Hiệu của hai tập hợp.
Cho trước hai tập hợp $A$ và $B.$
Tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ được gọi là hiệu của hai tập hợp $A$ và $B,$ ký hiệu là $A\setminus B.$
$A\setminus B=\{x\;|\;x\in A \;và\;x\notin B\}.$
Chẳng hạn, với hai tập hợp $A=\{1;2;3;4\}$ và $B=\{3;4;5\}$ thì $A\setminus B=\{1;2\}$ và $B\setminus A=\{5\}.$
Ví dụ 1: Cho hai tập hợp $X=\{2;5;a;b\}$ và $Y=\{1;2;b;c\}.$ Tìm $X\setminus Y$ và $Y\setminus X.$
Giải: $X\setminus Y=\{5;a\}$ và $Y\setminus X=\{1;c\}.$
Khi làm việc với các tập con của $\mathbb{R}$ (khoảng, đoạn, nửa khoảng), ta nên sử dụng trục số.
Chẳng hạn, mô tả $[-3;2)$ và $[0;3]$ lên trục số sẽ giúp ta tìm được hiệu của chúng.
Vậy $[-3;2)\setminus [0;3]=[-3;0).$
Để ý rằng tập $[0;3]$ có chứa số $0$ nên hiệu $[-3;2)\setminus [0;3]$ không chứa số $0$ (dùng ký hiệu ngoặc tròn tại số $0).$
Ví dụ 2: Xác định tập hợp $(0;3)\setminus (1;5).$
Giải:
Vậy $(0;3)\setminus(1;5)=(0;1].$
Ví dụ 3: Ký hiệu $A$ là tập hợp các học sinh của một trường trung học phổ thông, $B$ là tập hợp các học sinh nữ của trường đó và $C$ là tập hợp các học sinh khối 10 của trường đó. Hãy mô tả các tập hợp $A\setminus C$ và $B\setminus C.$
Giải:
+) $A\setminus C$ là tập hợp các học sinh của trường đó mà không thuộc khối 10 (tức là tập hợp các học sinh thuộc khối 11 và 12).
+) $B\setminus C$ là tập hợp các học sinh nữ của trường đó mà không thuộc khối 10 (tức là tập hợp các học sinh nữ của khối 11 và 12).
Phần bù của tập con.
Trong trường hợp $B$ là tập con của $A$ thì ta gọi $A\setminus B$ là phần bù của $B$ trong $A,$ ký hiệu là $C_A B.$
Vậy $C_A B=A\setminus B$ (khi $B\subset A).$
Chẳng hạn:
+) Với $A=\{2;3;4;9\}$ và $B=\{3;4\}$ thì $B\subset A$ và ta có: $C_A B=A\setminus B=\{2;9\}.$
+) Với $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực và $I$ là tập hợp các số vô tỷ, ta có $I\subset\mathbb{R}.$ Phần bù của $I$ trong $\mathbb{R}$ là tập hợp các số hữu tỷ $\mathbb{Q},$ tức là $C_{\mathbb{R}}I=\mathbb{Q}.$
Ví dụ 4: Cho $X=[1;3).$ Xác định tập hợp $C_{\mathbb{R}}X.$
Hướng dẫn: Minh họa các tập hợp lên trục số.
Giải:
Vậy $C_{\mathbb{R}}X=(-\infty;1)\cup[3;+\infty).$
Bài tập:
1)- Cho hai tập hợp: $A=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$ và $B=\{x\in\mathbb{N}\;|\;12\;\vdots\;x\}.$
a) Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp $B.$
b) Tìm $A\cap B,$ $A\cup B,$ $A\setminus B$ và $B\setminus A.$
2)- Gọi $A,B$ lần lượt là tập nghiệm của phương trình $x^2+2x-3=0$ và phương trình $(3x-5)(x-1)=0.$
a) Xác định các tập hợp $A,B.$
b) Tìm $A\cap B,$ $A\cup B,$ $A\setminus B$ và $B\setminus A.$
3)- Cho hai tập hợp $X=(-1;4)$ và $T=[3;+\infty).$ Xác định các tập hợp $X\cup T,$ $X\cap T,$ $T\setminus X,$ $C_{\mathbb{R}}X$ và $\mathbb{Z}\cap X.$
4)- Gọi $X$ là tập hợp các học sinh của lớp 10E và $A,B$ lần lượt là tập hợp các học sinh thích chơi cầu lông và tập hợp các học sinh thích chơi bóng đá (của lớp 10E).
a) Hãy mô tả các tập hợp: $X\setminus A,$ $X\setminus B,$ $A\cup B,$ $A\cap B.$
b) Xác định tập hợp các học sinh của lớp 10E thích chơi bóng đá nhưng không thích chơi cầu lông.
5)- Cho tập hợp $M.$ Hãy xác định các tập hợp $M\cup\varnothing,$ $M\cap\varnothing,$ $M\setminus\varnothing$ và $\varnothing\setminus M.$
Giải:
1)-
a) $B=\{1;2;3;4;6;12\}$ (là tập hợp các ước của $12).$
b) $A\cap B=\{1;2;3;4;6\},$ $A\cup B=\{1;2;3;4;5;6;7;8;12\},$ $A\setminus B=\{5;7;8\},$ $B\setminus A=\{12\}.$
2)-
a) $A=\{1;-3\},$ $B=\left\{\dfrac{5}{3};1\right\}.$
b) $A\cap B=\{1\},$ $A\cup B=\left\{1;-3;\dfrac{5}{3}\right\},$ $A\setminus B=\{-3\},$ $B\setminus A=\left\{\dfrac{5}{3}\right\}.$
3)- $X\cup T=(-1;+\infty),$ $X\cap T=[3;4),$ $T\setminus X=[4;+\infty),$ $C_{\mathbb{R}}X=(-\infty;-1]\cup [4;+\infty),$ $\mathbb{Z}\cap X=\{0;1;2;3\}.$
4)-
a) $X\setminus A$ là tập hợp các học sinh của lớp 10E nhưng không thích chơi cầu lông.
$X\setminus B$ là tập hợp các học sinh của lớp 10E nhưng không thích chơi bóng đá.
$A\cup B$ là tập hợp các học sinh của lớp 10E thích bóng đá hay cầu lông.
$A\cap B$ là tập hợp các học sinh của lớp 10E vừa thích chơi bóng đá, vừa thích chơi cầu lông.
b) Tập hợp các học sinh của lớp 10E thích chơi bóng đá nhưng không thích chơi cầu lông là $A\B.$
5)- $M\cup\varnothing=M,$ $M\cap\varnothing=\varnothing,$ $M\setminus\varnothing=M$ và $\varnothing\setminus M=\varnothing.$