$\S\;$ 1.3. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH.

Mệnh đề phủ định.

Cho trước một mệnh đề $P,$ luôn có một mệnh đề $\overline{P}$ có tính đúng – sai trái ngược với $P$ (nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai; nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng). Mệnh đề $\overline{P}$ như vậy được gọi là mệnh đề phủ định của $P$ (gọi tắt là phủ định của $P).$

Chẳng hạn:

+) Cho mệnh đề $P:$ “$35$ chia hết cho $5$”. Mệnh đề phủ định của $P$ là $\overline{P}:$ “$35$ không chia hết cho $5$”.

+) Cho mệnh đề $Q:$ “$15$ không phải là số tự nhiên chẵn”. Mệnh đề phủ định của $Q$ là $\overline{Q}:$ “$15$ là số tự nhiên chẵn.

Nhận xét: Để lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề (gọi là phủ định mệnh đề), người ta thường thêm hoặc bớt từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

Chú ý: Ngoài cách thêm (bớt) từ “không” hoặc “không phải” để phủ định mệnh đề như trên, ta còn có một số cách phủ định đặc biệt sau:

+) Phủ định của $>$ là $\leq.$ Phủ định của $<$ là $\geq.$

+) Phủ định của $=$ là $\neq.$

+) Phủ định của “có nghiệm” là “vô nghiệm” (hoặc “không có nghiệm”.)

Cách phủ định mệnh đề có chứa $\forall, \exists.$

Phủ định của mệnh đề $”\forall x\in M, P(x)”$ là mệnh đề $”\exists x\in M, \overline{P(x)}”.$

Phủ định của mệnh đề $”\exists x\in M, P(x)”$ là mệnh đề $”\forall x\in M, \overline{P(x)}”.$

Chẳng hạn:

+) Phủ định của mệnh đề $”\forall x\in\mathbb{R}, |x|\geq x”$ là mệnh đề: $”\exists x\in\mathbb{R}, |x|<x”.$

+) Phủ định của mệnh đề $”\exists x\in\mathbb{R}, x^2+1=0″$ là mệnh đề: $”\forall x\in\mathbb{R}, x^2+1\neq 0″.$

Bài tập:

1)- Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

$P:$ “$\pi$ là một số hữu tỷ”.

$Q:$ “Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại”.

$R:$ “Phương trình $x+2=x^2$ vô nghiệm”.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề trên và các mệnh đề phủ định của chúng.

2)- Cho $x\in\mathbb{R}.$ Hãy phủ định các mệnh đề sau:

a) $x\leq 3.$

b) $x^2+5=3x.$

3)- Sử dụng ký hiệu $\forall, \exists$ để viết lại các mệnh đề sau, rồi dựa vào đó để lập mệnh đề phủ định của chúng.

$P:$ “Bình phương của mọi số thực đều không âm”.

$Q:$ “Có một số tự nhiên $n$ sao cho $2n=1$”.

$R:$ “Mọi số tự nhiên đều chia hết cho chính nó”.

Cho biết mỗi mệnh đề phủ định vừa lập là mệnh đề đúng hay sai?

4)- Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

a) Mọi động vật đều di chuyển được.

b) Có một học sinh của lớp không thích học môn Toán.

c) Mọi tam giác đều có ba cạnh.

Giải:

1)-

+) $P:$ “$\pi$ là một số hữu tỷ” có mệnh đề phủ định là: $\overline{P}:$ “$\pi$ không phải là một số hữu tỷ”.

$P$ là mệnh đề sai, $\overline{P}$ là mệnh đề đúng.

+) $Q:$ “Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại” có mệnh đề phủ định là: $\overline{Q}:$ “Tổng hai cạnh của một tam giác không lớn hơn cạnh còn lại”.

$Q$ là mệnh đề đúng, $\overline{Q}$ là mệnh đề sai.

+) $R:$ “Phương trình $x+2=x^2$ vô nghiệm” có mệnh đề phủ định là: $\overline{R}:$ “Phương trình $x+2=x^2$ có nghiệm”.

$R$ là mệnh đề sai, $\overline{R}$ là mệnh đề đúng.

2)-

a) Mệnh đề $x\leq 3$ có mệnh đề phủ định là: $x>3.$

b) Mệnh đề $x^2+5=3x$ có mệnh đề phủ định là: $x^2+5\neq 3x.$

3)-

+) $P: “\forall x\in\mathbb{R}, x^2\geq 0″$ có mệnh đề phủ định là: $\overline{P}: “\exists x\in\mathbb{R}, x^2<0”.$

Ta thấy rằng $P$ đúng, nên $\overline{P}$ sai.

+) $Q: “\exists n\in\mathbb{N}, 2n=1$ có mệnh đề phủ định là: $\overline{Q}: “\forall n\in\mathbb{N}, 2n\neq 1”.$

Ta thấy rằng $Q$ sai, nên $\overline{Q}$ đúng.

+) $R: “\forall n\in\mathbb{N}, n\;\vdots\;n$ có mệnh đề phủ định là: $\overline{R}: “\exists n\in\mathbb{N}, n\not{\vdots}n”.$

Ta thấy rằng $R$ đúng, nên $\overline{R}$ sai.

4)- Mệnh đề phủ định của các mệnh đề đã cho là:

a) Có một động vật không di chuyển được.

b) Mọi học sinh của lớp đều thích học môn toán.

c) Tồn tại tam giác không có ba cạnh.