$\S\;$ 1.5. MỆNH ĐỀ ĐẢO. HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG.

Đây là bài số 5 trong tống số 11 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 10 - Cơ bản - 01] MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢPMệnh đề đảo. Cho trước mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q.$ Mệnh đề đảo của nó là mệnh đề $Q\Rightarrow P.$ Chẳng hạn, mệnh đề “Vì $12$ chia […]

Đây là bài số 5 trong tống số 11 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 10 - Cơ bản - 01] MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP

Mệnh đề đảo.

Cho trước mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q.$ Mệnh đề đảo của nó là mệnh đề $Q\Rightarrow P.$

Chẳng hạn, mệnh đề “Vì $12$ chia hết cho $6$ nên $12$ chia hết cho $2$” có mệnh đề đảo là “Vì $12$ chia hết cho $2$ nên $12$ chia hết cho $6$”.

Lưu ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là mệnh đề đúng.

Ví dụ 1: Xét hai mệnh đề $P: “1>3″$ và $Q: “1+3=4”.$

a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và cho biết nó đúng hay sai?

b) Phát biểu mệnh đề $Q\Rightarrow P$ và cho biết nó đúng hay sai?

Giải:

a) $P\Rightarrow Q:$ “Vì $1>3$ nên $1+3=4$”.

Do $P$ sai nên $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng.

b) $Q\Rightarrow P:$ “Vì $1+3=4$ nên $1>3$”.

Do $Q$ đúng và $P$ sai nên $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề sai.

Hai mệnh đề tương đương.

Hai mệnh đề $P$ và $Q$ được gọi là hai mệnh đề tương đương nếu cả $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều là mệnh đề đúng (muốn vậy thì $P,Q$ phải cùng đúng hoặc cùng sai).

Khi $P,Q$ là hai mệnh đề tương đương, ta còn nói $P$ tương đương $Q,$ ký hiệu là $P\Leftrightarrow Q.$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC.$ Hai mệnh đề sau có phải là hai mệnh đề tương đương không?

$P:$ “Tam giác $ABC$ vuông tại $A$”.

$Q:$ “$AB^2+AC^2=BC^2$”.

Giải:

Theo định lý Pythagore, cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng. Do đó, $P,Q$ là hai mệnh đề tương đương.

Phát biểu “$P,Q$ là hai mệnh đề tương đương” còn có thể diễn đạt bằng các cách khác là:

+) $P$ tương đương $Q$,

+) $P$ nếu và chỉ nếu $Q$,

+) $P$ khi và chỉ khi $Q$,

+) $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q.$

Chẳng hạn, “Tam giác $ABC$ có ba cạnh bằng nhau là điều kiện cần và đủ để tam giác $ABC$ là tam giác đều”.

Ví dụ 3: Cho $n$ là số tự nhiên. Xét hai mệnh đề:

$P:$ “$n$ chia hết cho $2$”;

$Q:$ “$n$ có chữ số tận cùng là một trong các chữ số $0;2;4;6;8$”.

a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó.

b) $P,Q$ có phải là hai mệnh đề tương đương không? Nếu phải, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lý $P\Leftrightarrow Q$ theo hai cách khác nhau.

Giải:

a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu $n$ chia hết cho $2$ thì $n$ có chữ số tận cùng là một trong các chữ số $0;2;4;6;8$”.

$Q\Rightarrow Q:$ “Nếu $n$ có chữ số tận cùng là một trong các chữ số $0;2;4;6;8$ thì $n$ chia hết cho $2$”.$

b) Hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng nên $P,Q$ là hai mệnh đề tương đương. Ta có thể phát biểu $P\Leftrightarrow Q$ theo hai cách khác nhau là:

+) Điều kiện cần và đủ để $n$ chia hết cho $2$ là $n$ có chữ số tận cùng là một trong các chữ số $0;2;4;6;8.$

+) $n$ chia hết cho $2$ khi và chỉ khi $n$ có chữ số tận cùng là một trong các chữ số $0;2;4;6;8.$

Bài tập:

1)- Xét các mệnh đề: $P: “30\;\vdots \;10″$ và $Q: “30\;\vdots\;7”.$

a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó. Cho biết mỗi mệnh đề đó đúng hay sai.

b) $P, Q$ có phải là hai mệnh đề tương đương không?

2)- Cho số thực $x.$ Xét hai mệnh đề: $”x>1″$ và $”x-1>0″.$ Chúng có phải là hai mệnh đề tương đương không?

Giải:

1)-

a) $P\Rightarrow Q:$ “Vì $30\;\vdots\;10$ nên $30\;\vdots\;7$”.

Mệnh đề đảo là $Q\Rightarrow P:$ “Vì $30\;\vdots\;7$ nên $30\;\vdots\;10$”.

Do $P$ đúng và $Q$ sai nên $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề sai; $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề đúng.

b) Vì $Q\Rightarrow P$ sai nên $P,Q$ không phải là hai mệnh đề tương đương.

2)- Với $x$ là số thực bất kỳ thì hai mệnh đề $”x>1″$ và $”x-1>0″$ cùng đúng hoặc cùng sai. Do đó, hai mệnh đề đã cho là hai mệnh đề tương đương.

Xem tiếp bài trong cùng Series<< $\S\;$ 1.4. MỆNH ĐỀ KÉO THEO.$\S\;$ 1.6. TẬP HỢP. >>
Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.