Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 8 – TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Giải

Do $ABCD$ là hình thoi có $\widehat{BAD} = 120^o$ nên các tam giác $ABC, ADC$ là các tam giác đều. Do đó, $CA = CB = CD = 1.$

+) Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{CB}+ \overrightarrow{CD}$

$ABCD$ là hình thoi nên nó cũng là hình bình hành. Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}.$

Suy ra: $\vert \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CD} \vert = \vert \overrightarrow{CA} \vert = CA = 1.$

+) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{DB}+ \overrightarrow{CD}+ \overrightarrow{BA}$

Ta có:

$$\overrightarrow{DB}+ \overrightarrow{CD}+ \overrightarrow{BA}$$

$$= \overrightarrow{CD} + \left(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BA}\right)$$

$$= \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$$

$$= \overrightarrow{CA}.$$

Suy ra: $\vert \overrightarrow{DB}+ \overrightarrow{CD}+ \overrightarrow{BA}\vert = |\overrightarrow{CA}| = 1.$

Giải

Lấy $K$ và $L$ lần lượt đối xứng với $O$ qua $M$ và $N.$ Khi đó, các tứ giác $OAKB$ và $OCLD$ là các hình bình hành.

Do đó, áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OK} + \overrightarrow{OL}\;\; (1)$$

Mặt khác, do $K$ và $L$ lần lượt đối xứng với $O$ qua $M$ và $N$ nên $OK = 2OM$ và $OL = 2ON.$ Mà $O$ là trung điểm của $MN$ nên $OM = ON.$ Suy ra: $OK = OL.$ Vậy $O$ là trung điểm của $KL.$

Suy ra: $\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{OL} = \vec{0}\;\; (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD} = \vec{0}.$

Giải

Vật đó chịu tác động của ba lực, gồm: trọng lực $\overrightarrow{P} = \overrightarrow{OA},$ phản lực $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{OB}$ và lực kéo $\overrightarrow{F}.$

Trong đó,

• trọng lực vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới, có độ lớn bằng trọng lượng của vật: $|\overrightarrow{P}| = 22\;148\;N.$
• phản lực vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên.

Dựng hình bình hành $OACB$ thì $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{w}.$ Vậy $\overrightarrow{T} = \overrightarrow{OC}$ là vectơ lực tổng hợp của $\overrightarrow{P}$ và $\overrightarrow{w},$ nó hướng từ đỉnh dốc xuống chân dốc.

Muốn kéo được khẩu pháo lên dốc, lực kéo $\overrightarrow{F}$ phải có độ lớn lớn hơn độ lớn của lực $\overrightarrow{T} = \overrightarrow{OC},$ tức là $|\overrightarrow{F}| > OC.$

Giờ ta đi tính độ dài $OC.$

Tam giác $OAC$ vuông tại C nên: $OC = OA \cdot sin\;\widehat{OAC} = 22\;148\cdot sin\;30^o = 11\;074.$

Trong đó, $OA = |\overrightarrow{P}| = 22\;148\;(N)$ và $\widehat{OAC}$ bằng với góc nghiêng của con dốc.

Vậy để kéo được khẩu pháo lên dốc, lực kéo $\overrightarrow{F}$ cần phải có độ lớn thỏa mãn: $|\overrightarrow{F}| > 11\;074\;(N).$

Do $\dfrac{11\;074}{100} = 110,74$ nên nếu lực kéo của mỗi người bằng $100\;N$ thì cần tối thiểu $111$ người để kéo pháo lên dốc.

Giải

a) Áp dụng liên tiếp quy tắc ba điểm, ta có:

$$\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{CD}+ \overrightarrow{DA}$$

$$= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$$

$$= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA}$$

$$= \overrightarrow{AA}$$

$$= \vec{0}.$$

Vậy ta đã có điều phải chứng minh.

$$\mathbf{b)}\; \overrightarrow{AC}- \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}- \overrightarrow{BD}.$$

Ta có: $ \overrightarrow{AC}- \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$ và $ \overrightarrow{BC}- \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DC}.$

Vậy $ \overrightarrow{AC}- \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}- \overrightarrow{BD} $ vì cùng bằng $\overrightarrow{DC}.$

Giải

Giả sử tìm được điểm $M$ để $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}.$

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.$

Do đó, $ \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}.$

Suy ra: $ABMC$ là hình bình hành.

