Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 9 – TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Chia sẻ nếu thấy hay:

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 9 – Chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.

Luyện tập 1 (Trang 56 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm phân biệt $A$ và $B$ (H.4.25).

Luyện tập 1 - Trang 56 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ khi và chỉ khi tồn tại số $t$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}.$

b) Với điểm $M$ bất kỳ, ta luôn có $\overrightarrow{AM} = \dfrac{AM}{AB}\overrightarrow{AB}.$

c) Điểm $M$ thuộc tia đối của tia $AB$ khi và chỉ khi tồn tại số $t\leq 0$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}.$

Giải

a) ĐÚNG.

Giải thích:

+) $(\Rightarrow)$ Nếu $M$ thuộc đường thẳng $d$ thì $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ là hai vectơ cùng phương. Do đó, tồn tại số $t$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}.$

+) $(\Leftarrow)$ Ngược lại, nếu tồn tại số $t$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$ thì $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng phương. Mà hai vectơ này có chung gốc $A$ nên chúng phải có giá trùng nhau (chứ không thể song song nhau được). Do đó, $A, M, B$ cùng nằm trên một đường thẳng, tức là $M$ thuộc đường thẳng $d.$

b) SAI.

Giải thích: Với một điểm $M$ bất kỳ, hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ nói chung là không cùng phương (chúng chỉ cùng phương khi $M$ thuộc đường thẳng $AB$ mà thôi). Do đó, khẳng định b) là không đúng.

c) ĐÚNG.

Giải thích:

+) $(\Rightarrow)$ Nếu điểm $M$ thuộc tia đối của tia $AB$ thì $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ là hai vectơ cùng phương và ngược hướng. Do đó, tồn tại số $t\leq 0$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}.$

+) $(\Leftarrow)$ Nếu tồn tại số $t\leq 0$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$ thì hoặc $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ là hai vectơ ngược hướng (khi $t<0)$ hoặc $M$ trùng $A$ (khi $t=0).$ Do đó, $M$ thuộc tia đối của tia $AB.$

Luyện tập 2 (Trang 57 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G.$ Chứng minh rằng với điểm $O$ tùy ý, ta có: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}.$

Giải

Ta có:

$$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $$

$$=\left( \overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GA}\right) + \left(\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GB}\right) + \left(\overrightarrow{OG} +\overrightarrow{GC}\right)$$

$$= 3\overrightarrow{OG} + \left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC}\right)$$

$$= 3\overrightarrow{OG} + \vec{0}$$

$$= 3\overrightarrow{OG}.$$

Suy ra điều phải chứng minh.

Chú ý

Khi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \vec{0}.$

Luyện tập 3 (Trang 57 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b},$ tức là tìm các số $x, y, z, t$ để $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b},$ $\vec{v} = z\vec{a} + t\vec{b}.$

Luyện tập 3 - Trang 57 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

$$\vec{u} = \vec{a} + 2\vec{b}.$$

$$\vec{v} = -2\vec{a} + 3\vec{b}.$$

Bài tập 4.11 (Trang 58 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC.$ Hãy biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}.$

Giải

Bài tập 4.11 - Trang 58 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Cách 1: Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $AD.$ Khi đó, $AN//BM$ (vì $AD //BC)$ và $AN = BM$ (vì cùng bằng một nửa $AD).$ Do đó, tứ giác $ABMN$ là hình bình hành.

Theo quy tắc hình bình hành, ta được:

$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AN}$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$$

Cách 2: Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.$ Mặt khác, vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$ Vậy $\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$

Do đó, theo quy tắc ba điểm, ta được:

$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$$

Bài tập 4.12 (Trang 58 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, CD.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BD}.$

Giải

+) Chứng minh: $ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} $

Bài tập 4.12 - Trang 58 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Ta có:

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$$

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CN}$$

Cộng vế theo vế ta được:

$$2\overrightarrow{MN} = \left(\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}\right) + \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}\right) \;\;(1)$$

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} = \vec{0}$ và $\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN} = \vec{0}.$ Thay vào $(1)$ ta được:

$$2\overrightarrow{MN} = \vec{0} + \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)+\vec{0}$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} $$

+) Chứng minh: $ 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BD}$

Bài tập 4.12 - Trang 58 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Tương tự trên, ta có:

