$\S\;$ 1.5. MỆNH ĐỀ ĐẢO. HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG.
Mệnh đề đảo.
Cho trước mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q.$ Mệnh đề đảo của nó là mệnh đề $Q\Rightarrow P.$
Chẳng hạn, mệnh đề “Vì $12$ chia hết cho $6$ nên $12$ chia hết cho $2$” có mệnh đề đảo là “Vì $12$ chia hết cho $2$ nên $12$ chia hết cho $6$”.
Lưu ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là mệnh đề đúng.
Ví dụ 1: Xét hai mệnh đề $P: “1>3″$ và $Q: “1+3=4”.$
a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và cho biết nó đúng hay sai?
b) Phát biểu mệnh đề $Q\Rightarrow P$ và cho biết nó đúng hay sai?
Giải:
a) $P\Rightarrow Q:$ “Vì $1>3$ nên $1+3=4$”.
Do $P$ sai nên $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng.
b) $Q\Rightarrow P:$ “Vì $1+3=4$ nên $1>3$”.
Do $Q$ đúng và $P$ sai nên $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề sai.
Hai mệnh đề tương đương.
Hai mệnh đề $P$ và $Q$ được gọi là hai mệnh đề tương đương nếu cả $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều là mệnh đề đúng (muốn vậy thì $P,Q$ phải cùng đúng hoặc cùng sai).
Khi $P,Q$ là hai mệnh đề tương đương, ta còn nói $P$ tương đương $Q,$ ký hiệu là $P\Leftrightarrow Q.$
Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC.$ Hai mệnh đề sau có phải là hai mệnh đề tương đương không?
$P:$ “Tam giác $ABC$ vuông tại $A$”.
$Q:$ “$AB^2+AC^2=BC^2$”.
Giải:
Theo định lý Pythagore, cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng. Do đó, $P,Q$ là hai mệnh đề tương đương.
Phát biểu “$P,Q$ là hai mệnh đề tương đương” còn có thể diễn đạt bằng các cách khác là:
+) $P$ tương đương $Q$,
+) $P$ nếu và chỉ nếu $Q$,
+) $P$ khi và chỉ khi $Q$,
+) $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q.$
Chẳng hạn, “Tam giác $ABC$ có ba cạnh bằng nhau là điều kiện cần và đủ để tam giác $ABC$ là tam giác đều”.
Ví dụ 3: Cho $n$ là số tự nhiên. Xét hai mệnh đề:
$P:$ “$n$ chia hết cho $2$”;
$Q:$ “$n$ có chữ số tận cùng là một trong các chữ số $0;2;4;6;8$”.
a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó.
b) $P,Q$ có phải là hai mệnh đề tương đương không? Nếu phải, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lý $P\Leftrightarrow Q$ theo hai cách khác nhau.
Giải:
a) $P\Rightarrow Q:$ “Nếu $n$ chia hết cho $2$ thì $n$ có chữ số tận cùng là một trong các chữ số $0;2;4;6;8$”.
$Q\Rightarrow Q:$ “Nếu $n$ có chữ số tận cùng là một trong các chữ số $0;2;4;6;8$ thì $n$ chia hết cho $2$”.$
b) Hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng nên $P,Q$ là hai mệnh đề tương đương. Ta có thể phát biểu $P\Leftrightarrow Q$ theo hai cách khác nhau là:
+) Điều kiện cần và đủ để $n$ chia hết cho $2$ là $n$ có chữ số tận cùng là một trong các chữ số $0;2;4;6;8.$
+) $n$ chia hết cho $2$ khi và chỉ khi $n$ có chữ số tận cùng là một trong các chữ số $0;2;4;6;8.$
Bài tập:
1)- Xét các mệnh đề: $P: “30\;\vdots \;10″$ và $Q: “30\;\vdots\;7”.$
a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó. Cho biết mỗi mệnh đề đó đúng hay sai.
b) $P, Q$ có phải là hai mệnh đề tương đương không?
2)- Cho số thực $x.$ Xét hai mệnh đề: $”x>1″$ và $”x-1>0″.$ Chúng có phải là hai mệnh đề tương đương không?
Giải:
1)-
a) $P\Rightarrow Q:$ “Vì $30\;\vdots\;10$ nên $30\;\vdots\;7$”.
Mệnh đề đảo là $Q\Rightarrow P:$ “Vì $30\;\vdots\;7$ nên $30\;\vdots\;10$”.
Do $P$ đúng và $Q$ sai nên $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề sai; $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề đúng.
b) Vì $Q\Rightarrow P$ sai nên $P,Q$ không phải là hai mệnh đề tương đương.
2)- Với $x$ là số thực bất kỳ thì hai mệnh đề $”x>1″$ và $”x-1>0″$ cùng đúng hoặc cùng sai. Do đó, hai mệnh đề đã cho là hai mệnh đề tương đương.
![[Đọc và tải pdf] Sách giáo viên Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống.](https://pphoc.com/wp-content/uploads/2023/09/sgvcdht-t10-kntt-800x450.png)
![[Đọc và tải pdf] Sách giáo viên Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống.](https://pphoc.com/wp-content/uploads/2023/09/sgv-t10-kntt-800x450.png)
![[Đọc và tải pdf] Sách Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống.](https://pphoc.com/wp-content/uploads/2023/09/cdht-t10-kntt-800x438.png)
![[Đọc và tải pdf] Sách bài tập Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống (tập 2).](https://pphoc.com/wp-content/uploads/2023/09/sbt-t10-kntt-t2-800x450.png)
![[Đọc và tải pdf] Sách bài tập Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống (tập 1).](https://pphoc.com/wp-content/uploads/2023/09/sbt-t10-kntt-t1-800x450.png)