Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 4. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống. A – Trắc nghiệm Bài tập 4.27: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào […]

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.

A – Trắc nghiệm

Bài tập 4.27: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = \left(\dfrac{1}{2}; 6\right).$

B. $\vec{a} = (\sqrt{2}; 6)$ và $\vec{b} = \left(1; 3\sqrt{2}\right).$

C. $\vec{i} = (0; 1)$ và $\vec{j} = (1; 0).$

D. $\vec{c} = (1; 3)$ và $\vec{d} = (2; -6).$

Chọn B.

Giải thích: Lần lượt so sánh các tỷ số $\dfrac{x_1}{x_2}$ và $\dfrac{y_1}{y_2}$ của mỗi cặp vectơ ta sẽ chọn được cặp vectơ cùng phương (khi hai tỷ số đó bằng nhau).

+) $\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}} \neq \dfrac{3}{6}$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không cùng phương.

+) $\dfrac{\sqrt{2}}{1} = \dfrac{6}{3\sqrt{2}}$ nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

+) $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc nhau nên không cùng phương.

+) $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{3}{-6}$ nên $\vec{c}$ và $\vec{d}$ không cùng phương.

Bài tập 4.28: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (4; 6).$

B. $\vec{a} = (1; -1)$ và $\vec{b} = (-1; 1).$

C. $\vec{z} = (a; b)$ và $\vec{t} = (-b; a).$

D. $\vec{n} = (1; 1)$ và $\vec{k} = (2; 0).$

Chọn C.

Giải thích: Tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ. Nếu tích vô hướng bằng $0$ thì cặp vectơ đó vuông góc nhau.

+) $\vec{u}\cdot \vec{v} = 2\cdot 4 + 3\cdot 6 \neq 0$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không vuông góc nhau.

+) $\vec{a}\cdot \vec{b} = 1\cdot (-1) + (-1)\cdot 1 \neq 0$ nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không vuông góc nhau.

+) $\vec{z}\cdot \vec{t} = a\cdot (-b) + b\cdot a = 0$ nên $\vec{z}\perp \vec{t}.$

+) $\vec{n}\cdot \vec{k} = 1\cdot 2 + 1\cdot 0 \neq 0$ nên $\vec{n}$ và $\vec{k}$ không vuông góc nhau.

Bài tập 4.29: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng $1?$

A. $\vec{a} = (1; 1).$

B. $\vec{b} = (1; -1).$

C. $\vec{c} =\left(2; \dfrac{1}{2}\right).$

D. $\vec{d} = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}; \dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right).$

Chọn D.

Giải thích: Công thức tính độ dài của vectơ $\vec{u} = (x; y)$ là $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}.$

+) $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$

+) $|\vec{b}| = \sqrt{1^1 + (-1)^2} = \sqrt{2}.$

+) $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{17}}{4}.$

+) $|\vec{d}| = \sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right)^2} = 1.$

Bài tập 4.30: Góc giữa vectơ $\vec{a} = (1; -1)$ và vectơ $\vec{b} = (-2; 0)$ có số đo bằng:

A. $90^o.$

B. $0^o.$

C. $135^o.$

D. $45^o.$

Chọn C.

Giải thích:

$$cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$$

$$\;\;\;\;\; = \dfrac{1\cdot (-2)+(-1)\cdot 0}{\sqrt{1^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{(-2)^2 + 0^2}}$$

$$= \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{-1}{\sqrt{2}}.$$

Suy ra: $(\vec{a}, \vec{b}) = 135^o.$

Bài tập 4.31: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c} = \vec{a}(\vec{b}\cdot \vec{c}).$

B. $\left(\vec{a}\cdot \vec{b}\right)^2 = \vec{a}^2\cdot \vec{b}^2.$

C. $\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}| sin(\vec{a},\vec{b}).$

D. $\vec{a}\cdot (\vec{b} – \vec{c}) = \vec{a}\cdot \vec{b} – \vec{a}\cdot \vec{c}.$

Giải

Chọn D.

Giải thích:

+) Chọn $\vec{a} = (0; 1),$ $\vec{b} = \vec{c} = (1; 0),$ ta thấy: $(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c} = (0; 0)$ và $ \vec{a}(\vec{b}\cdot \vec{c}) = (0; 1)$ $\Rightarrow (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c} \neq \vec{a}(\vec{b}\cdot \vec{c}).$ Vậy A sai.

+) $ \left(\vec{a}\cdot \vec{b}\right)^2 = \left(|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\vec{a}, \vec{b})\right)^2 = |\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 \cdot cos^2(\vec{a}, \vec{b}).$ Vậy B sai.

+) $\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\vec{a}, \vec{b}).$ Vậy C sai.

+) D đúng theo tính chất của tích vô hướng.

Bài tập 4.32: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = 45^o.$

B. $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=a^2.$

C. $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=a^2\sqrt{2}.$

D. $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BD}=-a^2.$

Giải

Chọn B.

