$\S\;$ 1.9. HỢP, GIAO CỦA HAI TẬP HỢP.

Hợp, giao của hai tập hợp.

Cho trước hai tập hợp $A$ và $B.$

Giao của hai tập hợp: Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp $A$ và $B$ được gọi là giao của hai tập hợp $A$ và $B,$ ký hiệu là $A\cap B.$

$A\cap B=\{x\;|\;x\in A \;và\;x\in B\}.$

Hợp của hai tập hợp: Tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ hay thuộc $B$ được gọi là hợp của hai tập hợp $A$ và $B,$ ký hiệu $A\cup B.$

$A\cup B=\{x\;|\;x\in A \;hay\;x\in B\}.$

Chẳng hạn, với $A=\{0;2;5;7\}$ và $B=\{1;2;3;5\}$ thì giao của hai tập hợp đó là $A\cap B=\{2;5\},$ và hợp của hai tập hợp đó là $A\cup B=\{0;1;2;3;5;7\}.$

Lưu ý: Với mọi tập hợp $A,B,$ ta luôn có:

• $A\cap B=B\cap A$ và $A\cup B=B\cup A.$
• $\varnothing \cap A=\varnothing$ và $\varnothing \cup A=A.$

Cách tìm hợp, giao của các tập con của $\mathbb{R}$ (đoạn, khoảng, nửa khoảng).

Ta thường sử dụng trục số để tìm hợp, giao của các tập con của $\mathbb{R}.$

Chẳng hạn, xét hai tập hợp $[1;4]$ và $(2;+\infty).$ Mô tả chúng trên trục số:

Theo đó, ta được $A\cap B=(2;4]$ và $A\cup B=[1;+\infty).$

Ví dụ 4: Tìm hợp, giao của $[-1;3]$ và $(-2;2).$

Giải:

Vậy $[-1;3]\cap(-2;2)=[-1;2)$ và $[-1;3]\cup(-2;2)=(-2;3].$

Bài tập:

1)- Tìm $A\cap B$ và $A\cup B,$ biết rằng: $A=\{0;2;4;6;8\}$ và $B=\{1;3;6;9\}.$

2)- Tìm hợp và giao của mỗi cặp tập hợp sau:

a) $(-2;7]$ và $(7;9].$

b) $(-2;2]$ và $[0;+\infty).$

c) $(-\infty;-1)$ và $[-4;1].$

3)- Tìm $\mathbb{Z}\cap\left[-4;\dfrac{4}{3}\right).$

4)- Gọi $A,B$ lần lượt là tập hợp các học sinh thi giỏi văn và tập hợp các học sinh thi học sinh giỏi toán của trường THPT X. Hãy mô tả các tập hợp $A\cap B$ và $A\cup B.$

5)- Cho hai tập hợp $A=\{x\in\mathbb{R}\;|\;x^2-9=0\}$ và $B=\{x\in\mathbb{R}\;|\;2x-3\geq 0\}.$ Hãy viết tập hợp $A\cap B$ bằng cách liệt kê các phần tử của nó.

Giải:

1)- $A\cap B=\{6\}$ và $A\cup B=\{0;1;2;3;4;5;8;9\}.$

2)-

a) $(-2;7]\cup(7;9]=(-2;9],$ $(-2;7]\cap(7;9]=\varnothing.$

b) $(-2;2]\cup[0;+\infty)=(-2;+\infty),$ $(-2;2]\cap[0;+\infty)=[0;2].$

c) $(-\infty;-1)\cup[-4;1]=(-\infty;1],$ $(-\infty;-1)\cap[-4;1]=[-4;-1).$

3)- $\mathbb{Z}\cap\left[-4;\dfrac{4}{3}\right)=\{-4;-3;-2;-1;0;1\}$

4)- $A\cap B$ là tập hợp các học sinh vừa thi học sinh giỏi văn vừa thi học sinh giỏi toán.

$A\cup B$ là tập hợp các học sinh thi học sinh giỏi văn hay thi học sinh giỏi toán (tức là thi ít nhất một trong hai môn).

5)- Ta thấy $A$ là tập nghiệm của phương trình $x^2-9=0$ nên $A=\{-3;3\}.$

$B$ là tập nghiệm của bất phương trình $2x-3\geq 0$ nên $B=\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right).$

Trong hai phần tử của tập hợp $A$ thì $-3\notin B$ và $3\in B.$ Do đó, $A\cap B=\{3\}.$