Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 4. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Chọn B.

Giải thích: Lần lượt so sánh các tỷ số $\dfrac{x_1}{x_2}$ và $\dfrac{y_1}{y_2}$ của mỗi cặp vectơ ta sẽ chọn được cặp vectơ cùng phương (khi hai tỷ số đó bằng nhau).

+) $\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}} \neq \dfrac{3}{6}$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không cùng phương.

+) $\dfrac{\sqrt{2}}{1} = \dfrac{6}{3\sqrt{2}}$ nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

+) $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc nhau nên không cùng phương.

+) $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{3}{-6}$ nên $\vec{c}$ và $\vec{d}$ không cùng phương.

Chọn C.

Giải thích: Tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ. Nếu tích vô hướng bằng $0$ thì cặp vectơ đó vuông góc nhau.

+) $\vec{u}\cdot \vec{v} = 2\cdot 4 + 3\cdot 6 \neq 0$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không vuông góc nhau.

+) $\vec{a}\cdot \vec{b} = 1\cdot (-1) + (-1)\cdot 1 \neq 0$ nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không vuông góc nhau.

+) $\vec{z}\cdot \vec{t} = a\cdot (-b) + b\cdot a = 0$ nên $\vec{z}\perp \vec{t}.$

+) $\vec{n}\cdot \vec{k} = 1\cdot 2 + 1\cdot 0 \neq 0$ nên $\vec{n}$ và $\vec{k}$ không vuông góc nhau.

Chọn D.

Giải thích: Công thức tính độ dài của vectơ $\vec{u} = (x; y)$ là $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}.$

+) $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$

+) $|\vec{b}| = \sqrt{1^1 + (-1)^2} = \sqrt{2}.$

+) $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{17}}{4}.$

+) $|\vec{d}| = \sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right)^2} = 1.$

Chọn C.

Giải thích:

$$cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$$

$$\;\;\;\;\; = \dfrac{1\cdot (-2)+(-1)\cdot 0}{\sqrt{1^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{(-2)^2 + 0^2}}$$

$$= \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{-1}{\sqrt{2}}.$$

Suy ra: $(\vec{a}, \vec{b}) = 135^o.$

Giải

Chọn D.

Giải thích:

+) Chọn $\vec{a} = (0; 1),$ $\vec{b} = \vec{c} = (1; 0),$ ta thấy: $(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c} = (0; 0)$ và $ \vec{a}(\vec{b}\cdot \vec{c}) = (0; 1)$ $\Rightarrow (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c} \neq \vec{a}(\vec{b}\cdot \vec{c}).$ Vậy A sai.

+) $ \left(\vec{a}\cdot \vec{b}\right)^2 = \left(|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\vec{a}, \vec{b})\right)^2 = |\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 \cdot cos^2(\vec{a}, \vec{b}).$ Vậy B sai.

+) $\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\vec{a}, \vec{b}).$ Vậy C sai.

+) D đúng theo tính chất của tích vô hướng.

Giải

Chọn B.

Giải thích:

+) $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = 180^o – \widehat{ABD} = 135^o.$ Vậy A sai.

+) $ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC})$ $= a\cdot a\sqrt{2} \cdot cos\;45^o = a^2.$ Vậy B đúng.

+) Vì $AC\perp BD$ nên $ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD} = 0.$ Vậy C sai.

+) $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BD} = a^2.$ Vậy D sai.

Giải

a) $\overrightarrow{MB} = -3\overrightarrow{MC}.$

b)

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$

$\;\;\;\;\; = \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB}\right)$

$\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} +\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}.$

Giải

Gọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD.$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $I$ là trung điểm của $AC$ và của $BD.$

Do đó: $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI}$ và $\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MI}.$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ (vì cùng bằng $2\overrightarrow{MI}).$

Ta có điều phải chứng minh.

Giải

a) $\overrightarrow{BA} = (4; -4)$ và $\overrightarrow{BC} = (-3; -3).$

b)

+) Ta có: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC} = 4\cdot (-3) + (-4)\cdot (-3) = 0$ $\Rightarrow \overrightarrow{BA} \perp \overrightarrow{BC}.$ Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $B.$

+) Do tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}BA\cdot BC.$

$\overrightarrow{BA} = (4; -4)$ nên $BA = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = 4\sqrt{2}.$

$\overrightarrow{BC} = (-3; -3)$ nên $BC = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2}.$

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}BA\cdot BC = \dfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2} = 12.$

+) $\overrightarrow{CA} = (7; -1)$ nên $CA = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = 5\sqrt{2}.$

Chu vi tam giác $ABC$ bằng: $BA + BC + CA = 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 12\sqrt{2}.$

c) Gọi $G(x_G; y_G)$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Khi đó: $\begin{cases} x_G = \dfrac{x_A +x_B+x_C}{3} \\ y_G = \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x_G = \dfrac{2 + (-2) + (-5)}{3} = \dfrac{-5}{3} \\ y_G = \dfrac{1 + 5 + 2}{3} = \dfrac{8}{3} \end{cases}$

Vậy $G\left(\dfrac{-5}{3}; \dfrac{8}{3}\right).$

d) Gọi $D(x; y)$ thì $\overrightarrow{AD} = (x-2; y-1)$ và $\overrightarrow{CB} = (3; 3).$

Tứ giác $BCAD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x – 2 = 3 \\ y – 1 = 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x = 5 \\ y = 4 \end{cases}$

Vậy $D(5; 4)$ là điểm cần tìm.