Vậy dựng hình bình hành $ABMC$ ta sẽ được điểm $M$ cần tìm.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên: $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}.$

Vì $ABMC$ là hình bình hành nên: $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB}.$

Mà $\overrightarrow{BA} = – \overrightarrow{AB}$ nên: $ \overrightarrow{CD} = – \overrightarrow{CM}.$

Vậy $ \overrightarrow{CD} $ và $ \overrightarrow{CM}$ là hai vectơ đối nhau.

Giải

$$|\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{CB}| = a.$$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Dựng điểm $D$ đối xứng với điểm $A$ qua điểm $M.$ Khi đó, $ABDC$ là hình bình hành. Do đó: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \;\;(1)$

Hơn nữa, vì $ABDC$ là hình bình hành và $M$ là trung điểm của đường chéo $BC$ nên $M$ cũng là trung điểm của đường chéo $AD.$ Do đó: $AD = 2AM \;\;(2)$

Mặt khác, $AM$ là trung tuyến của tam giác đều $ABC$ nên $AM\perp BC.$ Do đó: $AM = AC\sin\widehat{ACB} = a\cdot sin\;60^o = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\;\; (3).$

Từ $(1), (2), (3)$ ta có: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}| = 2AM = a\sqrt{3}.$

Giải

Đặt $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA},$ $\overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OB}.$

Dựng hình bình hành $OACB.$ Đặt $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{OC}.$

Ta có:

$$\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} $$

$$\;\;\;\;\;= \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{F}.$$

Vậy $\overrightarrow{F}$ là hợp lực $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}.$

Trong tam giác $OAC,$ ta có: $OA = |\overrightarrow{F_1}| = 3\;N;$ $AC = OB = |\overrightarrow{F_2}| = 2\;N$ và $\widehat{OAC} = 180^o – \widehat{AOB} = 60^o.$

Theo định lý cosin, ta có: $|\overrightarrow{F}| = OC = \sqrt{OA^2 + AC^2 – 2\cdot OA\cdot AC\cdot cos\widehat{OAC}} = \sqrt{7}\;(N).$

Giải

Biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song $d_1$ và $d_2.$ Giả sử tàu thứ nhất xuất phát từ $A$ hướng về hạ lưu và tàu thứ hai xuất phát từ $B$ hướng về thượng nguồn.

Ta sử dụng các vectơ $\vec{v}, \vec{v_1}, \vec{v_2}$ để biểu diễn cho vận tốc của dòng nước, vận tốc riêng của tàu thứ nhất và tàu thứ hai.

Lấy các điểm $K, M$ sao cho $\overrightarrow{BK} = \vec{v_2}, \overrightarrow{AM} = \vec{v_1}.$ Từ giả thiết suy ra tứ giác $ABKM$ là một hình thang cân.

Lấy các điểm $L, N$ sao cho $\overrightarrow{KL} = \vec{v} = \overrightarrow{MN}.$ Khi đó, $K, L, M, N$ cùng nằm trên một đường thẳng song song với $d_1, d_2$ và các vectơ $\overrightarrow{AN} = \vec{v_1} + \vec{v},$ $\overrightarrow{BL} = \vec{v_2} + \vec{v}$ tương ứng biểu diễn cho vận tốc thực của tàu thứ nhất và tàu thứ hai.

Khi đó, tàu thứ nhất chuyển động theo hướng $\overrightarrow{AN}$ đến đích là điểm $D$ (nên thời gian di chuyển là $\dfrac{AD}{AN})$ và tàu thứ hai chuyển động theo hướng $\overrightarrow{BL}$ đến đích là điểm $C$ (nên thời gian di chuyển là $\dfrac{BC}{BL}).$

Do các đường thẳng $KL, MN, d_1, d_2$ đôi một song song nên theo định lý Thales thì $\dfrac{AD}{AN} = \dfrac{BC}{BL}.$ Suy ra hai tàu cần thời gian như nhau để sang được đến bờ bên kia.

Bởi vậy cả hai tàu sang đến bờ bên kia cùng một lúc.