$\S\;$ 1.7. TẬP HỢP CON. HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU.

Chia sẻ nếu thấy hay:

Đây là bài số 7 trong tống số 11 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 10 - Cơ bản - 01] MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP

Tập hợp con.

Nếu mọi phần tử của tập hợp $A$ đều thuộc tập hợp $B$ thì ta nói $A$ là tập hợp con (hay tập con) của $B,$ ký hiệu là $A\subset B$ (đọc là “$A$ chứa trong $B$”).

Quy ước: Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

Ví dụ 1: Xét các tập hợp: $M=\{1;2;3\},$ $N=\{1;2;3;a;b\},$ $P=\{1;a;b\}.$

Hãy giải thích vì sao $M$ là tập con của $N;$ không phải là tập con của $P.$

Giải:

+) Mọi phần tử của $M$ (là $1;2;3)$ đều thuộc $N$ nên $M$ là tập con của $N,$ ký hiệu là $M\subset N.$

+) Tập hợp $M$ có chứa phần tử không thuộc $P$ (chẳng hạn, $2$ thuộc $M$ nhưng không thuộc $P).$ Do đó, $M$ không phải là tập con của $P.$

Mẹo:

+) Nếu mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$ thì $A$ là tập con của $B.$

+) Nếu ta tìm được một phần tử của $A$ mà không thuộc $B$ thì $A$ không phải là tập con của $B.$

Ví dụ 2: Cho hai tập hợp $X=\{2;5\}$ và $Y=\{x\in\mathbb{R}\;|\;x>1\}.$ Chứng minh rằng $X\subset Y.$

Giải:

Ta có:

+) $2 > 1$ nên $2\in Y.$

+) $5 > 1$ nên $5\in Y.$

Mọi phần tử của $X$ đều thuộc $Y$ nên $X$ là tập con của $Y,$ tức là $X\subset Y.$

Chú ý:

+) Nếu $A$ là tập con của $B,$ ngoài cách viết $A\subset B,$ ta có thể viết $B\supset A$ (đọc là “$B$ chứa $A$”).

+) Nếu $A$ không là tập con của $B,$ ta viết $A \not \subset B.$

+) Mối quan hệ giữa các tập hợp số quen thuộc: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$

Hai tập hợp bằng nhau.

Hai tập hợp $A,B$ được gọi là bằng nhau nếu mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$ và mọi phần tử của $B$ đều thuộc $A.$

Theo đó, khi $A\subset B$ và $B\subset A$ thì $A,B$ là hai tập hợp bằng nhau, ký hiệu là $A=B.$

Chẳng hạn, $\{1;2;3\}=\{3;2;1\}.$

Chú ý: Nếu $A=X$ và $B=X$ thì $A=B$ (với $A,B,X$ là các tập hợp).

Ví dụ 3: Cho hai tập hợp $M=\{x\in\mathbb{R}\;|\;x^2=4\}$ và $N=\{x\in\mathbb{R}\;|\;|x|=2\}.$ Chứng minh rằng $M=N.$

Giải:

Ta thấy:

+) $M$ là tập nghiệm của phương trình $x^2=4$ nên $M=\{-2;2\}.$

+) $N$ là tập nghiệm của phương trình $|x|=2$ nên $N=\{-2;2\}.$

Vậy $M=N=\{-2;2\}.$

Bài tập:

1)- Cho tập hợp $S=\{2;4;6\}.$ Những tập hợp nào sau đây là tập con của $S?$

$S_1=\{2\};$ $S_2=\{4;6\};$ $S_3=\{2;3;4\}.$

2)- Cho $X$ là một tập hợp và $\varnothing$ là tập hợp rỗng. Mỗi phát biểu sau đây đúng hay sai?

a) $\varnothing \in X.$

b) $\varnothing\subset X.$

c) $X\subset X.$

3)- Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp $X=\{a;b;c\}.$

4)- Gọi $A$ là tập hợp các tam giác có ba cạnh bằng nhau và $B$ là tập hợp các tam giác có ba góc bằng nhau. Hai tập hợp $A$ và $B$ có bằng nhau không? Vì sao?

5)- Cho hai tập hợp $A=\{x\in\mathbb{N}\;|\;0<x<3\}$ và $B=\{x\in\mathbb{N}\;|\;2\;\vdots\;x\}.$ Hai tập hợp $A$ và $B$ có bằng nhau không? Vì sao?

6)- Gọi $A$ là tập hợp các hình thoi, $B$ là tập hợp các hình vuông. Trong hai tập hợp $A,B,$ tập nào là tập con của tập còn lại? Chúng có bằng nhau không?

Giải:

1)- $S_1\subset S;$ $S_2\subset S;$ $S_3 \not \subset S.$

2)-

a) SAI. Vì $\varnothing$ là tập hợp chứ không phải phần tử nên không thể dùng ký hiệu $\in$ được.

b) ĐÚNG. Vì tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

c) Đúng. Vì mọi phần tử của $X$ thì hiển nhiên thuộc $X.$

3)- Tất cả các tập hợp con của tập hợp $X=\{a;b;c\}$ là: $X_0=\varnothing,$ $X_1=\{a\},$ $X_2=\{b\},$ $X_3=\{c\},$ $X_4=\{a;b\},$ $X_5=\{a,c\},$ $X_6=\{b;c\},$ $X_7=\{a;b;c\}.$

4)- Hai tập hợp $A,B$ bằng nhau vì đều bằng tập hợp các tam giác đều.

5)- Ta có $A=\{x\in\mathbb{N}\;|\;0 < x < 3\}=\{1;2\}$ và $B=\{x\in\mathbb{N}\;|\;2\;\vdots\;x\}=\{1;2\}.$ Suy ra $A=B=\{1;2\}.$

6)- Vì mọi hình vuông đều là hình thoi nên $B\subset A.$

Tuy nhiên, có những hình thoi không phải là hình vuông nên $B\not \subset A.$ Do đó, $A,B$ không phải là hai tập hợp bằng nhau. (Khi đó, ta có thể viết $A\neq B).$

Xem tiếp bài trong cùng Series<< $\S\;$ 1.6. TẬP HỢP.$\S\;$ 1.8. CÁC TẬP CON THƯỜNG DÙNG CỦA $\mathbb{R}.$ >>

Chia sẻ nếu thấy hay:

Bài học Toán 10