$\S\;$ 1.2. MỆNH ĐỀ CÓ CHỨA KÝ HIỆU $\forall, \exists.$

Trong toán học, dùng các từ “với mọi” (ký hiệu là $\forall)$ hay “tồn tại” (ký hiệu là $\exists),$ ta có thể tạo ra các mệnh đề.

Chẳng hạn:

+) Câu “Mọi số tự nhiên đều chia hết cho $3$” có thể hiểu là “Với mọi số tự nhiên $x,$ $x$ chia hết cho $3$”. Do đó, có thể viết lại dưới dạng ký hiệu là: “$\forall x\in\mathbb{N}, x\;\vdots\;3$”. Đây là một mệnh đề sai.

+) Câu “Có số tự nhiên chia hết cho $3$” có thể hiểu là “Tồn tại số tự nhiên $x,$ $x$ chia hết cho $3$”. Do đó, có thể viết lại dưới dạng ký hiệu là: “$\exists x\in\mathbb{N}, x\;\vdots\;3$”. Đây là một mệnh đề đúng.

Chú ý: Với $M$ là một tập hợp và $P(x)$ là một mệnh đề chứa biến $x,$

+) Mệnh đề “$\forall x\in M, P(x)$” đúng khi với bất kỳ $x_0$ thuộc $M$ thì mệnh đề $P(x_0)$ đúng. Mệnh đề “$\forall x\in M, P(x)$” sai khi ta tìm được một $x_0$ thuộc $M$ để $P(x_0)$ sai.

+) Mệnh đề “$\exists x\in M, P(x)$” đúng khi ta tìm được một $x_0$ thuộc $M$ để $P(x_0)$ đúng. Mệnh đề “$\exists x\in M, P(x)$” sai khi với mọi $x$ thuộc $M$ thì $P(x)$ đều sai.

Bài tập:

1)- Dùng ký hiệu $\forall, \exists$ để viết các mệnh đề sau và cho biết mỗi mệnh đề đó đúng hay sai.

a) Có một số nguyên lớn hơn $3.$

b) Mọi số tự nhiên đều chia hết cho $2.$

2)- Phát biểu mỗi mệnh đề sau bằng lời và cho biết nó đúng hay sai.

a) $\forall x\in\mathbb{Z}, 2x\;\vdots\;2.$

b) $\exists a\in\mathbb{R}, 3a+1=5a.$

c) $\exists x\in\mathbb{R}, x^2<0.$

d) $\forall x\in\mathbb{R}, x^2-1=0.$

Giải:

1)-

a) $\exists x\in\mathbb{Z}, x>3.$

Đây là mệnh đề đúng.

b) $\forall x\in\mathbb{N}, x\;\vdots\;2.$

Đây là mệnh đề sai.

2)-

a) Với mọi số nguyên $x,$ ta đều có $2x$ chia hết cho $2.$

Đây là mệnh đề đúng.

b) Tồn tại số thực $a$ sao cho $3a+1=5a.$

Đây là mệnh đề đúng. (Vì phương trình $3a+1=5a$ có nghiệm thực.)

c) Tồn tại số thực $x$ sao cho $x^2<0.$

Đây là mệnh đề sai. (Không có số thực $x$ nào để $x^2<0$ cả.)

d) Với mọi số thực $x,$ ta đều có $x^2-1=0.$

Đây là mệnh đề sai. (Khi $x=2$ thì $x^2-1=2^2-1=3\neq 0.)$