Giải thích:

Bài tập 4.32 - Trang 71 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

+) $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = 180^o – \widehat{ABD} = 135^o.$ Vậy A sai.

+) $ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC})$ $= a\cdot a\sqrt{2} \cdot cos\;45^o = a^2.$ Vậy B đúng.

+) Vì $AC\perp BD$ nên $ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD} = 0.$ Vậy C sai.

+) $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BD} = a^2.$ Vậy D sai.

B – Tự luận

Bài tập 4.33 (Trang 71 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC,$ lấy điểm $M$ sao cho $MB = 3MC.$

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}.$

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$

Giải

Bài tập 4.33 - Trang 71 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

a) $\overrightarrow{MB} = -3\overrightarrow{MC}.$

b)

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB}\right)$

$\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} +\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}.$

Bài tập 4.34 (Trang 72 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho hình bình hành $ABCD.$ Chứng minh rằng với mọi điểm $M,$ ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}.$

Giải

Bài tập 4.34 - Trang 72 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Gọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD.$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $I$ là trung điểm của $AC$ và của $BD.$

Do đó: $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI}$ và $\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MI}.$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ (vì cùng bằng $2\overrightarrow{MI}).$

Ta có điều phải chứng minh.

Bài tập 4.35 (Trang 72 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho $A(2; 1),$ $B(-2; 5)$ và $C(-5;2).$

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}.$

b) Chứng minh rằng $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC.$

d) Tìm tọa độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $BCAD$ là một hình bình hành.

Giải

a) $\overrightarrow{BA} = (4; -4)$ và $\overrightarrow{BC} = (-3; -3).$

b)

+) Ta có: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC} = 4\cdot (-3) + (-4)\cdot (-3) = 0$ $\Rightarrow \overrightarrow{BA} \perp \overrightarrow{BC}.$ Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $B.$

+) Do tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}BA\cdot BC.$

$\overrightarrow{BA} = (4; -4)$ nên $BA = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = 4\sqrt{2}.$

$\overrightarrow{BC} = (-3; -3)$ nên $BC = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2}.$

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}BA\cdot BC = \dfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2} = 12.$

+) $\overrightarrow{CA} = (7; -1)$ nên $CA = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = 5\sqrt{2}.$

Chu vi tam giác $ABC$ bằng: $BA + BC + CA = 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 12\sqrt{2}.$

c) Gọi $G(x_G; y_G)$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Khi đó: $\begin{cases} x_G = \dfrac{x_A +x_B+x_C}{3} \\ y_G = \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x_G = \dfrac{2 + (-2) + (-5)}{3} = \dfrac{-5}{3} \\ y_G = \dfrac{1 + 5 + 2}{3} = \dfrac{8}{3} \end{cases}$

Vậy $G\left(\dfrac{-5}{3}; \dfrac{8}{3}\right).$

d) Gọi $D(x; y)$ thì $\overrightarrow{AD} = (x-2; y-1)$ và $\overrightarrow{CB} = (3; 3).$

Tứ giác $BCAD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x – 2 = 3 \\ y – 1 = 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x = 5 \\ y = 4 \end{cases}$

Vậy $D(5; 4)$ là điểm cần tìm.

Bài tập 4.36 (Trang 72 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho $A(1; 2),$ $B(3; 4),$ $C(-1; -2)$ và $D(6; 5).$

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}.$

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương.

c) Giả sử $E$ là điểm có tọa độ $(a; 1).$ Tìm $a$ để các vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương.

d) Với $a$ tìm được, hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{AE}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$

Giải

a) $\overrightarrow{AB} = (2; 2)$ và $\overrightarrow{CD} = (7; 7).$

b) Ta có: $\dfrac{2}{7}\overrightarrow{CD} = (2; 2) = \overrightarrow{AB}.$ Do đó, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương.

c) $A(1; 2),$ $C(-1; -2)$ nên $\overrightarrow{AC} = (-2; -4).$

$B(3; 4),$ $E(a; 1)$ nên $\overrightarrow{BE} = (a – 3; -3).$

$\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương $\Leftrightarrow \dfrac{a-3}{-2} = \dfrac{-3}{-4}$ $\Leftrightarrow a = \dfrac{3}{2}.$

d) Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE}\;\;(1)$

Để ý rằng $\overrightarrow{BE}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ (do yêu cầu ở câu c) nên ta có thể biểu diễn $\overrightarrow{BE}$ hoàn toàn theo $\overrightarrow{AC}.$

Ta có: $\overrightarrow{AC} = (-2; -4)$

Với $a = \dfrac{3}{2}$ thì $E\left(\dfrac{3}{2}; 1\right)$ nên:

$\overrightarrow{BE} = \left(\dfrac{-3}{2}; -3\right) = \left((-2)\cdot \dfrac{3}{4}; (-4)\cdot \dfrac{3}{4}\right) $

$\;\;\;\;\;= \dfrac{3}{4}(-2; -4) = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}.$

Vậy $\overrightarrow{BE} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}.$ Thay vào $(1),$ ta được: $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}.$

Bài tập 4.37 (Trang 72 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}.$ Chứng minh rằng $\dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ (hay còn được viết là $\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|})$ là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}.$

Giải

Trước tiên, vì $\vec{a}\neq \vec{0}$ nên $|\vec{a}|$ là một số thực khác $0.$ Do đó: $\dfrac{1}{|\vec{a}|}$ là một số thực xác định. Vậy $\dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ là một vectơ (vì là tích của một số thực với một vectơ).

