$\S\;$ 1.2. MỆNH ĐỀ CÓ CHỨA KÝ HIỆU $\forall, \exists.$

Đây là bài số 2 trong tống số 11 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 10 - Cơ bản - 01] MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢPTrong toán học, dùng các từ “với mọi” (ký hiệu là $\forall)$ hay “tồn tại” (ký hiệu là $\exists),$ ta có thể tạo ra các mệnh đề. Chẳng […]

Đây là bài số 2 trong tống số 11 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 10 - Cơ bản - 01] MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP

Trong toán học, dùng các từ “với mọi” (ký hiệu là $\forall)$ hay “tồn tại” (ký hiệu là $\exists),$ ta có thể tạo ra các mệnh đề.

Chẳng hạn:

+) Câu “Mọi số tự nhiên đều chia hết cho $3$” có thể hiểu là “Với mọi số tự nhiên $x,$ $x$ chia hết cho $3$”. Do đó, có thể viết lại dưới dạng ký hiệu là: “$\forall x\in\mathbb{N}, x\;\vdots\;3$”. Đây là một mệnh đề sai.

+) Câu “Có số tự nhiên chia hết cho $3$” có thể hiểu là “Tồn tại số tự nhiên $x,$ $x$ chia hết cho $3$”. Do đó, có thể viết lại dưới dạng ký hiệu là: “$\exists x\in\mathbb{N}, x\;\vdots\;3$”. Đây là một mệnh đề đúng.

Ví dụ 1: Dùng lời văn để diễn đạt lại mỗi câu sau và cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai.

a) $\forall x\in\mathbb{R}, x+2\neq 1.$

b) $\exists n\in\mathbb{N}, n+3\;\vdots\;2.$

Giải:

a) Với mọi số thực $x,$ ta đều có $x+2\neq 1.$

Đây là mệnh đề sai, vì khi $x=-1$ thì $x+2=-1+2=1.$

b) Tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $n+3\;\vdots\;2.$

Đây là mệnh đề đúng, vì khi $n=1$ thì $n+3=1+3=4\;\vdots\;2.$

Ví dụ 2: Viết lại mỗi mệnh đề sau bằng cách dùng ký hiệu $\forall, \exists$ và cho biết mỗi mệnh đề đó đúng hay sai.

a) Tồn tại số thực $x$ sao cho $x^3=-8.$

b) Có một số nguyên mà bình phương của nó bằng $-9.$

c) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn $0.$

d) Với mọi số thực, bình phương của nó đều không âm.

Giải:

a) $\exists x\in\mathbb{R}, x^3=-8.$

Đây là mệnh đề đúng, vì khi $x=-2$ thì $x^3=(-2)^3=-8.$

b) $\exists a\in\mathbb{Z}, a^2=-9.$

Đây là mệnh đề sai, vì bình phương của mọi số nguyên đều lớn hơn hoặc bằng $0,$ mà $-9<0$ nên không có số nguyên $a$ nào để $a^2=-9$ cả.

c) $\forall n\in\mathbb{N}, n>0.$

Đây là mệnh đề sai, vì $n=0$ cũng là số tự nhiên.

d) $\forall x\in\mathbb{R}, x^2\geq 0.$

Đây là mệnh đề đúng.

Chú ý: Với $M$ là một tập hợp và $P(x)$ là một mệnh đề chứa biến $x,$

+) Mệnh đề “$\forall x\in M, P(x)$” đúng khi với bất kỳ $x_0$ thuộc $M$ thì mệnh đề $P(x_0)$ đúng. Mệnh đề “$\forall x\in M, P(x)$” sai khi ta tìm được một $x_0$ thuộc $M$ để $P(x_0)$ sai.

+) Mệnh đề “$\exists x\in M, P(x)$” đúng khi ta tìm được một $x_0$ thuộc $M$ để $P(x_0)$ đúng. Mệnh đề “$\exists x\in M, P(x)$” sai khi với mọi $x$ thuộc $M$ thì $P(x)$ đều sai.

Bài tập:

1)- Dùng ký hiệu $\forall, \exists$ để viết các mệnh đề sau và cho biết mỗi mệnh đề đó đúng hay sai.

a) Có một số nguyên lớn hơn $3.$

b) Mọi số tự nhiên đều chia hết cho $2.$

2)- Phát biểu mỗi mệnh đề sau bằng lời và cho biết nó đúng hay sai.

a) $\forall x\in\mathbb{Z}, 2x\;\vdots\;2.$

b) $\exists a\in\mathbb{R}, 3a+1=5a.$

c) $\exists x\in\mathbb{R}, x^2<0.$

d) $\forall x\in\mathbb{R}, x^2-1=0.$

Giải:

1)-

a) $\exists x\in\mathbb{Z}, x>3.$

Đây là mệnh đề đúng.

b) $\forall x\in\mathbb{N}, x\;\vdots\;2.$

Đây là mệnh đề sai.

2)-

a) Với mọi số nguyên $x,$ ta đều có $2x$ chia hết cho $2.$

Đây là mệnh đề đúng.

b) Tồn tại số thực $a$ sao cho $3a+1=5a.$

Đây là mệnh đề đúng. (Vì phương trình $3a+1=5a$ có nghiệm thực.)

c) Tồn tại số thực $x$ sao cho $x^2<0.$

Đây là mệnh đề sai. (Không có số thực $x$ nào để $x^2<0$ cả.)

d) Với mọi số thực $x,$ ta đều có $x^2-1=0.$

Đây là mệnh đề sai. (Khi $x=2$ thì $x^2-1=2^2-1=3\neq 0.)$

Xem tiếp bài trong cùng Series<< $\S\;$ 1.1. MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN.$\S\;$ 1.3. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH. >>
Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.