$\S\;$ 1.4. MỆNH ĐỀ KÉO THEO.

Đây là bài số 4 trong tống số 11 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 10 - Cơ bản - 01] MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢPMệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q.$ Với $P,Q$ là hai mệnh đề cho trước thì phát biểu “Nếu $P$ thì $Q$” cũng là một mệnh đề, được gọi […]

Đây là bài số 4 trong tống số 11 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 10 - Cơ bản - 01] MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP

Mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q.$

Với $P,Q$ là hai mệnh đề cho trước thì phát biểu “Nếu $P$ thì $Q$” cũng là một mệnh đề, được gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu là $P\Rightarrow Q.$

Chẳng hạn, với hai mệnh đề: $P:$ “Gió mùa đông bắc về” và $Q:$ “Trời trở lạnh”, ta lập được mệnh đề kéo theo: $P\Rightarrow Q:$ “Nếu gió mùa đông bắc về thì trời trở lạnh”.

Ví dụ 1: Cho số tự nhiên $n.$ Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q,$ biết:

$P:$ “$n$ chia hết cho $10$”;

$Q:$ “$n$ chia hết cho $5$”.

Giải: $P\Rightarrow Q:$ “Nếu $n$ chia hết cho $10$ thì $n$ chia hết cho $5$”.

Chú ý: Tùy theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là: “Vì $P$ nên $Q$”; hay “$P$ kéo theo $Q$”; hay “$P$ suy ra $Q$”; …

Chẳng hạn, câu “Vì trời mưa nên đường ướt” là một mệnh đề kéo theo, với $P:$ “Trời mưa”, và $Q:$ “Đường ướt”.

Tính đúng – sai của mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q.$

Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai. Nó đúng trong các trường hợp còn lại.

Cụ thể như sau:

  • Nếu $P$ đúng và $Q$ đúng thì $P\Rightarrow Q$ đúng.
  • Nếu $P$ đúng và $Q$ sai thì $P\Rightarrow Q$ sai.
  • Nếu $P$ sai thì $P\Rightarrow Q$ luôn đúng (bất kể $Q$ đúng hay sai).

Chẳng hạn, xét các mệnh đề $P:$ “$50$ chia hết cho $10$” và $Q:$ “$50$ chia hết cho $5$”. Ta thấy cả $P$ và $Q$ đều đúng, nên $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng. Vậy mệnh đề $P\Rightarrow Q:$ “Vì $50$ chia hết cho $10$ nên $50$ chia hết cho $5$” là mệnh đề đúng.

Ví dụ 2: Mỗi mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Nếu $30$ là số tự nhiên chẵn thì $30$ chia hết cho $4.$

b) Nếu $1+1=3$ thì xe đạp có thể bay được.

Giải:

a) Mệnh đề đã cho có dạng mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q,$ với $P:$ “$30$ là số tự nhiên chẵn”, và $Q:$ “$30$ chia hết cho $4$”.

Ta thấy $P$ đúng và $Q$ sai, nên $P\Rightarrow Q$ sai.

Vậy mệnh đề “Nếu $30$ là số tự nhiên chẵn thì $30$ chia hết cho $4$” là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề đã cho có dạng mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q,$ với $P: “1+1+=3”,$ và $Q:$ “Xe đạp có thể bay được”.

Ta thấy $P$ sai nên $P\Rightarrow Q$ đúng (mà không cần xét đến $Q).$

Vậy mệnh đề “Nếu $1+1=3$ thì xe đạp có thể bay được” là mệnh đề đúng.

Định lý.

Trong toán học, các định lý là các mệnh đề đúng. Chúng thường được phát biểu dưới dạng “Nếu $P$ thì $Q$” hay $P\Rightarrow Q.$

Khi $P\Rightarrow Q$ là một định lý, ta nói:

+) $P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận của định lý;

+) $P$ là điều kiện đủ để có $Q;$

+) $Q$ là điều kiện cần để có $P.$

Chẳng hạn, với $n$ là số tự nhiên, ta có định lý: “Nếu $n$ chia hết cho $12$ thì $n$ chia hết cho $6$”. Khi đó, ta nói:

+) “$n$ chia hết cho $12$” là giả thiết, “$n$ chia hết cho $6$” là kết luận của định lý;

+) “$n$ chia hết cho $12$” là điều kiện đủ để “$n$ chia hết cho $6$”;

+) “$n$ chia hết cho $6$” là điều kiện cần để “$n$ chia hết cho $12$”.

Ví dụ 3: Với $n$ là số tự nhiên, xét hai mệnh đề:

$P:$ “$n$ có chữ số tận cùng là $0$”;

$Q:$ “$n$ chia hết cho $5$”.

a) Hãy phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q.$

b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ có phải là một định lý không? Nếu phải, hãy sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu lại định lý này theo hai cách khác nhau.

Giải:

a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu $n$ có chữ số tận cùng là $0$ thì $n$ chia hết cho $5$”.

b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng nên nó là một định lý. Ta phát biểu lại định lý này bằng hai cách là:

+) “$n$ có chữ số tận cùng là $0$” là điều kiện đủ để “$n$ chia hết cho $5$”.

+) “$n$ chia hết cho $5$” là điều kiện cần để “$n$ có chữ số tận cùng là $0$”.

Bài tập:

1)- Viết lại mỗi mệnh đề sau thành dạng $P\Rightarrow Q$ rồi dựa vào đó để xét tính đúng sai của nó:

a) Nếu $5$ là số tự nhiên thì $5$ không âm.

b) Vì $1+3=0$ nên $3<0.$

c) Vì $1+2=3$ nên $2>3.$

d) Nếu hình vuông có $5$ cạnh thì tam giác có $7$ đỉnh.

2)- Với $a,b,c$ là các số tự nhiên, xét các mệnh đề:

$P:$ “$a$ và $b$ đều chia hết cho $c$”.

$Q:$ “$a+b$ chia hết cho $c$”.

a) Hãy phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q.$

b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ có phải là một định lý không?

Giải:

1)-

a) “$5$ là số tự nhiên” $\Rightarrow$ “$5$ không âm”.

Mệnh đề này đúng vì các mệnh đề “$5$ là số tự nhiên” và “$5$ không âm” đều đúng.

b) “$1+3=0$” $\Rightarrow$ “$3<0$”.

Mệnh đề này đúng vì “$1+3=0$” là mệnh đề sai.

c) “$1+2=3$” $\Rightarrow$ “$2>3$”.

Mệnh đề này sai vì mệnh đề “$1+2=3$” đúng và mệnh đề “$2>3$” sai.

d) “hình vuông có $5$ cạnh” $\Rightarrow$ “tam giác có $7$ đỉnh”.

Mệnh đề này đúng vì “hình vuông có $5$ cạnh” là mệnh đề sai.

2)-

$P:$ “$a$ và $b$ đều chia hết cho $c$”.

$Q:$ “$a+b$ chia hết cho $c$”.

a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu $a$ và $b$ đều chia hết cho $c$ thì $a+b$ chia hết cho $c$”.

b) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng nên là một định lý.

Xem tiếp bài trong cùng Series<< $\S\;$ 1.3. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH.$\S\;$ 1.5. MỆNH ĐỀ ĐẢO. HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG. >>
Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.