Đặt $k = \dfrac{1}{|\vec{a}|}$ và $\vec{u} = \dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} = k\vec{a}.$

Ta cần chứng minh $\vec{u}$ là một vectơ đơn vị (có độ dài bằng $1),$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}.$

+) Chứng minh $\vec{u}$ là một vectơ đơn vị:

Vì $|\vec{a}| > 0$ nên $k>0.$ Suy ra: $|k| = k.$

Do đó: $|\vec{u}| = |k\vec{a}| = |k|\cdot |\vec{a}| = k\cdot |\vec{a}| = \dfrac{1}{|\vec{a}|}\cdot |\vec{a}| = 1.$

Vậy $\vec{u}$ là một vectơ đơn vị.

+) Chứng minh $\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{a}:$

Ta có: $\vec{u} = k\vec{a}$ và $k > 0$ nên $\vec{u}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}.$

Bài tập 4.38 (Trang 72 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho ba vectơ $\vec{a},$ $\vec{b},$ $\vec{u}$ với $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và $\vec{a}\perp \vec{b}.$ Xét một hệ trục $Oxy$ với các vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a},$ $\vec{j} = \vec{b}.$ Chứng minh rằng:

a) Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u}\cdot \vec{a}; \vec{u}\cdot \vec{b}).$

b) $\vec{u} = (\vec{u}\cdot \vec{a})\vec{a} + (\vec{u}\cdot \vec{b})\vec{b}.$

Giải

a) Gọi $\vec{u} = (x; y).$ Ta cần chứng minh $\vec{u}\cdot \vec{a} =x$ và $\vec{u}\cdot \vec{b} =y.$

Ta có: $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} = x\vec{a} + y\vec{b}$

Suy ra: $\vec{u}\cdot \vec{a} = (x\vec{a} + y\vec{b})\cdot \vec{a} = x\vec{a}^2 + y\vec{b}\cdot \vec{a}\;\;(1)$ và $\vec{u}\cdot \vec{b} = (x\vec{a}+y\vec{b})\cdot \vec{b} = x\vec{a}\cdot \vec{b} + y\vec{b}^2\;\;(2)$

Ta thấy: $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1$ và $\vec{b}\cdot \vec{a} = 0$ (vì $\vec{a}\perp \vec{b}).$ Do đó: $ x\vec{a}^2 + y\vec{b}\cdot \vec{a} = x.$ Vậy từ $(1)$ ta suy ra: $\vec{u}\cdot \vec{a} = x.$

Tương tự. ta có: $\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 1$ và $\vec{a}\cdot \vec{b} = 0.$ Do đó: $x\vec{a}\cdot \vec{b} + y\vec{b}^2 = y.$ Vậy từ $(2)$ ta suy ra: $\vec{u}\cdot \vec{b} =y.$

Vậy vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u}\cdot \vec{a}; \vec{u}\cdot \vec{b}) .$

b) Do tọa độ của $\vec{u}$ là $(\vec{u}\cdot \vec{a}; \vec{u}\cdot \vec{b})$ và $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$ nên:

$\vec{u} = ( \vec{u}\cdot \vec{b} )\vec{i} + ( \vec{u}\cdot \vec{b} )\vec{j} = ( \vec{u}\cdot \vec{a} )\vec{a} + ( \vec{u}\cdot \vec{b} )\vec{b}.$

Bài tập 4.39 (Trang 72 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng $S15^oE$ với vận tốc có độ lớn bằng $20\;km/h.$ Tính độ lớn của vận tốc riêng của ca nô, biết rằng nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng $3\;km/h.$

Giải

Ta sử dụng vectơ $\overrightarrow{AB}$ để biểu thị cho vận tốc riêng của ca nô, vectơ $\overrightarrow{BC}$ để biểu thị cho vận tốc của dòng nước và vectơ $\overrightarrow{AC}$ để biểu thị cho vận tốc thực tế của ca nô.

Bài tập 4.39 - Trang 72 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Khi đó, $AC = 20,$ $BC = 3.$ Hơn nữa, do ca nô chuyển động theo hướng $S15^oE$ nên $\widehat{ACB} = 90^o – 15^o = 75^o.$

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC$ ta được:

$AB^2 = CA^2 + CB^2 – 2CA\cdot CB\cdot cos\;75^o \approx 377,94.$

Suy ra: $AB \approx 19,44.$

Vậy vận tốc riêng của ca nô xấp xỉ bằng $19,44\;km/h.$

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.