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CN}$$

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$$

Suy ra:

$$2\overrightarrow{MN} = \left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)+\left(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}\right)$$

$$\;\;\;\;\; = \vec{0}+ \left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right) +\vec{0}$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} $$

Bài tập 4.13 (Trang 58 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B.$

a) Hãy xác định điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB} = \vec{0}.$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O,$ ta có: $\overrightarrow{OK} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

Giải

a) Giả sử có điểm $K$ thỏa mãn $ \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB} = \vec{0}. $ Khi đó, $\overrightarrow{KA} = -2\overrightarrow{KB}.$

Suy ra $\overrightarrow{KA}$ và $\overrightarrow{KB}$ cùng phương, ngược hướng và $KA=2KB.$ Do đó, điểm $K$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $KA = 2KB.$

Bài tập 4.13 - Trang 58 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

b)

Bài tập 4.13 - Trang 58 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Ta có:

$$\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AK}$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB} – \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OA}$$

$$\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài tập 4.14 (Trang 58 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho tam giác $ABC.$

a) Hãy xác định điểm $M$ để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}.$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O,$ ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}.$

Giải

a) Giả sử có điểm $M$ để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}\;\;(1)$

Bài tập 4.14 - Trang 58 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB.$ Khi đó, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}.$

Suy ra: $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC} = 2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}\right).$

Do đó, đẳng thức $(1)$ tương đương với: $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}.$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là trung điểm của $IC.$

b) Lấy tùy ý một điểm $O,$ ta có: $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA},$ $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB},$ $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}.$

Suy ra:

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC} $$

$$\;\;\;\;\; = 4\overrightarrow{OM}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right)$$

$$\;\;\;\;\; = 4\overrightarrow{OM} +\vec{0}$$

$$\;\;\;\;\; = 4\overrightarrow{OM}.$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chú ý

Trong câu a), ta có thể xác định điểm $M$ thông qua trọng tâm của tam giác $ABC.$ Cách làm như sau:

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $G$ là một điểm xác định.

Bài tập 4.14 - Trang 58 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Ta có: $\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}.$

Do đó, đẳng thức $(1)$ tương đương với: $3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MC} = \vec{0}.$

Suy ra: $\overrightarrow{MC} = -3\overrightarrow{MG}.$

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{MC}$ và $\overrightarrow{MG}$ cùng phương, ngược hướng và $MC = 3MG.$

Suy ra $M$ thuộc đoạn $CG$ sao cho $MC = 3MG.$

Bài tập 4.15 (Trang 59 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Chất điểm $A$ chịu tác động của ba lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}).$ Tính độ lớn của các lực $\overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3},$ biết $\overrightarrow{F_1}$ có độ lớn là $20\;N.$

Bài tập 4.15 - Trang 59 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

Bài tập 4.15 - Trang 59 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Đặt $\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{AB};$ $\overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{AC};$ $\overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{AD}.$

Gọi $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_2} +\overrightarrow{F_3}$ là tổng hợp lực của $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}.$

Thế thì $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{AE},$ với $E$ là đỉnh của hình bình hành $ACED.$

Do chất điểm $A$ ở trạng thái cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F}$ là hai lực cân bằng.

Bởi vậy: $AE = |\overrightarrow{F}| = |\overrightarrow{F_1}| = 20$ và $AE\perp AC.$

Vì $AE \perp AC$ nên $\widehat{EAC}=90^o.$ Suy ra: $\widehat{EAD} = \widehat{DAC}-\widehat{EAC} = 30^o.$

Do $ACED$ là hình bình hành nên $\widehat{AEC} = \widehat{EAD}=30^o.$

Do đó:

$$|\overrightarrow{F_2}| = AC = AE\cdot tan\;30^o = \dfrac{20\sqrt{3}}{3};$$

$$|\overrightarrow{F_3}| = AD = \dfrac{AE}{cos\;30^o} = \dfrac{40\sqrt{3}}{3}.$$

Vậy $\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn là $\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\;N$ và $\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn là $\dfrac{40\sqrt{3}}{3}\;N.$

Chia sẻ nếu thấy hay:
0 0 đánh giá
Đánh giá bài viết
Theo dõi
Thông báo của
guest

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

0 Góp ý
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Rất thích suy nghĩ của bạn, hãy bình luận.x