$\S\;$ 1.4. MỆNH ĐỀ KÉO THEO.

Mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q.$

Với $P,Q$ là hai mệnh đề cho trước thì phát biểu “Nếu $P$ thì $Q$” cũng là một mệnh đề, được gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu là $P\Rightarrow Q.$

Chẳng hạn, với hai mệnh đề: $P:$ “Gió mùa đông bắc về” và $Q:$ “Trời trở lạnh”, ta lập được mệnh đề kéo theo: $P\Rightarrow Q:$ “Nếu gió mùa đông bắc về thì trời trở lạnh”.

Chú ý: Tùy theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là: “Vì $P$ nên $Q$”; hay “$P$ kéo theo $Q$”; hay “$P$ suy ra $Q$”; …

Chẳng hạn, câu “Vì trời mưa nên đường ướt” là một mệnh đề kéo theo, với $P:$ “Trời mưa”, và $Q:$ “Đường ướt”.

Tính đúng – sai của mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q.$

Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai. Nó đúng trong các trường hợp còn lại.

Cụ thể như sau:

• Nếu $P$ đúng và $Q$ đúng thì $P\Rightarrow Q$ đúng.
• Nếu $P$ đúng và $Q$ sai thì $P\Rightarrow Q$ sai.
• Nếu $P$ sai thì $P\Rightarrow Q$ luôn đúng (bất kể $Q$ đúng hay sai).

Chẳng hạn, xét các mệnh đề $P:$ “$50$ chia hết cho $10$” và $Q:$ “$50$ chia hết cho $5$”. Ta thấy cả $P$ và $Q$ đều đúng, nên $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng. Vậy mệnh đề $P\Rightarrow Q:$ “Vì $50$ chia hết cho $10$ nên $50$ chia hết cho $5$” là mệnh đề đúng.

Định lý.

Trong toán học, các định lý là các mệnh đề đúng. Chúng thường được phát biểu dưới dạng “Nếu $P$ thì $Q$” hay $P\Rightarrow Q.$

Khi $P\Rightarrow Q$ là một định lý, ta nói:

+) $P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận của định lý;

+) $P$ là điều kiện đủ để có $Q;$

+) $Q$ là điều kiện cần để có $P.$

Chẳng hạn, với $n$ là số tự nhiên, ta có định lý: “Nếu $n$ chia hết cho $12$ thì $n$ chia hết cho $6$”. Khi đó, ta nói:

+) “$n$ chia hết cho $12$” là giả thiết, “$n$ chia hết cho $6$” là kết luận của định lý;

+) “$n$ chia hết cho $12$” là điều kiện đủ để “$n$ chia hết cho $6$”;

+) “$n$ chia hết cho $6$” là điều kiện cần để “$n$ chia hết cho $12$”.

Bài tập:

1)- Viết lại mỗi mệnh đề sau thành dạng $P\Rightarrow Q$ rồi dựa vào đó để xét tính đúng sai của nó:

a) Nếu $5$ là số tự nhiên thì $5$ không âm.

b) Vì $1+3=0$ nên $3<0.$

c) Vì $1+2=3$ nên $2>3.$

d) Nếu hình vuông có $5$ cạnh thì tam giác có $7$ đỉnh.

2)- Với $a,b,c$ là các số tự nhiên, xét các mệnh đề:

$P:$ “$a$ và $b$ đều chia hết cho $c$”.

$Q:$ “$a+b$ chia hết cho $c$”.

a) Hãy phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q.$

b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ có phải là một định lý không?

Giải:

1)-

a) “$5$ là số tự nhiên” $\Rightarrow$ “$5$ không âm”.

Mệnh đề này đúng vì các mệnh đề “$5$ là số tự nhiên” và “$5$ không âm” đều đúng.

b) “$1+3=0$” $\Rightarrow$ “$3<0$”.

Mệnh đề này đúng vì “$1+3=0$” là mệnh đề sai.

c) “$1+2=3$” $\Rightarrow$ “$2>3$”.

Mệnh đề này sai vì mệnh đề “$1+2=3$” đúng và mệnh đề “$2>3$” sai.

d) “hình vuông có $5$ cạnh” $\Rightarrow$ “tam giác có $7$ đỉnh”.

Mệnh đề này đúng vì “hình vuông có $5$ cạnh” là mệnh đề sai.

2)-

$P:$ “$a$ và $b$ đều chia hết cho $c$”.

$Q:$ “$a+b$ chia hết cho $c$”.

a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu $a$ và $b$ đều chia hết cho $c$ thì $a+b$ chia hết cho $c$”.

b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng nên là một định lý.