50 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ hãy vẽ các vectơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{MN}$ với $A(1; 2), M(0; -1), N(3; 5).$

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.

b) Một vật thể khởi hành từ $M$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ $\vec{v} = \overrightarrow{OA}.$ Hỏi vật thể đó có đi qua $N$ hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới $N?$

Giải

Bài tập 4.5 - Trang 50 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

a) Dựng các điểm $P(0; 5)$ và $B(0; 2).$ Khi đó, $OB = 2,$ $BA = 1;$ $MP = 6,$ $PN = 3.$

Suy ra: $\dfrac{BA}{PN} = \dfrac{OB}{MP} = \dfrac{1}{3}.$

Do đó, $\triangle OAB$ và $\triangle MNP$ là hai tam giác vuông đồng dạng (c-g-c).

$\Rightarrow \widehat{AOB} = \widehat{NMP}.$

Do đó: $OA//MN$ và $\dfrac{OA}{MN} = \dfrac{BA}{PN} = \dfrac{1}{3}.$

Như vậy, $\overrightarrow{OA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$ và $|\overrightarrow{OA}| = \dfrac{1}{3}|\overrightarrow{MN}|.$

b) Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OA}$ nên vật đó sẽ đi qua điểm $N.$

Độ lớn vận tốc của vật đó là $|\vec{v}| = |\overrightarrow{OA}|.$

Quãng đường vật đó di chuyển từ $M$ đến $N$ chính là độ lớn của vectơ $\overrightarrow{MN}$, đó là: $|\overrightarrow{MN}|.$

Vậy thời gian vật đó di chuyển từ $M$ đến $N$ là: $\dfrac{ |\overrightarrow{MN}| }{ |\overrightarrow{OA}| } = 3.$

Tức là sau $3$ giờ, vật đó sẽ tới $N.$

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.