Lý thuyết về Mệnh đề giúp cho việc diễn đạt trong Toán học trở nên thống nhất và chính xác hơn.
Mệnh đề là gì?
🤔 Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.
Những câu không xác định được tính đúng sai của nó (như câu hỏi, câu cảm thán, câu cầu khiến, …) thì không phải là một mệnh đề.
🤔 Một khẳng định đúng là một mệnh đề đúng. Một khẳng định sai là một mệnh đề sai. Mệnh đề không được vừa đúng vừa sai.
Ví dụ 1: Các câu sau đây là mệnh đề:
(1) Số 15 là số tự nhiên lẻ.
(2) 1 + 1 = 7.
(3) Dơi là một loài chim.
(4) Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới.
Nhận xét:
+) Các câu (1) và (4) là các mệnh đề đúng.
+) Các câu (2) và (3) là các mệnh đề sai. (Vì $1+1=2$ và dơi là một loài thú chứ không phải chim.)
+) Các câu (1) và (2) liên quan đến toán học nên ta còn gọi chúng là các mệnh đề toán học. Còn các câu (3) và (4) là chỉ là các sự kiện đời thường, không liên quan đến toán học; đây không phải là các mệnh đề toán học.
Ví dụ 2: Các câu sau đây không phải là mệnh đề:
(5) Cái áo của Lan đẹp quá!
(6) Đừng vượt đèn đỏ!
(7) Học Toán có dễ không?
Nhận xét: Câu (5) là một câu cảm thán; câu (6) là một câu cầu khiến; câu (7) là một câu hỏi. Những câu này không mang tính chất đúng sai nên chúng đều không phải là mệnh đề.
Câu hỏi 1: Câu nào là mệnh đề trong các câu sau?
a) Việt Nam có bao nhiêu thành phố?
b) $\sqrt{2}$ là một số hữu tỷ.
c) Tứ giác có 4 cạnh.
d) Tôi rất thích số 3.
e) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.
Giải
Các câu b), c) và e) là các mệnh đề. Trong đó, b) là mệnh đề sai; c) và e) là các mệnh đề đúng.
Các câu a) và d) không phải là mệnh đề. (Vì ta không xác định được tính đúng sai của nó.)
Câu hỏi 2: Câu nào là mệnh đề trong các câu sau? Nếu là mệnh đề, hãy xác định tính đúng sai của nó.
a) Số -7 là số tự nhiên.
b) Chiếc cầu này dài thật đấy.
c) $4\;050$ chia hết cho 9.
d) Nhớ làm bài tập về nhà.
Giải
Các câu a) và c) là các mệnh đề. Trong đó, câu a) là mệnh đề sai; câu c) là mệnh đề đúng.
Các câu b) và d) không phải là mệnh đề.
Chú ý:
+) Người ta thường dùng các chữ cái in hoa $(P, Q, R, T, …)$ để ký hiệu mệnh đề.
+) Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là các mệnh đề toán học.
Câu hỏi 3: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?
a) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.
b) Mọi số tự nhiên đều là số dương.
c) Có sự sống ngoài Trái Đất.
d) Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động.
Giải
Các câu a), b) là các mệnh đề toán học. (Vì chúng liên quan đến Toán học và xác định được tính đúng sai: câu a) đúng, câu b) sai vì số 0 không phải là số dương.)
Các câu c), d) không phải là mệnh đề toán học. (Mặc dù chúng đều là các mệnh đề nhưng lại không liên quan đến toán học, nên chúng không phải là mệnh đề toán học.)
Mệnh đề chứa biến là gì?
Xét câu “$n$ chia hết cho 2” (với $n$ là số tự nhiên).
Câu này không phải là một mệnh đề, vì ta không thể xác định được rằng nó đúng hay sai (khi chưa biết giá trị của $n$).
Tuy nhiên, nếu thay $n$ bởi một số tự nhiên cụ thể thì ta lại được một mệnh đề. Chẳng hạn:
+) Với $n=4,$ ta được câu “$4$ chia hết cho 2”. Đây là một mệnh đề đúng.
+) Với $n = 9,$ ta được câu “$9$ chia hết cho 2”. Đây là một mệnh đề sai.
Những câu như “$n$ chia hết cho 2” được gọi là mệnh đề chứa biến.
🤔 Đặc điểm của mệnh đề chứa biến là:
+) có chứa biến (một hoặc nhiều biến): $x, y, z, n, …$
+) khi thay vào biến những giá trị cụ thể thì ta được các mệnh đề (đúng hoặc sai).
Câu hỏi 4: Trong những câu sau, câu nào là mệnh đề chứa biến?
a) 15 là một số nguyên.
b) $x$ là một số tự nhiên.
Giải
Câu b) là mệnh đề chứa biến.
Câu a) không phải là mệnh đề chứa biến.
Câu hỏi 5: Cho câu “$t+3=6.$” Hãy nêu hai giá trị cụ thể của $t$ để từ câu đã cho, ta nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
Giải
Với $t=1$ thì ta được câu $1+3=6.$ Câu này là một mệnh đề sai.
Với $t=3$ thì ta được câu $3+3=6.$ Câu này là một mệnh đề đúng.
Chú ý: Các mệnh đề chứa biến thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa kèm theo biến của nó. Chẳng hạn: $P(n)$ là mệnh đề chứa biến $n;$ $Q(x)$ là mệnh đề chứa biến $x;$ …
Câu hỏi 6: Xét mệnh đề chứa biến $R(y):$ “$y>7$”.
Hãy tìm một giá trị của $y$ để $R(y)$ trở thành mệnh đề sai.
Giải
Chọn $y = 6$ thì ta được mệnh đề $R(6):$ “$6>7$. Đây là một mệnh đề sai.