Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 9 – TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Giải

a) ĐÚNG.

Giải thích:

+) $(\Rightarrow)$ Nếu $M$ thuộc đường thẳng $d$ thì $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ là hai vectơ cùng phương. Do đó, tồn tại số $t$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}.$

+) $(\Leftarrow)$ Ngược lại, nếu tồn tại số $t$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$ thì $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng phương. Mà hai vectơ này có chung gốc $A$ nên chúng phải có giá trùng nhau (chứ không thể song song nhau được). Do đó, $A, M, B$ cùng nằm trên một đường thẳng, tức là $M$ thuộc đường thẳng $d.$

b) SAI.

Giải thích: Với một điểm $M$ bất kỳ, hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ nói chung là không cùng phương (chúng chỉ cùng phương khi $M$ thuộc đường thẳng $AB$ mà thôi). Do đó, khẳng định b) là không đúng.

c) ĐÚNG.

Giải thích:

+) $(\Rightarrow)$ Nếu điểm $M$ thuộc tia đối của tia $AB$ thì $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ là hai vectơ cùng phương và ngược hướng. Do đó, tồn tại số $t\leq 0$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}.$

+) $(\Leftarrow)$ Nếu tồn tại số $t\leq 0$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$ thì hoặc $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ là hai vectơ ngược hướng (khi $t<0)$ hoặc $M$ trùng $A$ (khi $t=0).$ Do đó, $M$ thuộc tia đối của tia $AB.$

Giải

Ta có:

$$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $$

$$=\left( \overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GA}\right) + \left(\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GB}\right) + \left(\overrightarrow{OG} +\overrightarrow{GC}\right)$$

$$= 3\overrightarrow{OG} + \left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC}\right)$$

$$= 3\overrightarrow{OG} + \vec{0}$$

$$= 3\overrightarrow{OG}.$$

Suy ra điều phải chứng minh.

Chú ý

Khi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \vec{0}.$

Giải

$$\vec{u} = \vec{a} + 2\vec{b}.$$

$$\vec{v} = -2\vec{a} + 3\vec{b}.$$

Giải

Cách 1: Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $AD.$ Khi đó, $AN//BM$ (vì $AD //BC)$ và $AN = BM$ (vì cùng bằng một nửa $AD).$ Do đó, tứ giác $ABMN$ là hình bình hành.

Theo quy tắc hình bình hành, ta được:

$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AN}$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$$

Cách 2: Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.$ Mặt khác, vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$ Vậy $\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$

Do đó, theo quy tắc ba điểm, ta được:

$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$$

Giải

+) Chứng minh: $ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} $

Ta có:

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$$

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CN}$$

Cộng vế theo vế ta được:

$$2\overrightarrow{MN} = \left(\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}\right) + \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}\right) \;\;(1)$$

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} = \vec{0}$ và $\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN} = \vec{0}.$ Thay vào $(1)$ ta được:

$$2\overrightarrow{MN} = \vec{0} + \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)+\vec{0}$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} $$

+) Chứng minh: $ 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BD}$

Tương tự trên, ta có:

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CN}$$

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$$

Suy ra:

$$2\overrightarrow{MN} = \left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)+\left(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}\right)$$

$$\;\;\;\;\; = \vec{0}+ \left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right) +\vec{0}$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} $$

Giải

a) Giả sử có điểm $K$ thỏa mãn $ \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB} = \vec{0}. $ Khi đó, $\overrightarrow{KA} = -2\overrightarrow{KB}.$

Suy ra $\overrightarrow{KA}$ và $\overrightarrow{KB}$ cùng phương, ngược hướng và $KA=2KB.$ Do đó, điểm $K$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $KA = 2KB.$

b)

Ta có:

$$\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AK}$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)$$

$$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB} – \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OA}$$

$$\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Giải

a) Giả sử có điểm $M$ để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}\;\;(1)$

Gọi $I$ là trung điểm của $AB.$ Khi đó, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}.$

Suy ra: $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC} = 2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}\right).$

Do đó, đẳng thức $(1)$ tương đương với: $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}.$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là trung điểm của $IC.$

b) Lấy tùy ý một điểm $O,$ ta có: $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA},$ $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB},$ $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}.$

Suy ra:

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC} $$

$$\;\;\;\;\; = 4\overrightarrow{OM}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right)$$

$$\;\;\;\;\; = 4\overrightarrow{OM} +\vec{0}$$

$$\;\;\;\;\; = 4\overrightarrow{OM}.$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chú ý

Trong câu a), ta có thể xác định điểm $M$ thông qua trọng tâm của tam giác $ABC.$ Cách làm như sau:

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $G$ là một điểm xác định.

Ta có: $\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}.$

Do đó, đẳng thức $(1)$ tương đương với: $3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MC} = \vec{0}.$

Suy ra: $\overrightarrow{MC} = -3\overrightarrow{MG}.$

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{MC}$ và $\overrightarrow{MG}$ cùng phương, ngược hướng và $MC = 3MG.$

Suy ra $M$ thuộc đoạn $CG$ sao cho $MC = 3MG.$

Giải

Đặt $\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{AB};$ $\overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{AC};$ $\overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{AD}.$

Gọi $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_2} +\overrightarrow{F_3}$ là tổng hợp lực của $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}.$

Thế thì $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{AE},$ với $E$ là đỉnh của hình bình hành $ACED.$

Do chất điểm $A$ ở trạng thái cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F}$ là hai lực cân bằng.

Bởi vậy: $AE = |\overrightarrow{F}| = |\overrightarrow{F_1}| = 20$ và $AE\perp AC.$

Vì $AE \perp AC$ nên $\widehat{EAC}=90^o.$ Suy ra: $\widehat{EAD} = \widehat{DAC}-\widehat{EAC} = 30^o.$

Do $ACED$ là hình bình hành nên $\widehat{AEC} = \widehat{EAD}=30^o.$

Do đó:

$$|\overrightarrow{F_2}| = AC = AE\cdot tan\;30^o = \dfrac{20\sqrt{3}}{3};$$

$$|\overrightarrow{F_3}| = AD = \dfrac{AE}{cos\;30^o} = \dfrac{40\sqrt{3}}{3}.$$

Vậy $\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn là $\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\;N$ và $\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn là $\dfrac{40\sqrt{3}}{3}\;N.$