Giải

a) $\overrightarrow{AB} = (2; 2)$ và $\overrightarrow{CD} = (7; 7).$

b) Ta có: $\dfrac{2}{7}\overrightarrow{CD} = (2; 2) = \overrightarrow{AB}.$ Do đó, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương.

c) $A(1; 2),$ $C(-1; -2)$ nên $\overrightarrow{AC} = (-2; -4).$

$B(3; 4),$ $E(a; 1)$ nên $\overrightarrow{BE} = (a – 3; -3).$

$\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương $\Leftrightarrow \dfrac{a-3}{-2} = \dfrac{-3}{-4}$ $\Leftrightarrow a = \dfrac{3}{2}.$

d) Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE}\;\;(1)$

Để ý rằng $\overrightarrow{BE}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ (do yêu cầu ở câu c) nên ta có thể biểu diễn $\overrightarrow{BE}$ hoàn toàn theo $\overrightarrow{AC}.$

Ta có: $\overrightarrow{AC} = (-2; -4)$

Với $a = \dfrac{3}{2}$ thì $E\left(\dfrac{3}{2}; 1\right)$ nên:

$\overrightarrow{BE} = \left(\dfrac{-3}{2}; -3\right) = \left((-2)\cdot \dfrac{3}{4}; (-4)\cdot \dfrac{3}{4}\right) $

$\;\;\;\;\;= \dfrac{3}{4}(-2; -4) = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}.$

Vậy $\overrightarrow{BE} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}.$ Thay vào $(1),$ ta được: $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}.$

Giải

Trước tiên, vì $\vec{a}\neq \vec{0}$ nên $|\vec{a}|$ là một số thực khác $0.$ Do đó: $\dfrac{1}{|\vec{a}|}$ là một số thực xác định. Vậy $\dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ là một vectơ (vì là tích của một số thực với một vectơ).

Đặt $k = \dfrac{1}{|\vec{a}|}$ và $\vec{u} = \dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} = k\vec{a}.$

Ta cần chứng minh $\vec{u}$ là một vectơ đơn vị (có độ dài bằng $1),$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}.$

+) Chứng minh $\vec{u}$ là một vectơ đơn vị:

Vì $|\vec{a}| > 0$ nên $k>0.$ Suy ra: $|k| = k.$

Do đó: $|\vec{u}| = |k\vec{a}| = |k|\cdot |\vec{a}| = k\cdot |\vec{a}| = \dfrac{1}{|\vec{a}|}\cdot |\vec{a}| = 1.$

Vậy $\vec{u}$ là một vectơ đơn vị.

+) Chứng minh $\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{a}:$

Ta có: $\vec{u} = k\vec{a}$ và $k > 0$ nên $\vec{u}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}.$

Giải

a) Gọi $\vec{u} = (x; y).$ Ta cần chứng minh $\vec{u}\cdot \vec{a} =x$ và $\vec{u}\cdot \vec{b} =y.$

Ta có: $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} = x\vec{a} + y\vec{b}$

Suy ra: $\vec{u}\cdot \vec{a} = (x\vec{a} + y\vec{b})\cdot \vec{a} = x\vec{a}^2 + y\vec{b}\cdot \vec{a}\;\;(1)$ và $\vec{u}\cdot \vec{b} = (x\vec{a}+y\vec{b})\cdot \vec{b} = x\vec{a}\cdot \vec{b} + y\vec{b}^2\;\;(2)$

Ta thấy: $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1$ và $\vec{b}\cdot \vec{a} = 0$ (vì $\vec{a}\perp \vec{b}).$ Do đó: $ x\vec{a}^2 + y\vec{b}\cdot \vec{a} = x.$ Vậy từ $(1)$ ta suy ra: $\vec{u}\cdot \vec{a} = x.$

Tương tự. ta có: $\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 1$ và $\vec{a}\cdot \vec{b} = 0.$ Do đó: $x\vec{a}\cdot \vec{b} + y\vec{b}^2 = y.$ Vậy từ $(2)$ ta suy ra: $\vec{u}\cdot \vec{b} =y.$

Vậy vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u}\cdot \vec{a}; \vec{u}\cdot \vec{b}) .$

b) Do tọa độ của $\vec{u}$ là $(\vec{u}\cdot \vec{a}; \vec{u}\cdot \vec{b})$ và $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$ nên:

$\vec{u} = ( \vec{u}\cdot \vec{b} )\vec{i} + ( \vec{u}\cdot \vec{b} )\vec{j} = ( \vec{u}\cdot \vec{a} )\vec{a} + ( \vec{u}\cdot \vec{b} )\vec{b}.$

Giải

Ta sử dụng vectơ $\overrightarrow{AB}$ để biểu thị cho vận tốc riêng của ca nô, vectơ $\overrightarrow{BC}$ để biểu thị cho vận tốc của dòng nước và vectơ $\overrightarrow{AC}$ để biểu thị cho vận tốc thực tế của ca nô.

Khi đó, $AC = 20,$ $BC = 3.$ Hơn nữa, do ca nô chuyển động theo hướng $S15^oE$ nên $\widehat{ACB} = 90^o – 15^o = 75^o.$

Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC$ ta được:

$AB^2 = CA^2 + CB^2 – 2CA\cdot CB\cdot cos\;75^o \approx 377,94.$

Suy ra: $AB \approx 19,44.$

Vậy vận tốc riêng của ca nô xấp xỉ bằng $19,44\;km/h.$